Wärmelehre

Stefan Boltzmann Gesetz

Wie du mit dem Stefan Boltzmann Gesetz die thermisch abgestrahlte Leistung von idealen schwarzen Körpern berechnen kannst, zeigen wir dir in diesem Beitrag. Zunächst leiten wir das Stefan Boltzmann Gesetz über die Thermodynamik und auch über die Quantenmechanik her, um dir dann im Anschluss in einem Rechenbeispiel die Anwendung näher zu bringen.

Du möchtest in kurzer Zeit das Stefan Boltzmann Gesetz verstehen und anwenden können? Dann ist unser Video genau das richtige für dich!

Inhaltsübersicht

Stefan Boltzmann Gesetz einfach erklärt

Besitzt ein Körper eine Temperatur über null Kelvin, so sendet dieser Wärmestrahlung aus.

Merke
Mit dem Stefan Boltzmann Gesetz kannst du bei einer bestimmten Temperatur die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen schwarzen Körpers berechnen.

Ein solcher Körper absorbiert, im Gegensatz zu realen Körpern, alle elektromagnetische Strahlung die auf ihn trifft. Außerdem ist seine Wärmestrahlung, welche er in Form elektromagnetischer Strahlung aussendet, unabhängig von der Beschaffenheit des Körpers.

Stefan Boltzmann Gesetz Formel

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist nach dem Physiker Josef Stefan (1835-1893) und dem Physiker Ludwig Boltzmann (1844-1906) benannt. Dieses Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der Strahlungsleistung P, der Fläche des schwarzen Körpers A und der Temperatur T auf

P=\sigma \cdot A \cdot T^4.

Die Proportionalitätskonstante \sigma heißt Stefan Boltzmann Konstante und hat einen Wert von

\sigma = \frac{2 \pi^5 k_B^4}{15h^3c^2} \approx5,670\cdot 10^{-8} \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot \mathrm{K}^4}.

Da das Gesetz proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist, wird es auch als „Boltzmannsches T hoch 4 Gesetz“ bezeichnet.

Stefan Boltzmann Gesetz - Diagramm
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Stefan Boltzmann Gesetz – Diagramm

Wichtig zu erwähnen ist, dass die Stefan Boltzmann Konstante nicht mit der Boltzmann Konstante k_B verwechselt werden darf, welche eine Naturkonstante darstellt.

Stefan Boltzmann Gesetz Herleitung

In den folgenden zwei Abschnitten wird das Stefan-Boltzmann-Gesetz zuerst aus der Thermodynamik und dann aus der Quantenmechanik hergeleitet.

Stefan Boltzmann Gesetz Herleitung aus der Thermodynamik

Möchte man das Stefan-Boltzmann Gesetz aus der Thermodynamik ableiten, so startet man mit der Fundamentalgleichung der Thermodynamik , welche für ein abgeschlossenes System im thermodynamischen Gleichgewicht gilt

T \mathrm{d}S = \mathrm{d}U+p\mathrm{d}V.

Hierbei ist S die Entropie , U die innere Energie, V das Volumen und p der Druck. Da \mathrm{d}S, \mathrm{d}U und \mathrm{d}V totale Differentiale sind, kann diese Gleichung mit den Integrabilitätsbedingungen zu folgender Gleichung umgeformt werden

(1)          \left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_T = T\left.\frac{\partial p}{\partial T} \right|_V-p.

Für den Zusammanhang von der Energiedichte u(T) und dem Strahlungsdruck p eines schwarzen Körpers gilt die Beziehung

p = \frac{1}{3}u(T) .

Desweiteren kann die innere Energie eines schwarzen Körpers mit der Formel

U = V u(T)

berechnet werden. Woraus folgt, dass

\left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_T= u(T).

 Setzt man das in die obere Gleichung (1) ein, dann erhält man

u(T) = \frac{1}{3}T\frac{\mathrm{d}u(T) }{\mathrm{d} T} -\frac{1}{3}u(T)

\Leftrightarrow 4u(T) = T \frac{\mathrm{d} u(T)}{\mathrm{d} T}.

Integrieren und in die Formel für die innere Energie U einsetzen, liefert dann für die Energiedichte

u(T) = a_1 \cdot T^4.

beziehungsweise für die innere Energie

U= a_1\cdot V\cdot T^4.

Hierbei ist a_1 eine Konstante, welche damals zuerst aus Experimenten bestimmt wurde und später auf Naturkonstanten zurückgeführt werden konnte

a_1= \frac{4 \sigma}{c},

wobei c die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Multiplizierst du nun die Energiedichte u(T) mit \frac{c}{4}, dann erhältst du die Strahlungsleistung pro Flächeneinheit und somit das Stefan Boltzmann Gesetz

\frac{P}{A} = \frac{a_1c}{4}T^4

\Leftrightarrow P= \sigma \cdot A \cdot T^4.

