Wärmelehre

Erzwungene Konvektion – Querumströmter Körper

Wenn du nach einer kalten Dusche deine Haare trocknen möchtest, machst du das meistens mit einem Föhn. Wie dieser funktioniert, erklären wir dir in diesem Video.

Aufbau und Funktionsweise eines Haarföhns

Zuerst wollen wir dir den Aufbau eines Haarföhns erklären. In seinem Gehäuse befinden sich neben dem Ventilator, der das Gebläse erzeugt, mehrere Heizdrähte. Da die Drähte mit Strom durchflossen werden, werden sie heiß.

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Aufbau eines Haarföhns

Übertragung der Wärme der Drähte an die Luft

Die Luft, die aus der Umgebung angezogen wird, wird wiederum über die warmen Heizdrähte geleitet. Die Luft erwärmt sich dabei und kommt vorne als warmes Gebläse, mit dem du dir deine Haare föhnst, heraus.

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Die Luft wird über die Heizdrähte erwärmt

Jetzt wirst du dich sicher fragen, wieso die Luft warm wird, wenn sie über die Heizdrähte strömt. Das liegt an der Konvektion. Die Wärme wird vom Draht an die Luft weitergleitet. Da hier die Luft mithilfe eines Ventilators bewegt wird, handelt es sich um die erzwungene Konvektion. Wenn du jetzt genau wissen willst, wie viel beziehungsweise wie gut die Wärme übergeben wird, musst du das über die Nußelt-Zahl machen.

Unterschied bei der Berechnung querumströmter Körper 

Da die Heizdrähte dieses Mal nicht durchströmt oder der Länge nach umströmt werden, handelt es sich hier um den Fall von querumströmten Körpern. Hierbei brauchst du die dimensionslosen Kennzahlen. Doch zuvor wollen wir noch zwischen zwei verschiedenen Arten unterscheiden. Zum einen gibt es Körper wie beispielsweise Zylinder, Kugel und Platte und zum anderen ein ganzes Rohrbündel. Den Wärmeübergangskoeffizienten bestimmst du je nach Art anders.

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Bei der Berechnung benötigt man dimensionslose Kennzahlen

Fangen wir mit den Körpern Zylinder, Kugel und Platte an. Hier benötigst du wieder die Reynolds-Zahl. Diese lässt sich berechnen mit Re = \frac{\omega\ast L\prime}{\nu}.

\omega  ist die Anströmgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit mit der der Ventilator die Luft über die Heizdrähte treibt. L‘ ist die Überstromlänge, die je nach Körper unterschiedlich ist.

Beim Zylinder ist L'=\frac{d\ast\pi}{2}, wobei d der Außendurchmesser ist. Bei der Kugel ist L‘=d, also der Kugeldurchmesser. Bei der Platte ist L‘=L, also die Plattenlänge.

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Reynolds-Zahl

Dein Re brauchst du, um die Nußelt-Zahl berechnen zu können. Die Formel für diese mittlere Nußelt-Zahl lautet Nu_m = (Nu_o+\sqrt{{{Nu}_{lam}}^2+{{\rm Nu}_{turb}}^2})*K_T.

Die Werte für Nu_o beziehen sich auf die Oberfläche, also auf die Art des Körpers. Du kannst sie einer Tabelle entnehmen, die dir in der Klausur meist gegeben ist.

Für den Zylinder ist Nuo=0,3, für die Kugel ist Nuo=2 und für die Platte ist Nuo=0.

Deine laminare Nußelt-Zahl berechnest du mit {Nu}_{lam}= 0,664*\sqrt{ReL\prime}\ * \sqrt[3]{Pr}.

Dein ReL‘ hast du ja bereits ermittelt und du weißt aus den letzten Videos auch schon, dass die Prandtl-Zahl Pr= \frac{\eta\ast c p}{\lambda} ist. Die turbulente Nußelt-Zahl hingegen berechnest du mit: {Nu}_{turb} = \frac{0,037\ast{ReL\prime}^{0,8}\ast P r}{1+2,443\ast{ReL\prime}^{-0,1}\ast({Pr}^\frac{2}{3}-1)}.

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Laminare und turbulente Nußelt-Zahl

Berücksichtigung des Korrekturfaktors für den Richtungsfluss

Dir ist sicher schon aufgefallen, dass der Korrekturfaktor, der den Richtungseinfluss berücksichtigt, bei der mittleren Nußelt-Zahl mit einbezogen worden ist. Berechnen musst du diesen für Flüssigkeiten mit {K}_{t,l} = (\frac{Pr}{Prw})^{0,25} und für Gase mit {K}_{T,g} = (\frac{Tbez}{Tw})^{0,12}.

Pr_W  ist dabei die Prandtl-Zahl bei Wandtemperatur T_W.

{T}_{bez} bekommst du wieder aus {T}_{bez} = \frac{{T}_{w}+{T}_{\infty}}{2}. Da du aber ja den Wärmeübergang bestimmen willst, musst du noch die Formel Nu_m = \frac{\alpha\ast L\prime}{\lambda} nach \alpha umstellen.

