Diskret

Diskrete Gleichverteilung

Du möchtest wissen, was du bei der diskreten Gleichverteilung beachten musst? Dann bist du hier genau richtig!

Diskrete Gleichverteilung bei diskreten Zufallsvariablen

Die diskrete Gleichverteilung ist eine der einfachsten Verteilungen, die dir in der Wahrscheinlichkeitsrechnung begegnen kann. Sie liegt vor, wenn eine Zufallsvariable diskret ist, sie also nur eine endliche Zahl an möglichen Ergebnissen hat und jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Zunächst beschränken wir uns jedoch auf einen bestimmten Spezialfall der diskreten Gleichverteilung, nämlich Zufallsexperimente, deren mögliche Ergebnisse durch ganze Zahlen zwischen a und b dargestellt werden können.
Ein klassisches Anwendungsbeispiel ist der Wurf eines, natürlich ungezinkten, Würfels. Bei diesem Beispiel liegt jedes mögliche Ergebnis zwischen a gleich 1 und b gleich 6. Fangen wir mit der Dichtefunktion an. Beim Würfelwurf hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit . Die Dichtefunktion sieht dann wie folgt aus:

Die Formel sieht vielleicht etwas kompliziert aus, ist aber eigentlich ganz einfach. Für jedes Ergebnis zwischen 1 und 6 ist die Wahrscheinlichkeit gleich . Da bei einem Würfelwurf ja gar nichts anderes möglich ist, ist die Wahrscheinlichkeit für sonstige Ergebnisse gleich 0.

Die Verteilungsfunktion des hier betrachteten Spezialfalls der diskreten Gleichverteilung ist dreigeteilt:

Wie du weißt, gibt die Verteilungsfunktion immer die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass ein Ergebnis kleiner gleich x herauskommt. Der erste Abschnitt gilt für Ergebnisse kleiner a, also beim Würfelwurf zum Beispiel das Ergebnis 0. Da es gar nicht möglich ist, dieses Ergebnis zu erhalten ist die Wahrscheinlichkeit also gleich 0. Der zweite Abschnitt gilt für Ergebnisse zwischen a und b, also in unserem Fall zwischen 1 und 6. [x] steht für die Abrundung von x. Wenn du also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, dass du ein Ergebnis kleiner gleich 2,3 erhältst, würde sich [2,3] = 2 ergeben. Der letzte Abschnitt gilt für Ergebnisse größer gleich b, also zum Beispiel x=7. Da wir ja in jedem Fall ein Ergebnis kleiner gleich 7 erhalten, da wir ja höchstens eine 6 würfeln können, ist die Wahrscheinlichkeit für diesen Abschnitt immer gleich 1.

Allgemeine Formeln

Im allgemeinen Fall sieht die Verteilungsfunktion etwas seltsam aus:

Die beiden geraden Linien |…| stehen für die Mächtigkeit der Menge. Suchen wir also zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis , zählen wir alle möglichen Ergebnisse, die kleiner gleich 4 sind, bei einem Würfelwurf also 1,2,3 und 4 auf. Das heißt unsere Menge im Zähler hat 4 Elemente. Somit gilt also:

Der Erwartungswert der diskreten Gleichverteilung ist in diesem Fall ganz einfach der Mittelwert aus a und b, also a plus b geteilt durch 2.

Im allgemeinen Fall gilt diese Formel für den Erwartungswert:

Die Formel der Varianz im hier behandelten Fall lautet wie folgt:

Für die Varianz der diskreten Gleichverteilung im allgemeinen Fall gilt diese Formel:

So, das wars auch schon zur diskreten Gleichverteilung! Abschließend findest du hier nochmal alle wichtigen Formeln, sowohl für den hier betrachteten Spezialfall, als auch die allgemeinen Berechnungen!