Geometrie
Dreiecke Grundlagen
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Höhe Dreieck berechnen — einfach erklärt

Die Höhe eines Dreiecks ist eine Linie, die von einer Seite senkrecht — also im rechten Winkel — zur Ecke gegenüber läuft (Lot). Weil das Dreieck 3 Seiten hat, gibt es immer 3 Höhen: ha, hb und hc. Die Höhe hc zum Beispiel läuft von der Seite c zur Ecke C. %FS Höhe Dreieck -- ich würde hier ungern das mit der Verlängerung mit reinbringen, das würde hier total verwirren

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Höhe im Dreieck

Jede Höhe teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke . Wegen des rechten Winkels kannst du in beiden Teildreiecken den Sinus verwenden. Du erhältst so jeweils zwei Formeln, um die Höhe im Dreieck zu berechnen:%FS

ha = b • sin(γ) = c • sin(β)

hb = a • sin(γ) = c • sin(α)

hc = a • sin(β) = b • sin(α)

Höhe eines Dreiecks berechnen — Beispiel

Wie berechne ich die Höhe eines Dreiecks? Schau dir das gleich am Beispiel an: In einem Dreieck sind die Zahlen a = 5 cm und β = 30° gegeben. Berechne die Höhe hc.

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Beispiel: Höhe im Dreieck berechnen
  • Schritt 1: Wähle die Formel aus, in der die gegebenen Buchstaben und die gesuchte Höhe vorkommen. Hier ist das also hc = a • sin(β).
  • Schritt 2: Setze die Zahlen in die Formel, um die Höhe vom Dreieck zu berechnen:

hc = a • sin(β) = 5 • sin(30°) = 2,5

Die Höhe vom Dreieck ist also 2,5 cm

Übrigens: Aus der Formel für die Höhe h im Dreieck folgt direkt der sogenannte Sinussatz. Wenn du wissen willst, die du damit Seiten im Dreieck berechnest, dann schau hier vorbei!

Wie berechnet man die Höhe eines Dreiecks aus drei Seiten?

Manchmal sollst du die Höhe h im Dreieck berechnen, hast aber nur drei Seiten a, b und c und keinen Winkel gegeben. Dann berechnest du zuerst s mit folgender Formel: 

    \[s=\frac{1}{2} \cdot (\textcolor{red}{a}+\textcolor{orange}{b}+\textcolor{blue}{c})\]

Damit kannst du dann die Höhe vom Dreieck berechnen:

    \[h_a=\frac{2}{\textcolor{red}{a}} \cdot \sqrt{s\cdot (s-\textcolor{red}{a}) \cdot (s-\textcolor{orange}{b}) \cdot (s-\textcolor{blue}{c})}\]

    \[h_b=\frac{2}{\textcolor{orange}{b}} \cdot \sqrt{s\cdot (s-\textcolor{red}{a}) \cdot (s-\textcolor{orange}{b}) \cdot (s-\textcolor{blue}{c})}\]

    \[h_c=\frac{2}{\textcolor{blue}{c}} \cdot \sqrt{s\cdot (s-\textcolor{red}{a}) \cdot (s-\textcolor{orange}{b}) \cdot (s-\textcolor{blue}{c})}\]

Beispiel: In einem Dreieck sind die Seiten a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm gegeben. Berechne die Höhe hc.

  • Schritt 1: Berechne s.

        \[s=\frac{1}{2} \cdot (\textcolor{red}{3}+\textcolor{orange}{4}+\textcolor{blue}{5}) = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

  • Schritt 2: Setze die Zahlen in die Formel für hc ein, um die Höhe vom Dreieck zu berechnen:

        \[h_c=\frac{2}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \sqrt{6\cdot (6-\textcolor{red}{3}) \cdot (6-\textcolor{orange}{4}) \cdot (6-\textcolor{blue}{5})} = 2,4\]

Super! Jetzt kannst du die Höhe eines Dreiecks berechnen! Die Höhe hc ist 2,4 cm lang. 

Höhe Dreieck berechnen Aufgabe

Wie rechnet man die Höhe eines Dreiecks aus? Schau dir dazu jetzt noch eine kompliziertere Aufgabe an, in der du die Höhe vom Dreieck berechnen sollst:

In einem Dreieck sind folgende Zahlen gegeben: b = 8 cm, α = 30° und γ = 80°. Berechne alle drei Höhen!

