Festkörperphysik

Satz von Steiner – Flächenträgheitsmoment

Du willst das Berechnen von Flächenträgheitsmomenten noch einmal üben? Dann bist du hier genau richtig!

Inhaltsübersicht

Satz von Steiner zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments

Falls du nach dem Video zu Flächenträgheitsmomenten noch unsicher bist, ob du alles verstanden hast, zeigen wir dir hier eine Beispielaufgabe zur Verdeutlichung. Wir unterscheiden in vier Flächenträgheitsmomente, die sich auf verschiedene Arten errechnen lassen.

Die verschiedenen Flächenträgheitsmomente
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Die verschiedenen Flächenträgheitsmomente

Zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments benötigt man meist neben den Momenten bezüglich des Schwerpunkts auch die Momente für parallele Drehachsen. Bei diesem Vorgehen verwenden wir dann den Satz von Steiner-Huygens. Für die jeweiligen Flächenträgheitsmomente ergibt sich laut diesem für die axialen Trägheitsmomente:

{\hat{J}}_{22}={\bar{J}}_{22}+{\hat{z}}_A^2

{\hat{J}}_{33}={\bar{J}}_{33}+{\hat{y}}_A^2A

Und für das Deviationsmoment

{\hat{J}}_{23}={\hat{J}}_{32}={\bar{J}}_{23}-{\hat{y}}_A{\hat{z}}_A

Damit wir nicht durcheinanderkommen, markieren wir die jeweiligen Momente bezüglich des Schwerpunkts mit einem Dach und die bezüglich eines beliebigen Koordinatensystems mit einem Balken.
Das beliebige Koordinatensystem darf allerdings nicht gedreht sein, da der Satz nur für parallel verschobene Koordinatensysteme gilt.

Flächenträgheitsmomente berechnen

Wenn du das Video Flächenträgheitsmomente bereits gesehen hast, erinnerst du dich bestimmt an die allgemeine Vorgehensweise zur Berechnung des Flächenträgheitsmoments:

  1. Einzelne Flächenträgheitsmomente bestimmen: Dabei musst du die Flächenträgheitsmomente der einzelnen Formen bezüglich ihres Schwerpunkts bestimmen. Diese kannst du meist aus der Tabelle entnehmen. Keine Sorge, falls du mit dieser noch nicht gearbeitet hast, wir werden im Laufe des Videos noch einmal darauf zurückkommen.
  2. Abstände bestimmen: im nächsten Schritt musst du den Abstand vom Schwerpunkt der gesamten Geometrie zum Schwerpunkt der einzelnen Form ermitteln und damit dann den Steiner-Anteil bestimmen.
  3. Zusammenführen: für axiale Flächenträgheitsmomente musst du dazu das Trägheitsmoment mit dem Steiner-Anteil addieren. Für Deviationsmomente gilt es den Steiner-Anteil vom Flächenträgheitsmoment zu subtrahieren.

Beispiel

Das klingt alles noch etwas komplex. Deshalb rechnen wir jetzt ein Beispiel durch. Wir betrachten den Querschnitt eines Balkens. Dieser Querschnitt sieht aus wie ein umgedrehtes L mit einem Quadrat oben drauf. Zur Vereinfachung teilen wir den Querschnitt in drei Flächen auf. Als erste Fläche nehmen wir das senkrechte Rechteck. Das ist vier a hoch und a breit. Die zweite Fläche ist das waagerechte Rechteck mit der Breite drei a und der Höhe a. Das Quadrat hat die Kantenläge a. Die Länge a ist hier sechs Zentimeter.
Das Koordinatensystem legen wir im Abstand a unterhalb der Fläche zwei. Dabei liegt die y-Achse nach links und die z Achse nach unten genau entlang der linken Kante von Fläche eins.

