Ableitung Cosinus
In diesem Artikel zeigen wir dir die Cosinus Ableitung. Dabei erklären wir kurz die Kettenregel und rechnen im Anschluss viele Beispiele.
Falls du unbedingt alles Wichtige zur Cos Ableitung erfahren möchtest, aber nur wenig Zeit hast, dann schau dir einfach unser Video dazu an.
Ableitung Cos einfach erklärt
Die Ableitung des Cosinus ist sehr einfach. Leitest du den Cosinus ab, dann erhältst du den minus Sinus:
Um cos(x) ableiten zu können, musst du dir also nur diesen Zusammenhang merken.
Cos Ableitung mit Kettenregel
Aufwändiger wird es, wenn anstatt nur ein komplizierterer Ausdruck in cos x steht, wie zum Beispiel bei
, und du davon die Ableitung cos berechnen möchtest. In so einem Fall musst du für die Ableitung von cos die Kettenregel
anwenden.
Das heißt du identifizierst die innere Funktion und die äußere Funktion
der verketteten Funktion
Anschließend bestimmst du deren Ableitungen und
und setzt sie zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein
Beispiel 1
Um die Ableitung cos der erwähnten Funktion
zu berechnen, bestimmst du also
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel angewandt.
Nun setzt du die Ableitungen und
zusammen mit
in die Formel der Kettenregel ein:
Damit hast du bereits den cos abgeleitet.
Beispiel 2
Sehen wir uns ein weiteres Beispiel zum cos Ableiten an, nämlich
Für die Berechnung der Ableitung musst du ebenfalls die Kettenregel
anwenden. Das bedeutet, du bestimmst erneut:
- innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):
- äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):
Setzt du deine Ergebnisse nun wieder in die Formel der Kettenregel ein, liefert dir das:
Ableitung cos Beispiele
Bisher hast du, wie zum Beispiel beim Ableiten, lediglich die Kettenregel und die Potenz- und Faktorregel verwendet. Allerdings kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln benötigst, um eine Funktion mit Cosinus ableiten zu können. Dafür haben wir dir in der folgenden Tabelle eine Reihe solcher Beispiele zur Ableitung cos zusammengefasst:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel |
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Differenzregel |
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Produktregel |
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Quotientenregel |
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Faktorregel |
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Potenzregel |
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Weitere Funktionen und ihre Ableitungen
Neben der Ableitung cos x gibt es noch einige andere Funktionen, deren Ableitungen du dir ebenfalls gut einprägen solltest:
Funktion | Ableitung | |
Ableitung Sinus | ![]() |
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Ableitung Tangens | ![]() |
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Wurzel ableiten | ![]() |
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ln ableiten | ![]() |
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e Funktion ableiten | ![]() |
![]() |
Ableitung cos Herleitung
Anstatt dir die Ableitung cos x zu merken, kannst du sie dir auch herleiten. Dafür stellst du die Ableitung von
mit der h- Methode als Differentialquotient dar:
Mit dem Additionstheorem
kannst du nun den Zähler deines Bruchs folgendermaßen umschreiben:
Als nächstes klammerst du im Zähler aus und erhältst somit
Nun spaltest du den Bruch auf, sodass zwei separate Grenzwerte bzgl. entstehen:
Da weder , noch
von
abhängt, kannst du den Ausdruck in beiden Fällen aus dem Grenzwert ziehen und erhältst so
In beide Grenzwerten steht nun beim Erreichen der Grenze der unbestimmte Ausdruck
. Denn
In solchen Fällen kann die Regel von l’Hospital verwendet werden, um den Grenzwert zu bestimmen. Sie sagt aus, dass
Das liefert dir somit die beiden Grenzwerte:
Jetzt setzt du diese Ergebnisse in deine obige Funktion ein und erhältst damit
Damit hast du schließlich die Ableitung cos hergeleitet.