Was ist eine Kreuztabelle in der Statistik?

Eine Kreuztabelle (Kontingenztabelle) ist eine Übersicht, die zwei nominalskalierte Merkmale gleichzeitig darstellt, zum Beispiel „Geschlecht“ und „Hobby“. In den Zellen stehen die beobachteten Häufigkeiten für jede Merkmalskombination. Zusätzlich zeigen Zeilen- und Spaltensummen, wie viele Fälle insgesamt pro Ausprägung vorkommen.

Wie berechnet man die erwarteten Häufigkeiten in der Kontingenztabelle?

Erwartete Häufigkeiten berechnet man, indem man für jedes Tabellenfeld die Zeilensumme mit der Spaltensumme multipliziert und durch die Stichprobengröße teilt. Konkret: Bei 70 Jungen, 26 Personen mit „lesen“ und ergibt sich als erwartete Häufigkeit.

Was ist der Unterschied zwischen Cramers V und Chi-Quadrat?

Chi-Quadrat () misst, wie stark beobachtete und erwartete Häufigkeiten in einer Kreuztabelle insgesamt voneinander abweichen und ist die Grundlage, um Unabhängigkeit zu prüfen. Cramers V nutzt diesen -Wert und skaliert ihn auf einen Wert zwischen 0 und 1, um die Stärke des Zusammenhangs vergleichbar anzugeben.

Wie ordnet man Cramers V als schwachen, mittleren oder starken Zusammenhang ein?

Cramers V ordnet man ein, indem man den berechneten Wert auf einer Interpretationsskala für die Zusammenhangsstärke einliest. Werte nahe 0 stehen für keinen oder sehr schwachen Zusammenhang, Werte nahe 1 für einen sehr starken Zusammenhang. Im Beispiel mit wird der Zusammenhang als schwach eingeordnet.

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Cramers V

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist Cramers V?

(00:12)

Cramers V berechnen: Beispiel

(01:16)

Du möchtest wissen, was Cramers V ist und wie du es berechnen kannst? Hier und in unserem Video erklären wir es dir anhand von einem Beispiel!

Inhaltsübersicht

Was ist Cramers V?

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(00:12)

Cramers V ist ein Maß dafür, wie groß der Zusammenhang zwischen zwei nominalskalierten Variablen ist. Das kann zum Beispiel der Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby sein.

Der Wert von Cramer’s V liegt dabei immer zwischen 0 und 1. Dabei gilt: je höher der Wert, desto größer der statistische Zusammenhang!

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Hast du eine k×m–Tabelle der Merkmalsausprägungen mit k Zeilen und m Spalten gegeben, kannst du Cramers V ganz leicht berechnen und interpretieren:

Bestimme mithilfe der Tabelle zuerst Chi-Quadrat (X² )
Berechne damit Cramers V, wobei
$V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}}$
Interpretiere dein Ergebnis mithilfe der Skala.

Das ging dir zu schnell? Im Folgenden siehst du ein ganz ausführliches Beispiel!

Cramers V berechnen: Beispiel

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(01:16)

Du möchtest herausfinden, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Geschlecht und dem Hobby einer Person gibt. Dazu befragst du in deinem Bekanntenkreis 70 Jungen und 50 Mädchen, ob sie lieber lesen, Computerspiele spielen oder Sport machen. Die Stichprobengröße beträgt also insgesamt 120.

Dabei hältst du deine beobachteten Häufigkeiten in folgender Kontingenztabelle fest.

	lesen	Computerspiele	Sport	Summe (Zeile)
Jungen	11	33	26	70
Mädchen	15	17	18	50
Summe (Spalte)	26	50	44	120

Übrigens: Im Gegensatz zum Phi Koeffizient kannst du Cramer’s V auch berechnen, wenn ein Merkmal mehr als 2 Ausprägungen hat (hier das Merkmal Hobby).

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1. Chi Quadrat berechnen

Um Cramers V zu berechnen, musst du davor X² bestimmen.

Stelle dazu zuerst eine sogenannte Indifferenztabelle auf. Sie gibt die erwarteten Häufigkeiten an. Das sind die Häufigkeiten, die du erhalten würdest, wenn Geschlecht und Hobby komplett unabhängig wären.
Für die Einträge der Felder gilt:
$\text{Zeile x, Spalte y} = \frac{\textcolor{red}{\text{Summe Zeile x}} \cdot \textcolor{olive}{\text{ Summe Spalte y}}}{\text{Stichprobengröße 120}}$

	lesen	Computerspiele	Sport	Summe (Zeile)
Jungen	$\frac{70 \cdot 26}{120}$ = 15,2	$\frac{70 \cdot 50}{120}$ = 29,2	$\frac{70 \cdot 44}{120}$ = 25,7	70
Mädchen	$\frac{50 \cdot 26}{120}$ = 10,8	$\frac{50 \cdot 50}{120}$ = 20,8	$\frac{50 \cdot 44}{120}$ = 18,3	50
Summe (Spalte)	26	50	44	120

