Ableitungen können manchmal ganz schön kompliziert sein. Wie du die Ableitung von 1/x aber ganz schnell berechnest, erfährst du hier!
Inhaltsübersicht
Ableitung 1/x berechnen
Wenn du die Funktion 
gegeben hast, dann ist die Ableitung der Funktion 1/x:
Auf die Lösung kommst du dabei mit diesem Rechenweg:
Schritt 1 – Funktion umformen: Zuerst kannst du 1/x umschreiben. Das ist nämlich nichts anderes als x-1. Damit kannst du jetzt leichter ableiten.
Schritt 2 – Funktion ableiten: Die allgemeine Regel für das Ableiten lautet wie folgt:
Die Regel kannst du jetzt auch auf x-1 anwenden. Du schreibst also die -1 vor das x. Danach ziehst du vom Exponenten noch 1 ab:
Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Wenn du die Ableitung von 1/x dann wieder als Bruch schreibst, kommst du auf:
Und schon hast du die Ableitung von 1/x!
Höhere Ableitungen von 1/x
Jetzt kannst du dir als nächstes höhere Ableitungen von 1/x ansehen. Schau dir mal die zweite Ableitung an. Dafür musst du 
nochmal ableiten:
Schritt 1 – Funktion umformen: Schreibe auch hier die Funktion zunächst ohne Bruch:
f'(x) = -x-2
Schritt 2 – Funktion ableiten: Dann schiebst du den Exponenten wieder davor und ziehst vom Exponenten 1 ab:
Schritt 3 – Funktion mit Bruch schreiben: Schließlich kannst du die Formel wieder umschreiben.
Damit hast du die zweite Ableitung von 1/x. Auch weitere Ableitungen kannst du mit denselben Regeln berechnen.
Allgemeine Regel
Es kann vorkommen, dass du nicht einfach nur 1 durch x ableiten musst. Es können auch andere Zahlen oben im Zähler des Bruchs stehen. Der Rechenweg bleibt dabei allerdings gleich.
Merke: Allgemein kannst du dir daher die Formel 
merken.
Die kannst du immer in 
umformen und dann ableiten. Du ersetzt a dann durch die Zahl oder den Term, der bei dir oben im Zähler steht.
![\[\begin{split}f(x)&=\frac{17}{x}=17 \cdot x^{-1} \\ f'(x)&=-1 \cdot 17 \cdot x^{-1-1}=-17 \cdot x^{-2}=-\frac{17}{x^2}\end{split}$\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-06d5bb3a732a72c7e95e2414ea12301b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zusammenfassung
- Die Ableitung von 1 durch x ist −1/x2.
- Das berechnest du, indem du 1/x umschreibst zu x-1.
- Davon bildest du die Ableitung, indem du den Exponenten vor das x ziehst und oben minus 1 rechnest.
- Heraus kommt −1x-2, was umgeformt −1/x2 ist.
Neben der Ableitung 1/x können dir noch weitere Funktionen über den Weg laufen, die nicht ganz so einfach abzuleiten sind. Die Ableitung bestimmter Funktionen zeigen wir dir hier .
