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Ableitung Cosinus

Wichtige Inhalte in diesem Video

In diesem Artikel und im Video zeigen wir dir die einfache Cosinus Ableitung und viele Beispiele mit der Kettenregel.

Inhaltsübersicht

Ableitung Cos einfach erklärt

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(00:12)

Die Ableitung des Cosinus kannst du dir so merken: Die Cosinus Ableitung ist Minus Sinus.

Ableitung Cosinus

$f(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= -\sin(x)$

Am Ableitungskreis siehst du, wie die Ableitungen von Cosinus und Sinus zusammenhängen. Um cos(x) ableiten zu können, musst du dir also nur diesen Zusammenhang merken.

Cos Ableitung mit Kettenregel

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(00:26)

Aufwändiger wird es, wenn anstatt nur x ein komplizierterer Ausdruck in cos(x) steht, wie zum Beispiel bei $f(x) = \cos(4x^2+2x)$ , und du davon die Ableitung cos berechnen möchtest. In so einem Fall musst du für die Ableitung von cos die Kettenregel anwenden.

Das heißt, du identifizierst die innere Funktion $\textcolor{blue}{h(x)}$ und die äußere Funktion $\textcolor{red}{g(x)}$ der verketteten Funktion

$f(x)=\textcolor{red}{g(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)}$

Anschließend bestimmst du deren Ableitungen $\textcolor{blue}{h'(x)}$ und $\textcolor{red}{g'(x)}$ und setzt sie zusammen mit $\textcolor{blue}{h(x)}$ in die Formel der Kettenregel ein.

$f'(x)=\textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)}$

Cos Ableitung — Beispiel 1

Um die Ableitung cos der erwähnten Funktion

$f(x)= \cos(4x^2+2x)$

zu berechnen, bestimmst du also

innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

$\textcolor{blue}{h(x)= 4x^2+2x} \quad \rightarrow \quad \textcolor{blue}{h'(x)= 8x+2}$
äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

$\textcolor{red}{g(x)=\cos(x)} \quad \rightarrow \quad \textcolor{red}{g'(x)=-\sin(x)}$

Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel angewandt.

Nun setzt du die Ableitungen $\textcolor{blue}{h'(x)}$ und $\textcolor{red}{g'(x)}$ zusammen mit $\textcolor{blue}{h(x)}$ in die Formel der Kettenregel ein:

$\begin{align*}f'(x)&=\textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\ &= \textcolor{red}{-\sin(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\&=\textcolor{red}{-\sin(}\textcolor{blue}{4x^2+2x}\textcolor{red}{)}\cdot \textcolor{blue}{(8x+2)}\end{align*}$

Damit hast du bereits den cos abgeleitet.

Cos Ableitung — Beispiel 2

Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum cos Ableiten an, nämlich

$f(x)=5\cos^2(x)+3=5(\cos(x))^2+3$

Für die Berechnung der $\cos^2$ Ableitung musst du ebenfalls die Kettenregel anwenden. Das bedeutet, du bestimmst erneut:

innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

$\textcolor{blue}{h(x)= \cos(x)} \quad \rightarrow \quad \textcolor{blue}{h'(x)= -\sin(x)}$
äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

$\textcolor{red}{g(x)=5x^2+3} \quad \rightarrow \quad \textcolor{red}{g'(x)=10x.}$

Setzt du deine Ergebnisse nun wieder in die Formel der Kettenregel ein, liefert dir das:

$\begin{align*}f'(x)&=\textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\ &=\textcolor{red}{10}\cdot\textcolor{blue}{\cos(x)} \cdot \textcolor{blue}{(-\sin(x))} \\ &=-10\cdot\cos(x) \cdot \sin(x)\end{align*}$

Ableitung cos Beispiele

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(03:10)

Bisher hast du, wie zum Beispiel beim $\cos^2$ Ableiten, lediglich die Kettenregel und die Potenz- und Faktorregel verwendet. Allerdings kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln benötigst, um eine Funktion mit Cosinus ableiten zu können. Dafür haben wir dir in der folgenden Tabelle eine Reihe solcher Beispiele zur Ableitung cos zusammengefasst:

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Summenregel	$f(x)=\cos(3x)+\cos(x)$	$f'(x)=-3\sin(3x)-\sin(x)$
Differenzregel	$f(x)=\cos(x)-\cos(x^2)$	$f'(x)=-\sin(x)+\sin(x^2)\cdot 2x$
Produktregel	$f(x)=g(x)\cdot h(x)$ $f(x)=\cos(-x)\cdot 3x^2$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$ $f'(x)=\sin(-x)\cdot 3x^2 + \cos(-x) \cdot 6x$
Quotientenregel	$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$ $f(x)=\frac{\cos(x)}{x^2+1}$	$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$ $f'(x)=\frac{-\sin(x)\cdot (x^2+1)- \cos(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$ $f(x)=4 \cdot \cos(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$ $f'(x)=-4 \cdot \sin(x)$
Potenzregel	$f(x)=\cos^4(x)$	$f'(x)=n \cdot x^{n-1}$ $f'(x)=4 \cdot \cos^3(x) \cdot (-\sin(x))$

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Neben der Ableitung cos x gibt es noch einige andere Funktionen, deren Ableitungen du dir ebenfalls gut einprägen solltest:

	Funktion	Ableitung
Ableitung Sinus	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Ableitung Cosinus	$f(x)=\cos(x)$	$f'(x)=-\sin(x)$
Ableitung Tangens	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$

Ableitung cos Herleitung

Anstatt dir die Ableitung cos(x) zu merken, kannst du sie dir auch herleiten. Dafür nutzt du folgenden Zusammenhang: $\cos(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$ .

Statt der Cosinusfunktion benutzt du also die äquivalente Funktion $f(x)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)$ . Die Sinusfunktion leitest du jetzt mit der Kettenregel ab.

innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

$\textcolor{blue}{h(x)=\frac{\pi}{2}-x}$ und $\textcolor{blue}{h'(x)=-1}$
äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

$\textcolor{red}{g(x)=\sin(h(x))}$ und $\textcolor{red}{g'(x)=\cos(h(x))}$

Die Ableitungen h'(x) und g'(x) setzt du jetzt mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein:

$\begin{align*}f'(x)&=\textcolor{red}{g'(}\textcolor{blue}{h(x)}\textcolor{red}{)} \cdot \textcolor{blue}{h'(x)} \\ &= \textcolor{red}{\cos\left(}\textcolor{blue}{\frac{\pi}{2}-x}\textcolor{red}{\right)} \cdot \textcolor{blue}{(-1)}\\ &=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \\ &=-\sin(x) \end{align*}$

Merke: Die Cosinusfunktion ist im ganzen Definitionsbereich differenzierbar. Ihre Ableitung ist f'(x)= −sin (x).

Ableitung bestimmter Funktionen

Die Funktion cos(x) kannst du jetzt ableiten! Daneben gibt es noch andere besondere Funktionen wie Wurzelfunktionen, den ln oder e-Funktionen. Wie du diese ableiten kannst, erfährst du im nächsten Beitrag .