Damit kannst du X² jetzt leicht bestimmen. Dazu gehst du jedes der 6 Tabellenfelder (z.B. Jungen – lesen) durch und rechnest dafür
$\frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}$
Die beobachtete Häufigkeit bekommst du aus der ursprünglichen Tabelle, die erwartete Häufigkeit aus der Indifferenztabelle. Für das Feld Jungen – lesen bekommst du also
$\frac{(11 - 15,2)^2}{15,2}$
Um X² zu erhalten, addierst du anschließend die Ergebnisse für jedes Feld:
$\begin{align*} \textcolor{blue}{\chi^2} &= \sum{\frac{(\text{beobachtete Häufigkeit} - \text{erwartete Häufigkeit})^2}{\text{erwartete Häufigkeit}}} \\ &= \frac{(11 - 15,2)^2}{15,2} + \frac{(33 - 29,2)^2}{29,2} + \frac{(26 - 25,7)^2}{25,7} \\ &~~+ \frac{(15 - 10,8)^2}{10,8} + \frac{(17 - 20,8)^2}{20,8} + \frac{(18 - 18,3)^2}{18,3} \\ &= 3,99 \end{align*}$

2. Cramers V berechnen

Mithilfe deines X²-Wertes kannst du jetzt ganz einfach Cramer’s V berechnen. Die Formel dazu lautet:

$V = \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{\chi^2}}{\text{Stichprobengröße} \cdot \text{min}(\textcolor{red}{k}-1, \textcolor{olive}{m}-1)}}$

Du weißt:

X² = 3,99
Stichprobengröße = 120
Zeilenanzahl k = 2, Spaltenanzahl m = 3.

Also bekommst du:

$\begin{align*} V &= \sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot \text{min}(\textcolor{red}{2}-1, \textcolor{olive}{3}-1)}} \\ &=\sqrt{ \frac{\textcolor{blue}{3,99}}{120 \cdot 1 }} \\ &= 0,18\end{align*}$

3. Cramers V interpretieren

Zuletzt musst du deinen berechneten Wert von V = 0,18 nur noch interpretieren. Dabei hilft dir die Skala von oben:

In deinem Bekanntenkreis gibt es also einen schwachen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Hobby!

Pearson Korrelation

Übrigens: Da der Wert des cramerschen Kontigenzmaß immer positiv ist, kann er nur eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs treffen, nicht aber über die Richtung!

Anders ist das bei der Pearson Korrelation, bei der der Korrelationskoeffizient r zwischen -1 und 1 liegt. Du möchtest mehr über die Pearson Korrelation erfahren? Dann schau dir direkt unser Video dazu an!

Cramers V — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine Kreuztabelle in der Statistik?

Eine Kreuztabelle (Kontingenztabelle) ist eine Übersicht, die zwei nominalskalierte Merkmale gleichzeitig darstellt, zum Beispiel „Geschlecht“ und „Hobby“. In den Zellen stehen die beobachteten Häufigkeiten für jede Merkmalskombination. Zusätzlich zeigen Zeilen- und Spaltensummen, wie viele Fälle insgesamt pro Ausprägung vorkommen.
Wie berechnet man die erwarteten Häufigkeiten in der Kontingenztabelle?

Erwartete Häufigkeiten berechnet man, indem man für jedes Tabellenfeld die Zeilensumme mit der Spaltensumme multipliziert und durch die Stichprobengröße teilt. Konkret: Bei 70 Jungen, 26 Personen mit „lesen“ und ergibt sich $\frac{70\cdot26}{120} = 15{,}2$ als erwartete Häufigkeit.
Was ist der Unterschied zwischen Cramers V und Chi-Quadrat?

Chi-Quadrat ( $\chi^2$ ) misst, wie stark beobachtete und erwartete Häufigkeiten in einer Kreuztabelle insgesamt voneinander abweichen und ist die Grundlage, um Unabhängigkeit zu prüfen. Cramers V nutzt diesen $\chi^2$ -Wert und skaliert ihn auf einen Wert zwischen 0 und 1, um die Stärke des Zusammenhangs vergleichbar anzugeben.
Wie ordnet man Cramers V als schwachen, mittleren oder starken Zusammenhang ein?

Cramers V ordnet man ein, indem man den berechneten Wert auf einer Interpretationsskala für die Zusammenhangsstärke einliest. Werte nahe 0 stehen für keinen oder sehr schwachen Zusammenhang, Werte nahe 1 für einen sehr starken Zusammenhang. Im Beispiel mit wird der Zusammenhang als schwach eingeordnet.

Zusammenhänge verstehen

Cramers V ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen nominalskalierten Variablen und gehört damit in das Themenfeld statistischer Zusammenhänge. Wer sich mit Zusammenhängen beschäftigt, vergleicht Merkmale, Werte und Daten aus Stichproben. So wird klar, wann Variablen voneinander abhängen und wie stark ein Zusammenhang ist. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.

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