Die umgestellte Formel lautet dann \alpha = \frac{{Nu}_{m}\ast\lambda}{L\prime}.

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Einbeziehen des Korrekturfaktors

Anwendung des Rohrbündelmodells 

So, jetzt kannst du für Zylinder, Kugeln und Platten den Wärmeübergang bestimmen.

Beim Föhn ist es aber eher so, dass die Heizdrähte hintereinander in einem Haufen liegen. Deswegen musst du beim Föhn das Modell der Rohrbündel betrachten.

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Anwendung des Rohrbündelmodells

Hier siehst du eine Skizze dazu. Darin kannst du eine fluchtende Anordnung, bei der die Rohre in einer Reihe direkt hintereinander angeordnet sind, und eine versetzte Anordnung erkennen. Dort ist jede zweite Spalte leicht versetzt. Die Anordnung musst du berücksichtigen, da sonst das Ergebnis verfälscht wird.

Aber schauen wir uns zuerst die Reynolds-Zahl an. Die Re-Zahl bezieht sich diesmal auf den Hohlraum zwischen den einzelnen Rohren und wird berechnet mit Re_\psi = \frac{\omega\psi\ast L\prime}{\nu}.

L‘ ist die Überströmlänge, die beim Rohrbündel mit L' = \frac{d\ast\pi}{2} berechnet wird.

{\omega}_{\psi} ist die Hohlraumgeschwindigkeit, also die Geschwindigkeit, die das Medium zwischen den einzelnen Rohren hat und wird bestimmt mit {\omega}_{\psi} = \frac{{\omega}_{\infty}}{\psi}.

\psi  ist der Hohlraumanteil und hängt vom Längenverhältnis b und dem Querteilverhältnis a ab.

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Hohlraumgeschwindigkeit

Mit a = \frac{s1}{d} und b = \frac{s2}{d} ergibt sich für den Fall, dass b<1 ist, für \psi = 1-\frac{\pi}{4\ast a\ast b}.

Für den Fall, dass b≥1 ist, ist \psi = 1-\frac{\pi}{4\ast a}. Jetzt hast du endlich alle Größen, um die Re-Zahl berechnen zu können.

Nu-Zahl und Rohranordnungsfaktor

Nun brauchen wir die mittlere Nu-Zahl. Die Formel dafür lautet:

Nu_m = (0,3+\sqrt{{{Nu}_{lam}}^2+{{Nu}_ {turb}}^2})*\frac{1+\left(N-1\right)\ast {f}_{A}}{N}*K_T

N ist dabei die Anzahl der Rohre, aus dem dein Rohrbündel besteht. Deine laminare und turbulente Nußelt-Zahl berechnest du genauso wie gerade eben beim einfachen Zylinder nur eben mit deinem neuen Re_{\psi}. Es ist also:

{Nu}_{lam} = 0,664*\sqrt{Re\psi}\ * \sqrt[3]{Pr} und {Nu}_{turb} = \frac{0,037\ast{Re\psi}^{0,8}\ast P r}{1+2,443\ast{Re\psi}^{-0,1}\ast({Pr}^\frac{2}{3}-1)}.

Du fragst dich sicher, was dann noch dieses fA in der Formel ist. Das ist der sogenannte Rohranordnungsfaktor, der eben wie der Name schon sagt, die Rohranordnung berücksichtigt. Für die fluchtende Anordnung gilt:

{f}_{A,fl} = 1+\frac{0,7}{\psi^{1,5}}*\frac{\frac{b}{a}-0,3}{(\frac{b}{a}+0,7)^2}.

Für die versetzte Anordnung lautet die Formel:

{f}_{A,vers} = 1+\frac{2}{3\ast b}.

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Rohranordnungsfaktor

Bestimmung des Wärmeübergangs \alpha

So, jetzt brauchst du nur noch den richtigen Korrekturfaktor und du kannst deine Nu-Zahl komplett bestimmen. Die Formeln sind fast dieselben, wie vorher bei den Einzelkörpern mit {K}_{t,l} = (\frac{Pr}{Prw})^p für Flüssigkeiten und {K}_{T,g} = (\frac{Tbez}{Tw})^n für Gase. Dabei ist p = 0,25 wenn \frac{Pr}{Prw} \ge  1 und p = 0,11 wenn \frac{Pr}{Prw} < 1.

Der Exponent n ist gasabhängig, denn bei Stickstoff N_2 ist n=0,12 und bei allen anderen Gasen ist n=0.

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Korrekturfaktoren für Flüssigkeiten und Gase

Gleich hast du es geschafft. Denn da du ja jetzt deine Nu-Zahl weißt, kannst du deinen Wärmeübergang mit \alpha = \frac{{Nu}_{m}\ast\lambda}{L\prime} bestimmen.

Wenn du dir also das nächste Mal deine Haare trocken föhnst, weißt du bestens über den Vorgang Bescheid. Viel Erfolg beim Berechnen!

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