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Aufgabe: Höhe im Dreieck
  • Schritt 1: Um die drei Höhen zu berechnen, brauchst du alle drei Winkel — dir fehlt also β. Die Winkelsumme im Dreieck ist immer 180°, also α + β + γ = 180°. Damit kannst du jetzt β ausrechnen: 

β = 180° – αγ = 180° – 30° – 80° = 70°

  • Schritt 2: Berechne die Höhen. Verwende dabei nur Formeln, die Buchstaben enthalten, die du schon kennst (also aα, β und γ):

hc = b • sin(α) = 8 • sin(30°) = 4

ha = b • sin(γ) = 8 • sin(80°) = 7,88

  • Schritt 3: hb kannst du so nicht ausrechnen, weil du entweder die Seite a oder die Seite c für die Formel brauchst. Suche dir deshalb eine Formel, in a oder c vorkommt, zum Beispiel hc = a • sin(β).
    Hier kennst du hc und β und kannst a ausrechnen, indem du die Formel umstellst:

        \[\textcolor{red}{a} = \frac{h_c}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})} = \frac{4}{\sin(\textcolor{orange}{70^{\circ}})}=4,26\]

  • Schritt 4: Jetzt kennst du a und kannst damit hb ausrechnen:

hb = a • sin(γ) = 4,26 • sin(80°) = 4,2

Prima! Die Höhen in deinem Dreieck sind ha = 7,88 cm, hb = 4,2 cm und hc = 4 cm.

Übrigens: Wenn in einem Dreieck alle drei Seiten und Winkel gleich groß sind, sprichst du von einem gleichseitigen Dreieck . In einem solchen Dreieck sind dann auch alle Höhen gleich lang. Du musst also mit der Formel nur eine Höhe des Dreiecks berechnen. 

Höhenschnittpunkt

In einem Dreieck gibt es immer drei Höhen, nämlich auf jeder der drei Seiten.

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Dreieck mit Höhenschnittpunkt

Die drei Höhen schneiden sich immer in einem Punkt, dem sogenannten Höhenschnittpunkt H. Je nachdem, wie das Dreieck aussieht , liegt der an unterschiedlichen Stellen.

Spitzwinkliges Dreieck

Bei einem spitzwinkligen Dreieck sind alle Winkel kleiner als 90°. Der Höhenschnittpunkt liegt dann innerhalb des Dreiecks. 

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Höhenschnittpunkt spitzwinkliges Dreieck

Stumpfwinkliges Dreieck

Bei deinem stumpfwinkligen ist ein Winkel größer als 90°, in diesem Fall γ. Hier kannst du die Höhe auf der längsten Seite (hier c) ganz leicht einzeichnen. 

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Stumpfwinkliges Dreieck

Für die anderen Höhen musst du die Seiten, die am stumpfen Winkel anliegen (hier a und b), mit gestrichelten Linien verlängern. Dann zeichnest du die Höhe so ein, dass sie im rechten Winkel auf der verlängerten Seite steht und durch die gegenüberliegende Ecke geht.

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Höhenschnittpunkt stumpfwinkliges Dreieck

Du siehst, dass der Höhenschnittpunkt außerhalb des Dreiecks liegt.

Rechtwinkliges Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel genau 90° groß. Die Höhe auf der längsten Seite (hier c), kannst du direkt einzeichnen. 

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Höhenschnittpunkt rechtwinkliges Dreieck

Die anderen beiden Höhen im Dreieck sind einfach die Seiten am rechten Winkel, also a und b. Du musst sie nicht extra einzeichnen. Der Höhenschnittpunkt liegt also bei C, denn dort schneiden sich a, b und hc.

Höhenabschnitte

Du kannst im Dreieck h berechnen, du kannst dir aber auch immer zwei Abschnitte einer Höhe anschauen. Den Abschnitt von der Ecke bis zum Höhenschnittpunkt und den Abschnitt vom Höhenschnittpunkt bis zu gegenüberliegenden Seite

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Höhenabschnitte

Die Längen der zusammengehörigen Abschnitte kannst du jeweils malnehmen:

23 = 6
1,54 = 6
16 = 6

Dann fällt dir auf, dass alle Ergebnisse gleich sind! Das Produkt der Höhenabschnitte ist also bei allen drei Höhen dasselbe!

Höhenfußpunktdreieck

Du kannst dir nicht nur den Höhenschnittpunkt, sondern die Fußpunkte der einzelnen Höhen im Dreieck anschauen. Das sind die Punkte, in denen die Höhe eine Seite schneidet. Die drei Höhenfußpunkte kannst du dann zu einem neuen Dreieck verbinden, dem sogenannten Höhenfußpunktdreieck.

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Höhenfußpunktdreieck

Der Höhenschnittpunkt liegt dann im Höhenfußpunktdreieck. Er ist der Mittelpunkt seines Inkreises. Das bedeutet, dass du mit dem Zirkel an Höhenschnittpunkt einstechen kannst und einen Kreis zeichnen kannst, der alle drei Seiten des Höhenfußpunktdreiecks berührt, aber nicht schneidet. 

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Höhenfußpunktdreieck mit Inkreis

Flächeninhalt Dreieck

Jetzt bist du Profi, wenn es darum geht, die Höhe eines Dreiecks zu berechnen. Die Höhe vom Dreieck brauchst du aber auch, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu ermitteln. Du willst wissen, wie das genau geht? Dann schau dir gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Flächeninhalt Dreieck
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