Schwerpunkt Dreieck
Du willst wissen, was der Schwerpunkt eines Dreiecks ist und wie du ihn konstruierst und berechnest? In unserem Beitrag und Video erklären wir dir alles, was du dazu wissen musst.
Inhaltsübersicht
Schwerpunkt Dreieck einfach erklärt
Der Schwerpunkt des Dreiecks ist ein besonderer Punkt auf einem Dreieck. Um ihn zu finden, starte ein kleines Experiment. Nimm dein Geodreieck und versuche es auf der Spitze deines Zeigefingers zu balancieren.
Wenn dein Geodreieck komplett waagerecht auf deinem Finger liegt und es nicht herunterfällt, hast du den Schwerpunkt gefunden.
Um nicht jedes Dreieck auf deinem Finger balancieren zu müssen, kannst du den Schwerpunkt auch konstruieren. Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Du zeichnest also die Seitenhalbierenden aller Seiten ein und markierst den Schnittpunkt.
Eine Seitenhalbierende beginnt bei der Hälfte einer der Außenseiten eines Dreiecks. Du kannst sie zeichnen, indem du zuerst die Mitte einer Seite des Dreiecks bestimmst. Dann ziehst du von diesem Punkt bis zur gegenüberliegenden Ecke eine Linie. Das ist deine Seitenhalbierende.
Konstruktion des Schwerpunkts:
Vor dir liegt ein Dreieck, dessen Schwerpunkt S du bestimmen willst. Gehe dabei nach dieser Schritt-für-Schritt-Anleitung vor:
1. Schritt: Überlege, welche Seitenhalbierende du konstruierst.
In diesem Beispiel startest du mit der Seitenhalbierenden der Seite b. Die Seite b liegt zwischen den Punkten A und C.
2. Schritt: Bestimme den Mittelpunkt.
Zeichne einen Kreis um die Punkte A und C. Diese Kreise müssen denselben Radius haben, der größer ist als die Hälfte der Strecke zwischen A und C. Dadurch schneiden sie sich in den Punkten D und E.
Verbinde dann die beiden Punkte D und E miteinander. Du erkennst, dass die neue Linie die Seite b schneidet. Dieser Schnittpunkt ist der Seitenmittelpunkt Mb.
3. Schritt: Zeichne die Seitenhalbierende ein.
Der Seitenmittelpunkt Mb ist dein Startpunkt und der gegenüberliegende Punkt B dein Endpunkt. Verbinde beide Punkte miteinander.
4. Schritt: Konstruiere die beiden anderen Seitenhalbierenden.
Um die übrigen Seitenhalbierenden zu konstruieren, wiederholst du die Schritte 1 bis 3.
5. Schritt: Markiere den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
Wenn du alle drei Seitenhalbierenden konstruiert und eingezeichnet hast, erkennst du, dass sie sich alle in einem Punkt schneiden. Dieser Punkt ist dein gesuchter Schwerpunkt S.
Übrigens: Es reicht, wenn du zwei Seitenhalbierende konstruierst. Der Schnittpunkt ist identisch, unabhängig davon, ob du zwei oder drei Seitenhalbierende einzeichnest. Du kannst sie aber zusätzlich als Kontrolle einzeichnen.
Schwerpunkt im Koordinatensystem berechnen
Den Schwerpunkt eines Dreiecks kannst du nicht nur konstruieren, sondern auch in einem Koordinatensystem berechnen.
Gegeben sind drei Punkte A, B und C, die zusammen ein Dreieck bilden. Gesucht sind: a) die Seitenmittelpunkte und b) die Koordinaten des Schwerpunktes.
a) Seitenmittelpunkte berechnen:
Um die Mitte zwischen zwei Koordinatenpunkten zu berechnen, setzt du jeweils die x-Koordinaten und die y-Koordinaten in die Formel für den Mittelwert ein. Du rechnest also:
b) Schwerpunkt berechnen:
Das Prinzip, wie du den Schwerpunkt eines Dreiecks berechnen kannst, funktioniert ähnlich wie beim Mittelpunkt zwischen zwei Punkten. Du setzt die x- und die y-Koordinaten in die Formel für den Mittelwert ein, teilst hier aber durch 3.
Den Schwerpunkt eines Dreiecks und den Mittelpunkt zweier Punkte im Koordinatensystem berechnest du nach demselben Prinzip. Du setzt die x- und y-Koordinaten in die Formel für den Mittelwert ein.
Schwerpunkte besonderer Dreiecke
Gleichseitige Dreiecke sind besondere Dreiecke und haben bei der Konstruktion des Schwerpunktes eine spezielle Eigenschaft. Die Seitenhalbierenden, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden liegen übereinander. Das bedeutet, dass du in diesem Fall auch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden bestimmen kannst, um den Schwerpunkt zu berechnen.
Merke: Gleichschenklige und rechtwinklige Dreiecke sind zwar auch besondere Dreiecke, haben aber bei der Ermittlung des Schwerpunktes keine Eigenschaften, die die Konstruktion erleichtern.
Schwerpunkt Dreieck — häufige Fragen
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Was ist der Schwerpunkt?
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt seiner Seitenhalbierenden. Er zerteilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. Zwischen Schwerpunkt und Eckpunkt des Dreiecks liegt die längere der beiden Teilstrecken.
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Wie konstruiere ich den Schwerpunkt eines Dreiecks?
Den Schwerpunkt eines Dreiecks kannst du bestimmen, indem du die Seitenhalbierenden konstruierst. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden.
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Wie berechne ich den Schwerpunkt eines Dreiecks?
Die Koordinaten des Schwerpunkts eines Dreiecks kannst du berechnen, indem du die drei x-Koordinaten und die drei y-Koordinaten in die Formel für den Mittelwert einsetzt und berechnest.
Gleichseitiges Dreieck
Prima! Jetzt weißt du alles, was du brauchst, um den Schwerpunkt eines Dreiecks zu konstruieren und zu berechnen. Willst du noch mehr über das gleichseitige Dreieck erfahren? Dann schau dir direkt das Video dazu an!