Doch bevor wir die Flächenträgheitsmomente bestimmen können, müssen wir wissen wo der Schwerpunkt der Gesamtfläche liegt. Die Schwerpunkte der drei Flächen befinden sich jeweils in deren Mitte. Damit bestimmen wir zunächst den Abstand der Schwerpunkte der drei Flächen zum Ursprung in Y und Z-Richtung. Diesen misst man orthogonal zur verlängerten Achse im Koordinatensystem.
Als nächstes bestimmen wir den Schwerpunkt in y-Richtung mit:

Schwerpunkt in Y-Richtung berechnen
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Schwerpunkt in Y-Richtung berechnen

Und anschließend in z-Richtung mit:

Schwerpunkt in Z-Richtung berechen
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Schwerpunkt in Z-Richtung berechen

Jetzt können wir auch die Flächenträgheitsmomente bezüglich des Schwerpunkts finden. Wir beginnen mit dem axialen Flächenträgheitsmoment J zwei zwei. Dieses setzt sich zusammen aus den jeweiligen Flächenträgheitsmomenten der einzelnen Flächen.
Dafür betrachten wir die Flächen vorerst einzeln. Aus dem Video zu Flächenträgheitsmomente können wir aus der Tabelle ablesen, wie sich J zwei zwei für Rechtecke errechnet.
Für Fläche 1 gilt b gleich a und h gleich 4a. Somit erhalten wir:

1:\ \ {\bar{J}}_{22,1}=\frac{a\left(4a\right)^3}{12}

Danach bestimmen wir den jeweiligen Steiner-Anteil und erhalten für jede Fläche Steineranteil:

Für Fläche 1 gilt und z_1\ gleich\ a\ und\ A\ gleich\ 4a^2

Steiner-Anteil: \left(z_1-z_S\right)^2A_1={\frac{11}{8}}^24a^4

Analog dazu berechnen wir für Fläche 2 und 3:

2:\ \ {\bar{J}}_{22,2}=\frac{a^33a}{12}

Steiner-Anteil: \left(z_2-z_S\right)^2A_2={\frac{9}{8}}^23a^4

3:\ \ {\bar{J}}_{22,3}=\frac{a^4}{12}\

Steiner-Anteil: \left(z_3-z_S\right)^2A_3={\frac{17}{8}}^2a^4

Flächenträgheitsmomente addieren

Die Werte müssen wir jetzt nur noch summieren und erhalten dann das gesamte Flächenträgheitsmoment mit:

{\hat{J}}_{22}={\bar{J}}_{22,1}+\left(z_1-z_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{22,2}+\left(z_2-z_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{22,3}+\left(z_3-z_S\right)^2A_3=\frac{517}{24}a^4=27918{cm}^4

Analog dazu können wir J drei drei berrechnen:

{\hat{J}}_{33}={\bar{J}}_{33,1}+\left(y_1-y_S\right)^2A_1+{\bar{J}}_{33,2}+\left(y_2-y_S\right)^2A_2+{\bar{J}}_{33,3}+\left(y_3-y_S\right)^2A_3=\frac{14}{3}a^4=6048{cm}^4

Als nächstes wollen wir das polare Flächenträgheitsmoment J eins eins ermitteln. Wir könnten das jetzt analog bestimmen. Doch du weißt vielleicht noch, dass im Schwerpunkt gilt:

J_{11}=J_{22}+J_{33}

Damit erhalten wir das polare Flächenträgheitsmoment:

J_{11}=J_{22}+J_{33}=33966{cm}^4

Jetzt fehlt uns nur noch das Deviationsmoment. Das müssen wir jetzt wieder über die einzelnen Flächen bestimmen. Der Tabelle entnehmen wir, dass das Deviationsmoment für Rechtecke gleich Null ist, wir müssen uns deshalb jetzt nur noch die Steiner-Anteile bestimmen:

1:\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1=-\frac{11}{8}\frac{1}{2}4a^4=-3564{cm}^4

2:\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2=-\frac{9}{8}\frac{1}{2}3a^4=-2187{cm}^4

3:\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-\frac{17}{8}\frac{1}{2}a^4=-1377{cm}^4

Damit erhalten wir für das gesamte Deviationsmoment: Minus 7128 Zentimeter hoch 4.

{\hat{J}}_{23}=\left(z_1-z_S\right)\left(y_1-y_S\right)A_1+\left(z_2-z_S\right)\left(y_2-y_S\right)A_2+\left(z_3-z_S\right)\left(y_3-y_S\right)A_3=-7128{cm}^4

Wir kennen jetzt also alle Flächenträgheitsmomente und haben die Aufgabenstellung damit gelöst.

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