Festigkeitslehre

Elastizitätsmodul

In diesem Beitrag wollen wir dir den Elastizitätsmodul näherbringen. Wir werden dir unter anderem erklären, was der Elastizitätsmodul ist und welche Formeln es dazu gibt.

Du würdest dir die Erklärung lieber anhören als lesen? Keine Sorge! Wir haben zum Elastizitätsmodul ein Video , worin du in kürzester Zeit das Nötigste beigebracht bekommst.

Inhaltsübersicht

Elastizitätsmodul einfach erklärt

Der Elastizitätsmodul (auch Zugmodul, Elastizitätskoeffizient, Dehnungsmodul, oder Youngscher Modul; wird oft mit E-Modul abgekürzt) beschreibt das Verhältnis zwischen Spannung und der daraus resultierenden Dehnung eines Körpers

E = \frac{\sigma}{\epsilon}

Im Spannungs-Dehnungs-Diagramm entspricht die Steigung im Bereich der elastischen Verformung gerade dem Elastizitätsmodul

E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon}.

Der Elastizitätsmodul ist eine Materialkonstante mit der Einheit \frac{N}{m^2}, häufiger aber in \frac{N}{mm^2} angegeben.

Mit den Formeln

\sigma = \frac{F}{A} für die Spannung

und

\epsilon = \frac{\Delta l}{l_0} für die Dehnung

erhalten wir den Zusammenhang

\Delta l = \frac{1}{E} \cdot \frac{F}{A} \cdot {l_0}.

Hier ist F die Kraft, die auf einem Stab wirkt, A die Querschnittsfläche des Stabes, l_0 die Ruhelänge des Stabes und \Delta l die durch die Kraft hervorgerufene Längenänderung des Stabes. In dieser Form lässt sich die Formel mit der Merkregel „FLEA“ leicht einprägen.

Elastizitätsmodul Formel

In diesem Abschnitt wollen wir auf den Elastizitätsmodul als Steigung im Spannungs-Dehnungs-Diagramm etwas näher eingehen und abschließend eine kurze experimentelle Herleitung der FLEA-Formel aufzeigen.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm eines Materials wird mit Hilfe eines Zugversuches aufgenommen. Dabei wird ein Körper bekannter Ruhelänge l_0 und Querschnittsfläche A durch eine kontinuierlich steigende Kraft gedehnt. Für jeden Kraftwert wird die Längenänderung \Delta l bestimmt. Mit den Daten bildet man dann die Verhältnisse \frac{F}{A} für die Spannung \sigma und frac{\Delta l}{l_0} für die Dehnung \epsilon. Im Diagramm wird dann die Spannung vertikal, die dadurch hervorgerufene Dehnung horizontal aufgetragen. Ein typisches Diagramm sieht dabei folgendermaßen aus.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm Elastizitätsmodul
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Spannungs-Dehnungs-Diagramm

Im Diagramm wird der Bereich, in dem das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung linear ist, als elastischer Bereich bezeichnet. Der Punkt, ab dem das lineare Verhältnis verloren geht, heißt Elastizitätsgrenze (auch Streckgrenze). Innerhalb des elastischen Bereichs wird von einer elastischen Verformung gesprochen. Der Prüfkörper kehrt hier zu seiner ursprünglichen Form zurück, sobald keine Kraft mehr auf ihn ausgeübt wird. 

Wird der Körper über die Elastizitätsgrenze hinaus gedehnt, gelangt man in den plastischen Bereich. Hier bleiben die Verformungen, auch wenn auf dem Körper keine Kraft mehr wirkt. Die Dehnung im elastischen Bereich geschieht durch die Veränderung der Atomabstände innerhalb des Körpers. Plastische Verformung hingegen findet durch die Erzeugung und Bewegung von Versetzungen innerhalb des Körpers statt. Am rechten Ende des Diagramms findet man den Bruchpunkt. Hier wird die maximale Dehnung erreicht, ab der dann der Körper reißt.  Die dazugehörige Spannung wird als Festigkeit des Prüfkörpers bezeichnet.

Hat man zu einem beliebigen Körper das Spannungs-Dehnungs-Diagramm, dann kann man innerhalb des elastischen Bereiches die Steigung \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon} ausrechnen. Diese Steigung entspricht dann genau dem Elastizitätsmodul des Prüfkörpers

E = \frac{\Delta \sigma}{\Delta \epsilon}.

Hookesches Gesetz

Für das Experiment betrachten wir einen quaderförmigen Körper der Länge l_0 und Querschnittsfläche A. Wir interessieren uns wie sich die Kraft verhält, die notwendig ist, um eine Längenänderung \Delta l zu erzielen. Sofern wir uns im elastischen Bereich des Körpers befinden, zeigen Experimente (z.B. das des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes), dass folgendes gilt

F \thicksim \Delta l.

Das heißt, die für eine Längenänderung \Delta l notwendige Kraft F ist direkt proportional zur Längenänderung selbst. Diese Gesetzmäßigkeit wird auch als Hookesches Gesetz bezeichnet. Würde man an dieser Stelle die Proportionalitätskonstante k einführen, dann könnte man die Beobachtung formulieren als

F = -k \cdot x,

die sogenannte Federkraft. Wenn du mehr zur Federkraft oder der Federkonstanten k erfahren möchtest (zum Beispiel woher das Minuszeichen kommt), dann erreichst du durch das Anklicken der Verlinkungen unsere Beiträge zu diesem Themen. 

