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Eulersche Knickfälle berechnen

Beim Eulerknicken betrachten wir einen auf einer Seite eingespannten Stab, der in der Längsrichtung belastet wird und bei einer kritischen Kraft abknickt. Diese Druckkraft wollen wir im Folgenden berechnen. Das gleiche Prinzip kannst du auch bei deinem Plastiklineal beobachten, wenn du es unten festhältst und von oben solange drückst bis es abknickt.

Inhaltsübersicht

Eulersche Knickfälle: Kritische Kraft und Formel

Bei der kritischen Kraft handelt es sich um die kleinstmögliche Druckkraft, bei der das Bauteil einknickt. Sie wird durch die Eulersche Knickformel beschrieben und kann auch als Knicklast bezeichnet werden.

$F_{krit}=\frac{\pi^2}{l_0^2}EJ$

Knicklänge

Die Knicklänge l_0 hängt von der jeweiligen Lagerung ab. Das heißt, wir erhalten verschiedene Arten des Knickens. Diese werden unter den 4 Eulerschen Knickfällen zusammengefasst.

Eulersche Knickfälle - knickung berechnen — Die vier eulerschen Knickfälle

Um auf die Form des Knickens zu kommen, müssen wir den erhaltenen Wert für die kritische Kraft in die Funktion für die Biegelinie einsetzen. Durch kürzen von und Ziehen der Wurzel erhalten wir:

$w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\sqrt{\frac{F}{EJ}}x\right)}\right]=f\left[1-\cos{\left(\frac{\pi}{l_0}x\right)}\right]$

Die Verschiebung bildet jetzt den maximalen Ausschlag beim Knicken. Wie du mit den erhaltenen Formeln umzugehen hast und wie genau sich l_0 für verschiedene Lagerungen verhält, zeigen wir dir im nächsten Absatz.

Knickung berechnen

Da das Ganze nicht so anschaulich ist, zeigen wir dir für die vier Eulerfälle, also für vier verschiedene Werte von l_0 das Knicken eines Stabes der Länge unter kritischer Last. Die Festigkeit nehmen wir im Folgenden an mit $156,25\ast{10}^8Nmm^2$ und die Länge sei 500 Millimeter.

1. Eulersche Knickfall

Wir beginnen mit dem 1.Fall, also einem Balken, der einseitig fest eingespannt wurde. Hierfür wird l_0 zu . Wir erhalten also für die Biegelinie:

$w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\frac{\pi}{2l}x\right)}\right]$

In diesem Fall ist die kritische Kraft dann:

$F_{krit}=\frac{\pi^2}{4l^2}EJ=154.212,6N$

1. Eulersche Knickfall Formel — 1. Eulersche Knickfall

2. Eulersche Knickfall

Als nächstes betrachten wir einen Balken, der durch zwei Festlager gehalten wird.
Hier wird l_0 genau zu . Die Biegelinie ergibt sich dann zu:

$w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\frac{\pi}{l}x\right)}\right]$

Wie erwartet, wölbt sich der Balken nach außen. Die kritische Kraft berechnet sich hier mit:

$F_{krit}=\frac{\pi^2}{l^2}EJ=616.850,3\ N$

2. Eulersche Knickfall Formel — 2. Eulersche Knickfall

3. Eulersche Knickfall

Als drittes betrachten wir den Fall einer festen Einspannung an einer Seite, mit einem Festlager an der anderen. Wir erhalten l_0 zu 0,7 mal l. Für die Biegelinie ergibt sich damit:

$w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\frac{\pi}{0,7\ast l}x\right)}\right]$

Man erkennt, dass sich die Wölbung in Richtung des Festlagers verschiebt. Für die kritische Kraft erhalten wir:

$F_{krit}=\frac{\pi^2}{\left(0,7\ast l\right)^2}EJ=1.258.878,11N$

3. Eulersche Knickfall Formel — 3. Eulersche Knickfall

4. Eulersche Knickfall

Als letztes betrachten wir einen Balken, der beidseitig fest eingespannt wurde. Hier erhalten wir l_0 zu $\frac{l}{2}$ . Bestimmen wir erneut die Biegelinie, ergibt sich:

$w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\frac{2\pi}{l}x\right)}\right]$

Hier wölbt sich der Balken auch nach außen. Der Unterschied ist hier nur, dass wir an den Einspannungen keine Änderung der Biegelinie haben können und die Wölbung weiter in der Mitte stattfindet. In diesem Fall ist die kritische Kraft dann:

$F_{krit}=\frac{4\pi^2}{l^2}EJ=2.467.401,1N$

1. Eulersche Knickfall Formel — 1. Eulersche Knickfall

Fassen wir also noch einmal zusammen. Die kritische Kraft, auch Knicklast bringt den Körper zum Einknicken. Um die Knickung zu berechnen, setzen wir die sich aus den verschiedenen Knickfällen ergebende Knicklänge in die Biegelinie ein und erhalten so die Form des Knickens. Je fester der Körper eingespannt ist, desto höher wird also die Knicklast.

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