Wärmelehre

Stationäre Wärmeleitung

Inhaltsübersicht

In deiner Wohnung ist es im Sommer kaum auszuhalten, weil es so heiß ist? Was das mit dem Wärmefluss zu tun hat und wie du den entsprechenden Wärmestrom berechnen kannst, erklären wir dir in diesem Beitrag. Danach hast du den vollen Durchblick, wie der Wärmedurchgang nicht nur in deiner Wohnung abläuft.

Was bedeutet Wärmefluss und wie kann man den Wärmestrom berechnen?

Fangen wir zuerst einmal mit einer einfachen Skizze an, um dir die wichtigsten Grundbegriffe zum Wärmestrom Physik zu erklären.

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Wärmedurchgang – beispielhafte Darstellung

Du siehst hier eine ganz gewöhnliche Wand im Querschnitt, in die wir nun ein Koordinatensystem legen. Die x-Achse beschreibt dabei den Weg x und die y-Achse die Temperatur T.

Wärmedurchgang und Wärmestrom Physik – Grundlagen

Die Wand hat die Dicke \delta, wobei die Oberfläche links und rechts in die Ebene hinein mit A bezeichnet wird. Wenn wir davon ausgehen, dass sich auf der linken Seite das Hausinnere befindet, so haben wir innen im Haus die Temperatur Ti und außen die Temperatur Ta. Doch nicht nur die Luft, sondern auch die beiden Wandflächen haben unterschiedliche Wandtemperaturen, die mit T1 und T2 beschrieben werden und den Wärmefluss beeinflussen.

Der Wärmeübergangskoeffizient

Dass die Oberflächen nicht dieselben Temperaturen wie die Umgebungsluft haben, liegt am Wärmeübergangskoeffizienten \alpha. Dieser beschreibt also, wie gut oder schlecht die Wandoberfläche die Temperatur aus der Umgebung annimmt. Da jede Mauer aus unterschiedlichen Materialien gebaut wird und diese die Wärme unterschiedlich weiterleiten, wird auch immer die Wärmeleitfähigkeit \lambda mit angegeben.

So, die wichtigsten Begriffe sind erst einmal geklärt. Nun können wir den Wärmedurchgang einmal genauer betrachten.

Wärmestrom berechnen – Beispiel Hauswand

Wenn wir davon ausgehen, dass die Innentemperatur höher als die Außentemperatur ist, dann können wir den Verlauf des Wärmeflusses wie folgt einzeichnen.

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Wärmefluss – Verlauf

Da von Natur aus die Luft immer vom Warmen zum Kalten strömt, müssen wir hier den Wärmestrom \dot{Q} von innen nach außen einzeichnen. Da die Wärme aufgrund der Wand nicht ungehindert strömen kann und wir somit nicht ohne Weiteres den Wärmestrom berechnen können, betrachten wir die Wand wie eine Art Widerstand.

Thermischer Widerstand beim Wärmedurchgang

Um den Wärmestrom berechnen zu können, brauchen wir also die beiden Temperaturen, innen und außen, sowie den thermischen Widerstand. Wie sich dieser zusammensetzt und inwiefern er den Wärmefluss behindert, ist schnell erklärt. Zum einen haben wir den thermischen Widerstand für den konvektiven Wärmeübergang, der den Widerstand beim Übergang der Umgebungstemperatur auf die Wandoberfläche beschreibt. Dieser wird mit der Formel R_{th,\alpha} = \frac{1}{\alpha\ast A} berechnet. Außerdem gibt es den thermischen Widerstand für die Wärmeleitung, der den Widerstand bei der Wärmeleitung in der Wand beschreibt. Dieser wird mit der Formel R_{th,\lambda} = \frac{\delta}{\lambda\ast A} ausgedrückt.

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Wärmestrom berechnen

Da du den Wärmestrom mit \dot{Q}=\frac{\mathrm{\Delta T}\ }{\sum R_{ges}} bestimmst, ergibt sich damit beim Wärmestrom berechnen bzw. bei der Berechnung des Wärmedurchgangs \dot{Q\ }=\frac{T_i-T_a}{\frac{1}{\alpha_1\ast A}+\frac{\delta}{\lambda\ast A}+\frac{1}{\alpha_2\ast A}}. Aber Achtung! Wenn die Außentemperatur höher ist als die Innentemperatur, dann muss es im Zähler T_a-T_i heißen. Wenn du nun alle thermischen Widerstände im anliegenden Temperaturgefälle zusammenfassen willst, dann kannst du das mit dem sogenannten k-Wert machen, denn k = (\frac{1}{\alpha_1} + \frac{\delta}{\lambda} + \frac{1}{\alpha_2})^{-1}. Da man manchmal aber auch nur auf eine Fläche bezogen den Wärmestrom berechnen möchte, hat man die Größe \dot{q}, die sogenannte Wärmestromdichte, eingeführt. Mit der Formel \dot{q}=\ \frac{\dot{Q}}{A} lässt sich die Wärmestromdichte berechnen.

