Entscheidungstheorie

Hodges-Lehmann-Regel

Du hast schon von der Hodges-Lehmann-Regel gehört, weißt aber nicht wie du sie anwenden sollst? Kein Problem, in diesem Beitrag erklären wir dir wie du eine Entscheidung nach dieser Regel treffen kannst.

Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur

Bisher konnten wir jedem möglichen Zustand immer eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zuordnen. Ab jetzt sind diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen unsicher oder partiell, das heißt nur teilweise vorhanden. Nun dreht sich alles um Entscheidungen bei variabler Informationsstruktur, also Mischformen zwischen Sicherheit, Risiko und Ungewissheit.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind unsicher oder partiell

1. Hodges-Lehmann-Regel

Eine Möglichkeit in dieser Situation eine Entscheidung treffen zu können, ist die Anwendung einer der beiden sogenannten Hodges-Lehmann-Regeln.

Betrachten wir zunächst die erste Hodges-Lehmann-Regel mit folgender Bewertungsfunktion:

\phi(ai) =  l * Suij * pj + (1-l) * min uij           → max

Diese ist quasi ein Kompromiss zwischen Bayes- und Wald-Regel. Indem wir diese beide Regeln jetzt kombinieren, erhalten wir eine Mischung aus Ungewissheit und Risiko. Mit dem Vertrauensparameter \lambda, der zwischen 0 und 1 liegen muss, können wir dann gewichten, welche der beiden Regeln wir stärker berücksichtigen wollen. Kompromisse zwischen anderen Regeln sind ebenso möglich.

Betrachten wir das ganze anhand eines Beispiels. Stell dir vor du stehst vor folgendem Entscheidungsproblem:

Gewichung der Regeln mithilfe von Lambda

Um die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Zustände zu erfahren, hast du einen Experten um Hilfe gebeten. Dieser hat dir für Zustand 1 und 2 eine Wahrscheinlichkeit von je 30% und für Zustand 3 eine Wahrscheinlichkeit von 40% prognostiziert. Allerdings kannst du seinen Angaben nicht ganz vertrauen, weil er sich aufgrund eines Alkoholproblems des Öfteren verrechnet.

Deswegen, und weil du generell eher pessimistisch bist, möchtest du nicht nur die Bayes-Regel anwenden, bei der man sich nur auf die Erwartungswerte verlässt, sondern auch das Minimax-Prinzip. Dafür ist die 1. Hodges-Lehmann-Regel eine ideale Lösung. Als Vertrauensparameter \lambda legst du einen Wert von 0,5 fest.

Und wie rechnet man nun weiter? In unserem Video erklären wir es dir!

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