Festigkeitslehre

Satz von Steiner

Den Satz von Steiner kannst du sowohl bei Flächenträgheitsmomenten als auch bei  Massenträgheitsmomenten benutzen. In diesem Beitrag zeigen wir dir wie.

Falls du das Thema kurz und knapp in einem Video erklärt bekommen willst, dann schau doch hier mal rein.

Inhaltsübersicht

Satz von Steiner einfach erklärt

Der Satz von Steiner oder auch steinerscher Satz kannst du für Flächenträgheitsmomente und für Massenträgheitsmomente berechnen.

Beim Massenträgheitsmoment hilft er dir, das Trägheitsmoments eines Körpers bei parallel verschobener Drehachse zu berechen.

Hingegen verwendest du ihn beim Flächenträgheitsmoment, wenn der Flächenschwerpunkt deiner Querschnittsfläche nicht mit dem Koordinatenursprung zusammen fällt. So kannst du den Widerstand eines Bauteils gegen eine Verformung bezogen auf eine beliebige Querschnittsfläche berechnen.

Satz von Steiner Massenträgheitsmoment

Bei der Massenträgheit geht es um die Rotation eines Körpers um eine Drehachse. Das Massenträgheitsmoment spiegelt den Widerstand des Körpers gegen eine Änderung seiner Drehbewegung wider.

Läuft dabei die Drehachse durch den Massenmittelpunkt des zu berechnenden Körpers, so kannst du die ganz normale Formel, wie im hier verlinkten Video, hernehmen. Ist die Rotationsachse allerdings parallel zu der, die durch den Massenmittelpunkt läuft, verschoben, so musst du den steinerschen Satz anwenden.

Bei dem Satz von Steiner ergibt sich das Massenträgheitsmoment JA aus dem Moment einer Achse durch den Mittelpunkt JS des Körpers und dem sogenannten steinerschen Anteil. Die Formel lautet:

J_A = J_S + m \cdot d^2

Dabei ist m die Masse des Körpers und d der Abstand der zwei Drehachsen zueinander. Das Produkt zwischen Masse und dem Abstand der Drehachsen wird auch als steinerscher Anteil bezeichnet.

Mit der Hilfe Satzes von Steiner kann das Massenträgheitsmoment eines Körpers, der um eine, zu der Drehachse durch den Massenmittelpunkt, parallelen Achse rotiert, berechnet werden.

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Satz von Steiner Flächenträgheitsmoment

Bei dem Flächenträgheitsmoment handelt es sich im Gegensatz zum Massenträgheitsmoment nicht um den Widerstand gegenüber einer Änderung der Drehbewegung. Stattdessen geht es bei Flächen um den Widerstand gegenüber einer Verformung durch eine äußere Belastung auf das Bauteil. Das Flächenträgheitsmoment berechnet diesen Widerstand in Abhängigkeit einer Querschnittsfläche. Das heißt, wir betrachten hier keine Drehung!

Der Satz von Steiner wird in diesem Fall benötigt, falls der Flächenschwerpunkt der Querschnittsfläche nicht im Koordinatenursprung liegt.

Das Flächenträgheitsmoment setzt sich dann aus den normalen Momenten bezogen zu den jeweiligen Flächenschwerpunkten und dem steinerschen Anteil zusammen. Der Anteil besteht aus dem Flächeninhalt und dem Abstand der Fläche zu dem Gesamtschwerpunkt zusammen.

Berechnung in vier Schritten

  1. Geometrie in bekannte Flächen wie Kreise oder Rechtecke aufteilen.
  2. Flächenschwerpunkt berechnen.
  3. Abstände der Schwerpunkte der Einzelflächen zum Gesamtschwerpunkt bestimmen.
  4. Flächenträgheitsmomente ermitteln: In diesem Schritt musst du zuerst die Eigenträgheitsmomente berechnen, dann die Anteile nach dem Satz von Steiner herausfinden und zum Schluss beide zusammenführen.

Das klingt jetzt noch etwas kompliziert. Deshalb gehen wir das Ganze mit einem Doppel-T-Träger durch. Der Steg hat die Höhe h eins gleich 20 Zentimeter und die Breite b eins gleich 1,5 Zentimeter. Der obere Gurt hat eine Höhe von h zwei gleich 2,5 Zentimeter und eine Breite b zwei von 15 Zentimeter. Der untere Gurt hat hingegen eine Höhe h drei von einem Zentimeter und eine Breite von 20 Zentimeter. Das Koordinatensystem möchten wir genau in die Mitte des Stegs legen.