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Wärmestrom berechnen

Wärmefluss und Wärmedurchgang – Beispiel mehrschichtige Wand

Doch was passiert, wenn die Wand zum Beispiel isoliert ist und du mehrere Schichten hast, die unterschiedlich leiten und damit auch unterschiedliche thermische Widerstände besitzen, die den Wärmedurchgang beeinflussen?

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Wärmefluss – mehrschichtige Wand

Du siehst, dass wir nun neben der Wand auch noch zwei unterschiedliche Isolierungen mit verschiedenen Dicken haben. Wenn du von innen nach außen den Wärmestrom berechnen willst, ändern sich nur die Widerstände. Da der Wärmefluss von links nach rechts verläuft und die unterschiedlichen Widerstände einzeln nacheinander durchströmt werden, kann man das hier, wie bei einer Parallelschaltung in der Elektrotechnik, handhaben. Bei einer Parallelschaltung werden einfach die Widerstände aufaddiert. Genau das machen wir in Bezug auf den Wärmedurchfluss auch. Die Formeln für die Berechnung von \dot{Q} und dem k-Wert sehen also so aus:

\dot{Q\ }=\ \frac{T_i-T_a}{\frac{1}{\alpha_1\ast A}+\ \sum_{i=1}^{n}\ \frac{\delta_ i}{\lambda_i\ast A}+\frac{1}{\alpha_2\ast A}} und k = (\frac{1}{\alpha_1}\ +\ \sum_{i=1}^{n}\ \frac{\delta_i}{\lambda_i} + \frac{1}{\alpha_2})^{-1}

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k-Wert

Wärmestrom berechnen– Temperaturen zwischen den Schichten

Was beim Wärmefluss durch mehrschichtigen Ebenen jedoch noch hinzukommt, sind die Temperaturen zwischen den einzelnen Schichten. Wenn du dir die Skizze genauer anschaust, dann stellst du bestimmt schnell fest, dass hier nun vier statt zwei Temperaturen eingetragen sind. Das kommt daher, dass sich die Temperatur schon beim Wärmedurchgang durch ein Medium ändert, was zur Folge hat, dass beim Austritt aus dem Medium eine andere Temperatur herrscht als zuvor beim Eintritt zu Beginn des Wärmeflusses. Wenn du das gemacht hast, kannst du diese Formel für \dot{Q} noch einmal verwenden, um nun die Temperatur zu bestimmen. Allerdings musst du nun aufpassen, von wo nach wo du beim Wärmedurchgang gehen willst.

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Temperatur im Wärmedurchgang

Wenn du beispielsweise T_3 wissen willst, dann kannst du von T_i zu T_3 gehen und musst auch nur die in diesem Bereich liegenden thermischen Widerstände berücksichtigen. Die Formel lautet dann also \dot{Q}\ =\frac{T_i-T_3}{\frac{1}{\alpha_1\ast A}+\frac{\delta_a}{\lambda_a\ast A}+\frac{\delta_b}{\lambda_ b\ast A}}. So, jetzt musst du nur noch die Formel nach T_3 umstellen und schon hast du es geschafft: T_3\ =\ T_i\ -\ \dot{Q\ }\ast (\frac{1}{\alpha_1\ast A}+\frac{\delta_a}{\lambda_a\ast A}+\frac{\delta_b}{\lambda_b\ast A}). Auf diese Weise kannst du nun alle anderen Temperaturen ganz einfach berechnen. Aber pass auf, dass du auch die richtigen Widerstände beim Wärmedurchgang berücksichtigst!

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Temperatur im Wärmedurchgang

Jetzt weißt du also, wie du den Wärmedurchgang bei ebenen, einschichtigen sowie bei mehrschichtigen Wänden berechnen kannst und wie du dann auf die unterschiedlichen Temperaturen beim Wärmefluss kommst.
Da du nun bestens informiert bist, wie man den Wärmestrom ganz einfach berechnen kann, kannst du dir nun etwas einfallen lassen, um deine Wohnung etwas kühler zu bekommen.


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