Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Du fragst dich was die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist und wann du welche Formel zur Lösung deiner Aufgaben verwenden musst? Hier erfährst du alles zum Thema Wahrscheinlichkeitstheorie anhand einfacher Aufgaben und Beispiele.

Unser Video erklärt dir alle Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie  verständlich und gut strukturiert in kürzester Zeit!

Inhaltsübersicht

Wahrscheinlichkeitsrechnung einfach erklärt 

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird auch Wahrscheinlichkeitstheorie oder Probabilistik genannt. Das Ziel ist es zu bestimmen, wie wahrscheinlich bestimmte Ereignisse bei stochastischen Zufallsexperimenten sind. Stell dir vor du wirfst einen Würfel. Das Ergebnis hängt hier vom Zufall ab. Da man leider die Zukunft und somit das Ergebnis nicht eindeutig vorhersagen kann, versucht man eben durch die Wahrscheinlichkeitsrechnung mehr Informationen zu bekommen.

Aber wie hängen Stochastik, Statistik, Mathe und Wahrscheinlichkeiten eigentlich zusammen? Um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen brauchst du neben der Wahrscheinlichkeitsrechnung auch noch die mathematische Statistik, welche sich in deskriptive Statistik, explorative und induktive Statistik aufteilt. Diese Teilgebiete werden unter dem Oberbegriff Stochastik zusammengefasst, welcher wiederum ein Teilgebiet der Mathematik ist.

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Stochastik
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Teilbereiche der Stochastik

Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgaben 

Um Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können, solltest du dich als erstes mit den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut machen. Im Folgenden erklären wir dir, welche Aufgabentypen dir begegnen können. Wir erklären dir, was es mit Zufallsexperimenten, Ergebnismengen, dem Ergebnisbaum und Abhängigkeit beziehungsweise Unabhängigkeit von Ereignissen auf sich hat. Anschließend klären wir dich auf, was du bei der Lösung von Übungen bezüglich der verschiedenen Formeln wissen musst und geben dir einige Anwendungsbeispiele.

Zufallsexperimente und Laplace Regel 

Wenn du etwas nicht mit Sicherheit vorhersagen kannst, hängt das Ergebnis vom Zufall ab. Das kann an einfacher Unkenntnis liegen, oder an der grundsätzlichen Möglichkeit verschiedener Szenarien. Fragestellungen wären zum Beispiel: wird es morgen regnen oder nicht oder ist eine beliebige Person männlich oder weiblich? Innerhalb der Mathematik sollen diese Situationen durch Modelle abgebildet werden. Die dazugehörige Frage könnte dann lauten: Welche Kugel wirst du aus der Urne ziehen? So enstehen dann die so genannten Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist also ein Vorgang mit mindestens zwei möglichen, aber nicht vorhersehbaren Ergebnissen.
Du kannst zwischen einstufigen und mehrstufigen Zufallsexperimenten unterscheiden.

Ein einstufiges Zufallsexperiment wird nur ein einziges Mal durchgeführt. Zum Beispiel kannst du eine Münze einmal werfen und im Anschluss das Ergebnis notieren. Meistens ist aber jedoch sinnvoller den Versuch mehrmals durchzuführen, um ein verlässlicheres Ergebnis zu erhalten.

Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment findet der selbe Vorgang mehrmals nacheinander statt. Du wirfst also deine Münze beispielsweise drei mal und notierst nach jedem Wurf dein Ergebnis.

Die einfachsten Zufallsexperimente sind die so genannten Laplace Experimente. Laut der Laplace Regel müssen alle elementaren Ergebnisse des Zufallsexperiments dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Einfach gesagt, muss jedes mögliches Szenario gleich wahrscheinlich sein, damit von der Laplace Wahrscheinlichkeit die Rede sein kann.

Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Zufallsexperiment und Laplace Experiment

Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm 

Jedes Zufallsexperiment egal ob einstufig oder mehrstufig, Laplace oder nicht, kann durch ein Baumdiagramm dargestellt werden. Die einzelnen Äste stehen hierbei für die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge. Unter Beachtung der Pfadregeln können Zufallsexperimente so übersichtlich abgebildet und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung Baumdiagramm
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Baumdiagramm

Den einfachsten Beispielen für ein Baumdiagramm liegt eine Bernoulli Verteilung zugrunde. Bei dem Wurf einer Münze handelt es sich um ein Bernoulli Experiment, da die Münze dir genau zwei Ergebnisse, nämlich Kopf und Zahl liefert. Die einzelnen Ergebnisse des Münzwurfes werden hierzu an den Enden beziehungsweise den Knotenpunkten der einzelnen Äste notiert.

Allgemein ist aus diesem Grund auch Ergebnisbaum eine sehr gebräuchliche Bezeichnung für diese graphische Darstellung von Zufallsexperimenten.  %Bild Baumdiagramm

Ereignis und Ergebnismenge 

Es ist sehr wichtig, dass du innerhalb der Wahrscheinlichkeitsrechnung die beiden Begriffe Ergebnis und Ereignis nicht miteinander verwechselst.

