Dreieck Formeln
Du fragst dich, mit welchen Formeln du Dreiecke berechnest? Hier im Beitrag und im Video findest du alle wichtigen Formeln, die du brauchst.
Inhaltsübersicht
Was ist ein Dreieck?
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Um es zu berechnen, brauchst du diese Formeln:
- Umfang: U = a + b + c
- Flächeninhalt: A = ½ ⋅ g ⋅ h
- Flächeninhalt bei rechtwinkligem Dreieck: A = ½ · a · b
Dabei bezeichnest du die Ecken eines Dreiecks mit den Großbuchstaben A, B und C. Die jeweils gegenüberliegenden Seiten von den Ecken sind dann a, b und c.
Die Grundseite, also die untere Seite des Dreiecks bezeichnest du außerdem mit g. Die Höhe nennst du dabei h.
Außerdem besitzt ein Dreieck drei Innenwinkel. An jeder Ecke befindet sich ein Winkel: α (Alpha) bei A, β (Beta) bei B und γ (Gamma) bei C.
Wenn du die drei Innenwinkel in einem Dreieck zusammenzählst, ergibt das immer 180 Grad. Der sogenannte Innenwinkelsatz beträgt also: α + β + γ = 180°
Umfang Dreieck berechnen Formel
Um den Umfang eines Dreiecks zu berechnen, addierst du die drei Seiten. Die Formel lautet:
U= a + b + c
Zum Beispiel hast du ein Dreieck mit den Seitenlängen 5 cm, 7 cm und 9 cm. Den Umfang berechnest du nun so:
U= 5 cm + 7 cm + 9 cm
U= 21 cm
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Flächeninhalt Dreieck berechnen
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der folgenden Formel berechnen:
A= ½ ⋅ g (Grundseite) ⋅ h (Höhe der Grundseite)
Die Grundseite g ist dabei immer die untere Seite des Dreiecks. Unter der Höhe h verstehst du den Abstand zwischen Seite c und Ecke C.
Zum Beispiel hast du ein Dreieck mit einer Grundseite von 8 cm und einer Höhe von 5 cm. Der Flächeninhalt wird wie folgt berechnet:
A= ½ ⋅ 8 cm ⋅ 5 cm
A= 20 cm
Verschiedene Formen von Dreiecken
Bei Dreiecken unterscheidest du verschiedene Typen. Sie haben jeweils unterschiedliche Eigenschaften bei den Seiten und Winkeln. Dreiecke kannst du in vier Haupttypen unterteilen:
- das ungleichseitige Dreieck
- das gleichseitige Dreieck
- das gleichschenklige Dreieck
- das rechtwinklige Dreieck.
Ungleichseitiges Dreieck
Bei einem ungleichseitigen Dreieck haben alle drei Seiten eine andere Länge. Das bedeutet, dass auch die drei Winkel unterschiedlich groß sind.
Ein ungleichseitiges Dreieck hat zum Beispiel die Seitenlängen 5 cm, 7 cm und 9 cm. Die Formel dazu ist: a ≠ b ≠ c.
Gleichseitiges Dreieck
Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Dabei sind auch alle drei Winkel gleich groß sind, nämlich 60 Grad.
Ein Beispiel wäre ein Dreieck mit drei Seiten von je 6 cm Länge. Die Formel dazu ist: a = b = c.
Gleichschenkliges Dreieck
Eine weitere Art von Dreiecken ist das gleichschenkliges Dreieck. Das hat zwei gleich lange Seiten und damit auch zwei gleich große Winkel. Die beiden gleich langen Seiten nennst du auch Schenkel.
Ein Beispiel wäre ein Dreieck mit den Seitenlängen 5 cm, 5 cm und 8 cm.
Rechtwinkliges Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 90 Grad. Die beiden kürzeren Seiten nennst du Katheten, und die längste Seite heißt Hypotenuse.
Ein Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck wären Kathetenlängen mit 3 cm und 4 cm, und eine 5 cm lange Hypotenuse.
Übrigens: Um die einzelnen Seiten auszurechnen, benutzt du bei einem rechtwinkligen Dreieck den Satz des Pythagoras: a2 + b2 = c2
Flächeninhalt rechtwinkliges Dreieck — ein Sonderfall
Um den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, kannst du einen Trick anwenden. Lege dafür zwei rechtwinklige Dreiecke zusammen. Du erhältst dann ein Rechteck.
Um die Fläche des Dreiecks zu berechnen, kannst du den Flächeninhalt eines Rechtecks nehmen und ihn durch zwei teilen. Dabei stellen die beiden Katheten a und b die Höhe und die Breite des Rechtecks dar.
Zum Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 3 cm und 4 cm. Der Flächeninhalt wird wie folgt berechnet:
A= ½ ⋅ 3 cm ⋅ 4 cm
A= 6 cm
Dreieck Formeln — häufigste Fragen
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Dreieck Formeln — häufigste Fragen
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Wie finde ich die Höhe zu einer Seite, wenn sie nicht eingezeichnet ist?Die Höhe zu einer Seite findest du, indem du von der gegenüberliegenden Ecke ein Lot (Senkrechte) auf diese Seite fällst. Der Abstand von Ecke zur Seite ist die Höhe, auch wenn der Lotfuß außerhalb des Dreiecks liegt. Zum Beispiel liegt bei einem stumpfwinkligen Dreieck die Höhe zur längsten Seite oft außerhalb.
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Welche Fehler passieren oft, wenn ich Grundseite und Höhe verwechsle?Häufiger Fehler ist, eine schräge Seite als Höhe zu nehmen, obwohl die Höhe immer senkrecht zur gewählten Grundseite stehen muss. Ein zweiter Fehler ist, Grundseite und Höhe aus unterschiedlichen Seiten zu kombinieren. Beispiel: Zur Grundseite
gehört nur die dazu senkrechte Höhe 
, nicht eine andere Seitenlänge.
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Wann kann ich aus drei Seiten kein Dreieck zeichnen?Aus drei Seiten kann kein Dreieck entstehen, wenn die Dreiecksungleichung verletzt ist: Die Summe zweier Seiten muss immer größer als die dritte Seite sein. Beispiel: Mit 2 cm, 3 cm und 6 cm klappt es nicht, weil
nicht größer als 6 ist, die Strecken erreichen sich nicht.
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Wie berechne ich den Flächeninhalt, wenn ich nur drei Seiten kenne?Den Flächeninhalt aus drei Seiten berechnest du mit der Heron-Formel:
und 
. Dabei ist 
der Halbumfang. Diese Methode funktioniert für jedes Dreieck, solange die drei Seiten überhaupt ein Dreieck bilden.
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Wie erkenne ich schnell, welche Seite die Hypotenuse ist?Die Hypotenuse ist in einem rechtwinkligen Dreieck immer die Seite gegenüber dem rechten Winkel und zugleich die längste Seite. Suche also zuerst den
-Winkel und nimm die gegenüberliegende Seite. Beispiel: Liegt der rechte Winkel zwischen zwei Seiten, ist die dritte Seite automatisch die Hypotenuse.
Rechteck
Jetzt weißt du alles Wichtige über Dreiecke und ihre Formeln. Wenn du mehr über geometrische Figuren wissen möchtest, schau dir hier unseren Beitrag über Rechtecke an.