Flächenträgheitsmoment, Koordinatensystem, Trägheitsmoment, Doppel T-Träger
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Abmessungen Doppel T-Träger

Das Einteilen in Flächen haben wir durch die Beschreibung des Doppel-T-Trägers bereits gemacht. Also berechnen wir jetzt den Schwerpunkt. Aus Symmetriegründen erkennen wir direkt, dass der Schwerpunkt y S genau im Ursprung liegen muss. Also müssen wir nur noch die z-Koordinate bestimmen:

Für die Fläche 1 gilt dabei z1 ist gleich 0.
Für die Flächen 2 und 3 lässt sich z berechnen mit:

z_2=-\left(\frac{h_1}{2}+\frac{h_2}{2}\right)=\ -\left(\frac{20}{2}+\frac{2,5}{2}\right) = -11,25\ cm

z_3=\left(\frac{h_1}{2}+\ \frac{h_{3}}{2}\right)=\ \left(\frac{20}{2}+\ \frac{1}{2}\right)=10,5\ cm

Setzen wir z1, z2 und z3 in die Formel für die z-Koordinate des Schwerpunkts ein, erhalten wir:

z_S=\frac{z_1A_1+z_2A_2+z_3A_3}{A}=\frac{0\ast A_1+\left(-11,25cm\right)A_2+\left(10.5cm\right)A_3}{A}=-2,421cm

Als nächstes bestimmen wir die Abstände. Allgemein gilt dabei:

z_{A,i}=z_i-z_S\ und\ y_{A,i}=y_i-y_S

Wir können also für jede Fläche allgemein die Abstände bestimmen:
Für A eins gilt:

A_1:\ z_{A,1}=z_1-z_S=2,421cm\ und\ y_{A,1}=y_1-y_S=0

Für A zwei gilt:

A_2:\ z_{A,2}=z_2-z_S=-8,829\ cm\ und\ y_{A,2}=y_2-y_S=0

Und für A drei gilt:

A_3:\ z_{A,3}=z_3-z_S=12,921cm\ und\ y_{A,3}=y_3-y_S=0

Flächenträgheitsmoment bestimmen

Jetzt können wir auch schon die Flächenträgheitsmomente bestimmen. Als erstes musst du die Eigenträgheitsmomente, also die Flächenträgheitsmomente der einzelnen Flächen bezüglich ihres eigenen Schwerpunkts, herausfinden. Die Formeln für die Berechnung der Flächenträgheitsmomente bekannter Flächen kann man einer Tabelle entnehmen, die dir in der Klausur meist gegeben ist. Dabei gilt für Rechteckflächen:

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Flächenträgheitsmomente – Tabelle

Damit können wir die Eigenträgheitsmomente unserer Flächen bestimmen:

A_1:\ \ J_{22,1}=\frac{b_1h_1^3}{12}=1000{mm}^4,\ \ J_{33,1}=\frac{b_1^3h_1}{12}=5,625{mm}^4

A_2:\ \ J_{22,2}=\frac{b_2h_2^3}{12}=19,531{mm}^4,\ \ J_{33,2}=\frac{b_2^3h_2}{12}=703,125{mm}^4

A_3:\ \ J_{22,3}=\frac{b_3h_3^3}{12}=1,667{mm}^4,\ \ J_{33,3}=\frac{b_3^3h_3}{12}=666,667{mm}^4

Als nächstes bestimmen wir die Steineranteile. Diese berechnen sich immer aus dem senkrechten Abstand zur Achse, in die das Flächenträgheitsmoment zeigt. Das heißt für j zwei zwei verwenden wir den Abstand in z-Richtung und für j drei drei in y-Richtung.

Steiner Anteile bestimmen

Damit können wir nun auch für jede Fläche die Steiner-Anteile bestimmen:
Für A1 erhalten wir:

A_1:\ \ J_{22,1}:\ z_{A,1}^2A_1=175,837{mm}^4,\ \ J_{33,1}:\ y_{A,1}^2A_1=0,\ \ J_{23,1}=z_{A,1}y_{A,1}A_1=0

Für A2 ergibt sich:

A_2:\ \ J_{22,2}:\ z_{A,2}^2A_2=2923,172{mm}^4,\ \ J_{33,2}:\ y_{A,2}^2A_2=0,\ \ J_{23,2}=z_{A,2}y_{A,2}A_2=0

Und für A3 erhalten wir:

A_3:\ J_{22,3}:\ z_{A,3}^2A_3=3339,045{mm}^4,\ \ J_{33,3}:\ y_{A,3}^2A_3=0,\ \ J_{23,3}=z_{A,3}y_{A,3}A_3=0

Jetzt haben wir alles, was wir brauchen, um die Flächenträgheitsmomente zu berechnen. Dafür addieren wir einfach die Eigenmomente und die Anteile nach dem Satz von Steiner der jeweiligen Flächen zu einem gesamten Flächenträgheitsmoment aufeinander auf:

J_{22,ges}=\ J_{22,1}+\ \ J_{22,2}+J_{22,3}+z_{A,1}^2A_1+z_{A,2}^2A_2+z_{A,3}^2A_3=7459,25\ {mm}^4

J_{33,ges}=J_{33,1}+J_{33,1}+J_{33,1}+y_{A,1}^2A_1+y_{A,2}^2A_2+y_{A,3}^2A_3=1375,416\ {mm}^4

J_{11,ges}=J_{22,ges}+J_{33,ges}=8834,668\ {mm}^4

J_{23,ges}=z_{A,1}y_{A,1}A_1+z_{A,2}y_{A,2}A_2+z_{A,3}y_{A,3}A_3=0

Für J drei drei und J zwei drei versschwinden die Steineranteile, da der y-Abstand der einzelnen Flächen zum Schwerpunkt Null ist.
Wenn du nach diesem Schema vorgehst, kannst du für jeden beliebigen Querschnitt die Flächenträgheitsmomente bestimmen.

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