Geometrie

Parameterform

In diesem Artikel stellen wir dir die Parameterform einer Gerade und einer Ebene vor. Du möchtest das Thema schnell verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Parameterform einfach erklärt  

Die Parameterform ist eine Möglichkeit, um eine Gerade oder eine Ebene darzustellen. Dabei benötigst du immer einen Aufpunkt (beziehungsweise Stützvektor), und eine Richtung, in die die Gerade oder Ebene verläuft.

Parameterform Gerade/Ebene

Die Parameterform einer Gerade g und einer Ebene E sieht wie folgt aus:

g: \vec{x}= \vec{a} +\lambda \cdot \vec{u}

E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}

  • \vec{a}: Stützvektor,
  • \vec{u}, \vec{v}: Richtungsvektoren
  • \lambda, r und s: beliebige Zahlen.

Beispiel: g: \vec{x}  = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right). Dabei ist der Stützvektor \vec{a}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) und der Richtungsvektor \vec{u}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right).

Hinweis: Du kannst eine Gerade oder Ebene auch mit der Normalenform  oder Koordinatenform  darstellen.

Parameterform Gerade  

Jede Gerade lässt sich durch einen Aufpunkt \vec{a} und einen Richtungvektor \vec{u} beschreiben. Die Geradengleichung sieht dann wie folgt aus

g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u}.

\lambda ist dabei eine beliebige Zahl.

Beispiel im \mathbb{R}^2

Betrachte zum Beispiel eine Gerade g, die durch die Punkte A(-3|2) und B(1|3) geht. Wählst du den Punkt A als Aufpunkt, erhältst du den Stützvektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right). Den Vektor \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} 1 -(- 3) \\ 3 - 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) kannst du als Richtungsvektor \vec{u} wählen. Damit kannst du die Parameterform aufstellen

g: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right).

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Die Parameterform der Gerade g

Beispiel im \mathbb{R}^3

Auch im \mathbb{R}^3 kannst du eine Gerade durch seine Parameterform darstellen. Betrachte hierfür eine Gerade h, welche durch die Punkte A(-1|1|-3) und B(0|3|4) verläuft. Wählst du den Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) als Stützvektor und den Vektor \vec{u} = \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} 0 -(- 1) \\ 3 - 1 \\ 4 -(- 3) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 7 \end{array}\right) als Richtungsvektor, dann sieht die Parameterform der Gerade h wie folgt aus

h: \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ -3 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 7 \end{array}\right).

Hinweis: Die Parameterform einer Gerade ist nicht eindeutig, denn du kannst als Aufpunkt beziehungsweise Stützvektor einen beliebigen Punkt auf der Gerade wählen. So ist zum Beispiel C(-5|1,5) ein weiterer Punkt auf der Gerade g vom ersten Beispiel

g: \vec{a} + \lambda \cdot \vec{u} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1,5 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right).

Parameterform Ebene  

Ähnlich wie eine Gerade, lässt sich eine Ebene durch einen Aufpunkt \vec{a} und zwei Richtungsvektoren \vec{u} und \vec{v} darstellen. Dabei spannen die Richtungsvektoren die Ebene auf. Die Parameterform einer Ebene sieht dabei folgendermaßen aus

E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}.

r und u sind dabei beliebige Zahlen.

Beispiel

Schau dir zum Beispiel die Ebene an, die die Punkte A(0|3|1), B(-1|0|2) und C(-1|4|1,5) enthält. Wählst du den Vektor \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) als den Stützvektor und die Vektoren

\vec{u} = \vec{AB} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 0 - 3 \\ 2 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right)    und    \vec{v} = \vec{AC} = \left(\begin{array}{c} -1 - 0 \\ 4 - 3 \\ 1,5 - 1 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right) 

als die Richtungsvektoren, dann ergibt sich die Parameterdarstellung der Ebene

E: \vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0,5 \end{array}\right).

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Die Parameterform der Ebene E

 

Hinweis: Die Parameterform einer Ebene ist nicht eindeutig, da du als Stützpunkt einen beliebigen Punkt wählen kannst. Außerdem kannst du auch zwei beliebige Richtungsvektoren wählen, die in der Ebene liegen.

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