Nachdem du die Theorie zum Lagrange-Ansatz verstanden hast, kannst du dein Können in diesem Video anhand einer Übungsaufgabe überprüfen. Viel Erfolg!
Inhaltsübersicht
Übungsaufgabe zum Lagrange-Ansatz
Stell dir vor, du bist für die Produktion eines Fahrradherstellers verantwortlich. Es werden zwei neue Fahrradmodelle eingeführt: das Modell Crossbike und das Modell Racecycle. Beide Fahrradmodelle werden auf derselben Anlage gefertigt, die eine monatliche Kapazität von 360 Stunden hat. Für ein Modell des Typs Crossbike werden sechs Arbeitsstunden auf der Maschine benötigt, während für das Modell des Typs Racecycle nur vier Arbeitsstunden nötig sind.
Die Zielfunktion hat folgende Form:
u(x1, x2) = x1α · x2β
Dabei gilt:
Berechne die optimalen Produktionsstückzahlen für die beiden Fahrradmodelle mithilfe des Lagrange-Ansatzes.
Lösungsweg
Die Optimierung mithilfe des Lagrange-Ansatzes lässt sich in drei Schritten durchführen:
Als Erstes stellst du die Lagrange-Funktion auf. Danach leitest du diese nach jeder Variable ab. Und zum Schluss löst du das Gleichungssystem.
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Langrange Funktion aufstellen
Um den Lagrange-Ansatz durchzuführen, musst du zuerst die Zielfunktion des Optimierungsproblems aufstellen. Dafür bestimmst du die Variablen deiner Funktionen:
- x1: monatliche Produktionszahlen Crossbike
- x2: monatliche Produktionszahlen Racecycle
Zielfunktion: 
Nachdem die Zielfunktion aufgestellt ist, musst du nun die passende Nebenbedingung bestimmen:
Die Maschine kann im Monat maximal 360 Stunden eingesetzt werden. Außerdem benötigt ein Crossbike sechs und ein Racecycle vier Stunden auf der Maschine. Wie sollte die gesamte Maschinenlaufzeit auf die beiden Modelle aufgeteilt werden?
Nebenbedingung: 360 = 6x1 + 4x2
Nun kommt der Lagrange-Ansatz ins Spiel. Der nimmt folgende Form an:
L = [Zielfunktion] + λ · [Nebenbedingung]
Um die Nebenbedingung einsetzen zu können, musst du sie erst umstellen, sodass auf einer Seite 0 steht:
0 = 360 – 6x1 – 4x2
Der Lagrange-Ansatz sieht also so aus, nachdem Ziel- und Nebenfunktion eingesetzt wurden:
Nach Variablen ableiten
Nun folgt Schritt zwei, bei dem du den Lagrange-Ansatz nach den drei enthaltenen Variablen ableitest. Du bildest also die partiellen Differenziale für die Variablen x1, x2 und λ. Diese sehen folgendermaßen aus.
(I) 
(II) 
(III) 
Um die optimale Lösung zu erhalten, setzt du die drei Ableitungen gleich Null und erhältst so dein Gleichungssystem für Schritt drei.
Gleichungssystem lösen
Zunächst solltest du die Gleichungen so umstellen, dass x1 und x2 auf der einen Seite λ auf der anderen Seite steht.
(I) 
(II) 
(III) 
Um das Gleichungssystem zu lösen, teilst du am besten die erste durch die zweite Gleichung. Die λ lassen sich herauskürzen und die Variablen mit negativer Potenz können ihre Seite des Bruchs wechseln.
Nach x2 aufgelöst, erhältst du: x2 = 0,75x1
Diesen Term kannst du jetzt in die dritte Gleichung einsetzen und nach x1 auflösen. Daraus ergibt sich x1 = 40 und eingesetzt für x2 = 30.
Unter Berücksichtigung der Maschinenkapazität erzielst du dein Optimum durch ein monatliches Produktionsprogramm von 40 Crossbikes und 30 Racecycles.
Optimierung verstehen
Der Lagrange-Ansatz gehört zur Optimierung und zeigt, wie du unter festen Vorgaben eine beste Lösung findest. Du vergleichst in diesem Themenfeld Zielfunktionen und Nebenbedingungen und ordnest sie in wirtschaftliche Modelle ein. So wird klar, wie aus Variablen, Gleichungen und Randbedingungen ein sinnvolles Optimum entsteht. Im Wirtschaftsbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.