Es ist darauf hinzuweisen, dass man hierbei die Dimensionen berücksichtigen muss. Wenn eine Dimension größer ist als die relevanten Wellenlängen, so wird diese Dimension berücksichtigt und die innere Energie U wird größer. Für die innere Energien der verschiedenen Dimensionen gilt:

  • 1D (zum Beispiel ein Stab): U_1 = a_1 L T^2 mit der Länge L,
  • 2D (eine Fläche): U_2 = a_2 A T^3 mit der Fläche A,
  • 3D (ein Volumen): U_3 = a_3 V T^4 mit dem Volumen V.

Dabei sind die Konstanten a_1, a_2 und a_3 gegeben durch

  • a_1\approx 3,157\cdot 10^{-21}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}^2 \cdot \mathrm{m}},
  • a_2\approx 1,007\cdot 10^{-18}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}^3 \cdot \mathrm{m}^2},
  • a_3\approx 7,566\cdot 10^{-16}\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}^4 \cdot \mathrm{m}^3}.

Stefan Boltzmann Gesetz Herleitung aus der Quantenmechanik

Auch aus der Quantenmechanik kann das Stefan Boltzmann Gesetz abgeleitet werden. Dabei geht man von der spektralen Strahlungssdichte eines schwarzen Körpers aus und integriert diese über alle Frequenzen \nu und über den Halbraum V, in den der schwarze Körper abstrahlt

M^0(T) = \int \limits_{\nu=0}^{\infty}\int\limits_{V} \frac{2 h \nu^3}{c^2}\frac{1}{e^{\frac{h \nu}{k_B T}}-1} \cos(\beta)\sin(\beta)\mathrm{d}\beta \mathrm{d}\varphi \mathrm{d}\nu.

Löst man dieses Intergral und intergriert M^0(T) nochmals über die abstrahlende Fläche des schwarzen Körpers, dann führt dies auf das Stefan Boltzmann Gesetz.

Stefan Boltzmann Gesetz Anwendungsbedingungen

Nicht-Schwarze Körper können mit dem oberen Stefan Boltzmann Gesetz nicht beschrieben werden. Besitzt ein Nicht-Schwarzer Körper jedoch einen richtungsunabhängigen Emissionsgrad \varepsilon(T), der für alle Frequenzen denselben Wert hat, dann kann man die Strahlungsleistung mit der Formel

P=\varepsilon(T)\cdot \sigma \cdot A \cdot T^4

berechnen. Aufgrund der Temperaturabhängigkeit des Emissionsgrades, ist die Strahlungsleistung bei Nicht-Schwarzen Körpern nicht mehr streng proportional zu T^4.

Stefan Boltzmann Gesetz Beispiel

Mit dem Stefan Boltzmann Gesetz kann man zum Beispiel die Oberflächentemperatur der Sonne annähernd berechnen. Dabei behandelt man die Sonne näherungsweise als schwarzer Körper und kann somit die obere Formel einfach nach der Temperatur T umformen

P=\sigma \cdot A \cdot T^4

\Leftrightarrow  T=\left( \frac{P}{\sigma \cdot A} \right)^{\frac{1}{4}}.

Hierfür benötigt man jedoch die Strahlungsleistung der Sonne P. Um die Strahlungsleistung der Sonne zu berechnen, kann man auf der Erdoberfläche die Strahlungsstärke S messen und dann die Strahlungsleistung mit der Formel

P= \Omega R^2 \cdot S

bestimmen. Für die Strahlungsstärke verwenden wir in diesem Beispiel die Solarkonstante S=1367\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{s}}. Dabei repräsentiert R=1,496 \cdot 10^{11}\mathrm{m} den Abstand von der Erde zur Sonne und \Omega den Raumwinkel. Wir gehen weiterhin davon aus, dass die Sonne isotrop in alle Raumrichtungen abstrahlt, weshalb der Raumwinkel dann 4 \pi beträgt. Setzt man die Strahlungsleistung in die obere Formel ein, so führt dies auf

T= \left(\frac{P}{\sigma \cdot A} \right)^{\frac{1}{4}}=\left(\frac{4 \pi R^2 }{\sigma \cdot A} \right)^{\frac{1}{4}}.

Außerdem lässt sich die Oberfläche A der Sonne mit dem Radius der Sonne von r=6,963\cdot 10^8\mathrm{m} einfach berechnen mit

A=4\pi \cdot r^2.

Dabei gehen wir näherungsweise davon aus, dass die Oberfläche der Sonne als Kugeloberfläche betrachtet werden kann. Setzt man die Werte in die Formel ein, dann erhält man für die Temperatur der Sonnenoberfläche

T=\left(\frac{4 \pi R^2 S}{ A\cdot \sigma } \right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{4 \pi R^2 S}{ 4 \pi r^2\sigma } \right)^{\frac{1}{4}}

\Rightarrow T=\left(\frac{ R^2 S}{  r^2\sigma } \right)^{\frac{1}{4}} = \left(\frac{ \left(1,496\cdot 10^{11}\right)^2 \cdot 1367}{  \left(6,963 \cdot 10^8\right)^2 \cdot 5,67 \cdot 10^{-8}} \right)^{\frac{1}{4}} \mathrm{K}\approx 5776 \mathrm{K}.


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