Einfluss der geometrischen Abmessungen

Wir interessieren uns aber welchen Einfluss die geometrischen Abmessungen des Körpers haben. Wenn du jetzt zwei identische Körper nimmst und auf jeden die Kraft F ausübst, dann ändert sich die Länge jeweils um \Delta l. Klebst du die beiden Körper zusammen, dann ändert sich daher die Länge des neuen Körpers mit der Länge 2l_0 um den Betrag 2 \Delta l. Diese Beobachtung bedeutet, dass die Längenänderung \Delta l abhängig von der Ruhelänge l_0 des Körpers ist. Um diese Abhängigkeit zu eliminieren, wird das Verhältnis betrachtet und man erhält 

F \thicksim \frac{\Delta l}{l_0},

die nun unabhängig von der Ruhelänge l_0 ist. 

Wenn du jetzt die zwei identischen Körper Seite an Seite zusammenklebst, dann brauchst du für eine gegebene Längenänderung \Delta l für beide Seiten eine Kraft F. Insgesamt brauchst du für den neuen Körper mit der Querschnittsfläche 2A eine Kraft von 2F, um die Längenänderung \Delta l zu erzielen. Wir erhalten somit 

F \thicksim A.

Führen wir den Proportionalitätsfaktor E ein, bekommen wir insgesamt also

F = E \cdot A \cdot \frac{\Delta l}{l_0}

für die Kraft, die notwendig ist, um den Körper um den Betrag \Delta l zu dehnen. Wenn wir diese Kraft mit der Federkraft vergleichen (und die Änderung \Delta x mit der Änderung \Delta l gleichsetzen) erhalten wir das Hookesches Gesetz wieder mit der Federkonstanten k = \frac{A \cdot E}{l_0}. Der eingeführte Faktor heißt Elastizitätsmodul. Anders als die Federkonstante hängt der Elastizitätsmodul nicht von den geometrischen Abmessungen des Körpers ab. Stellst du die Formel nach \Delta l um, erhältst du die gewünschte FLEA-Formel.

Elastizitätsmodul ausgewählter Materialien

In diesem Abschnitt zeigen wir dir die Elastizitätsmodule einiger Materialien und besprechen im Anschluss dazu die Unterschiede zu den weiteren Kenngrößen Steifigkeit, Härte und Zähigkeit.

Tabelle: Elastizitätsmodul ausgewählter Materialien
Material Elastizitätsmodul E (\mathsf{\frac{N}{m^2}})
Stahl 200 \cdot 10^9
Gusseisen 100 \cdot 10^9
Aluminium 70 \cdot 10^9
Messing 100 \cdot 10^9
Beton 20 \cdot 10^9
Granit 45 \cdot 10^9 
Holz (parallel zur Maserung) 10 \cdot 10^9
Holz (senkrecht zur Maserung) 1 \cdot 10^9
Knochen 15 \cdot 10^9

Wie du der Tabelle entnehmen kannst, ist der Elastizitätsmodul von Festkörpern ziemlich groß. In der Praxis nimmt man daher häufig auch die Einheit GPa für Gigapascal her. Der Elastizitätsmodul von Stahl ist dann E\mathsf{_{Stahl}} = 200 \ \mathsf{GPa}, der Elastizitätsmodul von Aluminium E\mathsf{_{Aluminium}} = 70 \ \mathsf{GPa}. Für Holz muss man den Elastizitätsmodul in zwei Richtungen messen. Das liegt daran, dass Holz ein anisotropes Material ist. In solchen Materialien ist der Elastizitätsmodul richtungsabhängig und muss durch den Spannungstensor beschrieben werden.

Steifigkeit, Härte und Zähigkeit

Die Steifigkeit eines Körpers beschreibt den Widerstand des Körpers gegenüber elastischer Verformung durch Kräfte. Anders als der Elastizitätsmodul hängt die Steifigkeit eines Körpers von den geometrischen Abmessungen des Körpers ab.

Die Härte eines Körpers beschreibt den Widerstand des Körpers gegen das mechanische Eindringen eines anderen Körpers. Die Härte eines Körpers tendiert mit steigendem Elastizitätsmodul ebenfalls zu steigen. Der Elastizitätsmodul ist aber nicht alleine für die Härte eines Körpers verantwortlich. Die Streckgrenze spielt dabei auch eine Rolle.

Die Zähigkeit beschreibt die Menge an Energie, die ein Körper aufnehmen kann, bevor es unter Belastung bricht. Während der Elastizitätsmodul der Steigung im elastischen Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagrammes entspricht, ist die Zähigkeit gerade die Fläche unter dem Graphen.

Elastizitätsmodul berechnen

Wollen wir uns zum Abschluss ein kleines Zahlenbeispiel anschauen. Wir betrachten dazu eine Gitarrensaite aus Stahl der Länge 1,00 \ \mathsf{m} mit einem Durchmesser von 1,1 \ \mathsf{mm}. Welche Kraft ist notwendig, um die Gitarrensaite um den Betrag 2 \ \mathsf{mm} zu dehnen? 

Wir nehmen dazu die FLEA-Formel und stellen sie nach der Kraft F um. Die Querschnittsfläche A der Saite entspricht A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0,00055 \ \mathsf{m})^2 = 0,95 \cdot 10^{-6} \ \mathsf{m^2}. Damit berechnet sich die gesuchte Kraft zu

F = E \cdot A \cdot \frac{\Delta l}{l_0} = 200 \cdot 10^9 \ \mathsf{\frac{N}{m^2}} \cdot 0,95 \cdot 10^{-6} \ \mathsf{m^2} \cdot \frac{0,002 \ \mathsf{m}}{1 \ \mathsf{m}} = 380 \ \mathsf{N}.

Der Elastizitätsmodul von Stahl wurde dabei der Tabelle oben entnommen.


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