Ein Ergebnis beschreibt einen konkreten Versuchsausgang deines Zufallsexperiments. Bei einem Würfel wären das beispielsweise die Zahlen 1 bis 6. Die Ergebnismenge Ω={1,2,3,4,5,6} (auch Ergebnisraum genannt) umfasst alle möglichen Ergebnisse und bleibt unabhängig vom Ausgang des Zufallsexperiments immer gleich.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Ergebnismenge
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Ergebnismenge

Das Ereignis dagegen umfasst nur eine Teilmenge des Ergebnisraumes. Wie viele Ergebnisse das Ereignis umfasst, hängt von den Bedingungen des Ereignisses ab. Durch verbale Aussagen wird eine bestimmte Teilmenge exakt festgelegt. Das Ereignis E= {höher als 4}  kann also auch als E= {5,6} geschrieben werden und umfasst 2 Ergebnisse. Merke dir also, dass ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen, aber auch aus nur einem Ergebnis bestehen kann. Je nachdem was die verbale Bedingung eben fordert.

Die dazugehörigen Zusammenhänge der Mengenlehre lassen sich sehr gut durch ein Venn Diagramm veranschaulichen. Hierbei werden sich überlappende Kreise in ein Rechteck gezeichnet, um logische Beziehungen zwischen zwei oder mehr Mengen zu visualisieren.

Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Venn Diagramm

Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ereignissen 

Des Weiteren ist es wichtig zu unterscheiden, ob die Ereignisse abhängig sind oder nicht. Damit von der  stochastischen Unabhängigkeit die Rede sein kann, darf das Eintreten des einen Ereignisses keine Auswirkung auf die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen Ereignisses haben.

Mit der bedingten Wahrscheinlichkeit dagegen kannst du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter Bedingung des Eintritts eines anderen Ereignisses ausdrücken. Der so genannten Satz von Bayes hilft dir dabei die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, falls du eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten bereits kennst.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Formeln 

Man kann schon mal leicht den Überblick verlieren bei der Vielzahl an Formeln zum Lösen der Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Im Grunde genommen musst du dir aber eigentlich nur im Klaren darüber sein, welche Wahrscheinlichkeit du überhaupt berechnen willst. Zu jeder Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es eine Formel für die Wahrscheinlichkeits- beziehungsweise Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion. Anhand der Eigenschaften deiner Zufallsvariablen kannst du dann entscheiden, welche Formel für deine Berechnungen die richtige ist.

Wahrscheinlichkeitsrechnung
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Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Etwas komplizierter ist es mit den Kombinatorik Formeln. Da die Kombinatorik ebenfalls ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, sind diese aber auch sehr wichtig für dich. Wie du systematisch herausfinden kannst, welche Formel du wann verwenden musst, zeigt dir unser Video zur Kombinatorik Schritt für Schritt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik
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Formeln der Kombinatorik

Binomialkoeffizient 

Grundlegend zum Lösen aller Grundaufgaben der Kombinatorik ist der Binomialkoeffizient. Dieser ist deshalb in so gut wie jeder Formel enthalten. Einfach gesagt gibt dieser an, auf wie viele verschiedene Arten du k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kannst. Wenn man über den Binomialkoeffizienten spricht,ist deshalb auch oft von n über k die Rede.

Ausgeschrieben sieht die Formel für den Binomialkoeffizienten folgendermaßen aus.

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}

N über k setzt sich also zusammen aus der Fakultät von n, geteilt durch die Fakultät von k, multipliziert mit der Fakultät von n-k. 

Um den Binomialkoeffizienten zu berechnen kannst du einfach n und k in diese  Formel einsetzen oder du benutzt die Funktion nCR deines Taschenrechners.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiele 

Nachdem du nun mit den Grundbegriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie vertraut bist, zeigen wir die jetzt konkrete Anwendungsbeispiele zum Urnenmodell und Lottoziehungen.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Urnenmodell

Mit einem Urnenmodell kannst du beispielsweise die Frage beantworten: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zwei weiße Kugeln zu ziehen?“ Du kannst aber auch die Anzahl an Möglichkeiten bestimmen in welcher Reihenfolge die Kugeln gezogen werden können . So lassen sich beispielsweise Alltagssituationen abbilden und man kann die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Szenarien berechnen. Innerhalb der Kombinatorik enstehen so verschiedene Aufgaben zu Ziehungen ohne Zurücklegen und Ziehungen mit Zurücklegen.

Wahrscheinlichkeitsrechnung Lotto

Bei dem bekanntesten Glücksspiel Deutschlands handelt es sich genau genommen ebenfalls um ein Urnenmodell. Durch die Wahrscheinlichkeitstheorie kannst du  ausrechnen, wie hoch deine Chancen sind Millionär zu werden. Wie genau das funktioniert erfährst du in unserem Video zum Binomialkoeffizienten. Um die Anzahl für 6 Richtige zu bestimmen, musst du zuerst n über k, also 6 über 49 rechnen. Du erhältst also  13.983.816 Möglichkeiten deine 6 Kreuzchen zu verteilen. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige aus 49 Zahlen zu ziehen, liegt bei P(A)=\frac{1}{13 938 816 }=0,000.000.072.


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