Festigkeitslehre

Eulersche Knickfälle – Herleitung

Wie kannst du mithilfe der Eulerschen Knickfälle das Abknicken von Stäben beschreiben? Das erklären wir dir in diesem Beitrag!

Inhaltsübersicht

Knickung berechnen

Du weißt sicher, dass du ein Lineal schwer belasten kannst, ohne dass es knickt. Das kann durch die Eulerschen Knickfälle beschrieben werden. Was es damit auf sich hat, erklären wir dir jetzt.
Eulerknicken, was versteht man darunter eigentlich? Wie ist Euler überhaupt vorgegangen? Zunächst hat er sich einen Balken der Länge L, oder in unserem Fall das Lineal, vorgestellt und es mit einer Druckkraft F belastet. Das heißt, wir wollen den Balken „zusammendrücken“. Jetzt passiert bei einem einfachen Balken vorerst nicht so viel: Er bleibt erst einmal starr und alle Querschnittsverläufe sind konstant. Deshalb hat sich Euler den gleichen Balken vorgestellt, nur, dass dieser jetzt am freien Ende eine Durchbiegung von f hat.

Balken mit und ohne Durchbiegung
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Balken mit und ohne Durchbiegung

Das macht das ganze schon etwas interessanter, da wir jetzt auch einen Momentenverlauf betrachten können mit:

M\left(x\right)=-F\left(f-w\left(x\right)\right)

Differentialgleichung

Aus dem Video zur Biegelinie wissen wir, dass wir den Momentenverlauf durch die zweite Ableitung der Biegelinie und der Biegesteifigkeit E J beschreiben können:

M\left(x\right)=-EJw^{\prime\prime}\left(x\right)

Setzen wir das jetzt ein, ergibt sich:

EJw^{\prime\prime}\left(x\right)=F\left(f-w\left(x\right)\right)

Wir haben also eine Differentialgleichung gefunden, die das Problem beschreibt. Bevor wir eine Lösung dafür finden, stellen wir die Gleichung so um, dass wir auf der linken Seite nur Terme mit und auf der rechten Seite nur Terme ohne die Biegelinie haben. Zusätzlich isolieren wir w Strich Strich von E J. Das heißt wir teilen einmal durch E J und erhalten:

w^{\prime\prime}\left(x\right)+\frac{F}{EJ}w\left(x\right)=\frac{F}{EJ}f

Uns interessiert jetzt aber nur die Lösung dieser Differentialgleichung. Deshalb überspringen wir den Lösungsweg und geben dir die Lösung direkt an mit:

w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\sqrt{\frac{F}{EJ}}x\right)}\right]9

Berechnen der kritischen Kraft

Für die Biegelinie muss natürlich wieder die Bedingung am freien Ende gelten: Nämlich, dass die Durchbiegung dort genau f entspricht:

w\left(l\right)=f\left[1-\cos{\left(\sqrt{\frac{F}{EJ}}l\right)}\right]=f

Du erkennst vielleicht, dass wir durch Umformen eine Bedingung für den Cosinus-Term erhalten. Damit der Teil in der eckigen Klammer gleich eins wird, muss gelten:

\cos{\left(\sqrt{\frac{F}{EJ}}l\right)}=0

Jetzt ist der Cosinus nicht nur an einer bestimmen Stelle Null, sondern an ganz vielen. Das liegt daran, dass sowohl Cosinus, als auch Sinus periodisch sind. Das heißt sie schwingen. Dadurch ergibt sich für das Argument des Cosinus:

\sqrt{\frac{F}{EJ}}l=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\frac{5\pi}{2}\ldots\rightarrow\frac{2k-1}{2}\pi

Wir können uns daraus jetzt eine kritische Kraft konstruieren. Bei dieser handelt es sich um die kleinst mögliche Druckkraft, bei der das Bauteil knickt.

Euler Knicken, Knickfälle
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Kritische Kraft Formel

L Null ergibt sich aus einer entsprechenden Lagerung. Dabei ist das L Null für jede Lagerung spezifisch definiert. Das heißt, wir erhalten verschiedene Arten des Knickens. Um auf die Form des Knickens zu kommen, müssen wir den erhaltenen Wert für die kritische Kraft nur in unsere Funktion für die Biegelinie einsetzen. Durch kürzen von E J und Ziehen der Wurzel erhalten wir:

w\left(x\right)=f\left[1-\cos{\left(\sqrt{\frac{F}{EJ}}x\right)}\right]=f\left[1-\cos{\left(\frac{\pi}{l_0}x\right)}\right]

Die Verschiebung f bildet jetzt den maximalen Ausschlag beim Knicken. Wie du mit den erhaltenen Formeln umzugehen hast und wie genau sich L Null für verschiedene Lagerungen verhält, zeigen wir dir im nächsten Video.
So, mit diesem Wissen kannst du dir jetzt überlegen, wir stark du drücken darfst, ohne dass dein Lineal knickt. Viel Erfolg und bis bald!

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