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Ableitung Cosinus

Wichtige Inhalte in diesem Video

In diesem Artikel zeigen wir dir die Cosinus Ableitung. Dabei erklären wir kurz die Kettenregel und rechnen im Anschluss viele Beispiele.

Falls du unbedingt alles Wichtige zur Cos Ableitung erfahren möchtest, aber nur wenig Zeit hast, dann schau dir einfach unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Ableitung Cos einfach erklärt

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(00:11)

Die Ableitung des Cosinus ist sehr einfach. Leitest du den Cosinus ab, dann erhältst du den minus Sinus:

Ableitung Cosinus

$f(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= -\sin(x).$

Um cos(x) ableiten zu können, musst du dir also nur diesen Zusammenhang merken.

Cos Ableitung mit Kettenregel

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(00:26)

Aufwändiger wird es, wenn anstatt nur ein komplizierterer Ausdruck in cos x steht, wie zum Beispiel bei $f(x) = \cos(4x^2+2x)$ , und du davon die Ableitung cos berechnen möchtest. In so einem Fall musst du für die Ableitung von cos die Kettenregel anwenden.

Das heißt du identifizierst die innere Funktion h(x) und die äußere Funktion g(x) der verketteten Funktion

f(x)=g(h(x)).

Anschließend bestimmst du deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

$f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x).$

Beispiel 1

Um die Ableitung cos der erwähnten Funktion

$f(x)= \cos(4x^2+2x)$

zu berechnen, bestimmst du also

innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

$h(x)= 4x^2+2x \quad \rightarrow \quad h'(x)= 8x+2$

äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

$g(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)=-\sin(x).$

Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel angewandt.

Nun setzt du die Ableitungen h'(x) und g'(x) zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein:

$f'(x)=g'(h(x)) \cdot h'(x)$

$= -\sin(h(x)) \cdot h'(x)$

$=-\sin(4x^2+2x)\cdot (8x+2).$

Damit hast du bereits den cos abgeleitet.

Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum cos Ableiten an, nämlich

$f(x)=5\cos^2(x)+3$

$=5(\cos(x))^2+3$

Für die Berechnung der $\cos^2$ Ableitung musst du ebenfalls die Kettenregel anwenden. Das bedeutet, du bestimmst erneut:

innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

$h(x)= \cos(x) \quad \rightarrow \quad h'(x)= -\sin(x)$

äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

$g(x)=5x^2+3 \quad \rightarrow \quad g'(x)=10x.$

Setzt du deine Ergebnisse nun wieder in die Formel der Kettenregel ein, liefert dir das:

$f'(x)= g'(h(x)) \cdot h'(x)$

$=10\cos(x) \cdot (-\sin(x))$

$=-10\cos(x) \cdot \sin(x).$

Ableitung cos Beispiele

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(03:10)

Bisher hast du, wie zum Beispiel beim $\cos^2$ Ableiten, lediglich die Kettenregel und die Potenz- und Faktorregel verwendet. Allerdings kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln benötigst, um eine Funktion mit Cosinus ableiten zu können. Dafür haben wir dir in der folgenden Tabelle eine Reihe solcher Beispiele zur Ableitung cos zusammengefasst:

Ableitungsregel

Funktion

Ableitung

Summenregel

$f(x)=\cos(3x)+\cos(x)$

$f'(x)=-3\sin(3x)-\sin(x)$

Differenzregel

$f(x)=\cos(x)-\cos(x^2)$

$f'(x)=-\sin(x)+\sin(x^2)\cdot 2x$

Produktregel

$f(x)=g(x)\cdot h(x)$

$f(x)=\cos(-x)\cdot 3x^2$

$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$

$f'(x)=\sin(-x)\cdot 3x^2 + \cos(-x) \cdot 6x$

Quotientenregel

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$

$f(x)=\frac{\cos(x)}{x^2+1}$

$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$

$f'(x)=\frac{-\sin(x)\cdot (x^2+1)- \cos(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$

Faktorregel

$f(x)=a\cdot g(x)$

$f(x)=4 \cdot \cos(x)$

$f'(x)=a \cdot g'(x)$

$f'(x)=-4 \cdot \sin(x)$

Potenzregel

$f(x)=\cos^4(x)$

$f'(x)=n \cdot x^{n-1}$

$f'(x)=4 \cdot \cos^3(x) \cdot (-\sin(x))$

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Neben der Ableitung cos x gibt es noch einige andere Funktionen, deren Ableitungen du dir ebenfalls gut einprägen solltest:

	Funktion	Ableitung
Ableitung Sinus	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Ableitung Tangens	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
Wurzel ableiten	$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
ln ableiten	$f(x)=\ln(x)$	$f'(x)=\frac{1}{x}$
e Funktion ableiten