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Cobb Douglas Produktionsfunktion

Die Cobb Douglas Produktionsfunktion stellt in der Mikroökonomie die Beziehung zwischen den substitutionalen (austauschbaren) Faktoren Arbeit und Kapital auf den Output dar. Die Cobb Douglas Funktion hat folgende Form:

$Y = a\times L^\alpha\times K^\beta$

Dabei steht

Y für die Outputmenge
K für den Faktoreinsatz Kapital
L für den Faktoreinsatz Arbeit (Labour)
$\alpha$ für die Produktionselastizität des Outputs zum Faktor Arbeit
$\beta$ für die Produktionselastizität des Outputs zum Faktor Kapital
a für das Effizienzparameter (im Weiteren = 1)

Inhaltsübersicht

Cobb Douglas Beispiel

Schauen wir uns zunächst ein Beispiel an. Wir gehen hier von einem konstanten Outputniveau $\={Y} = 20$ aus, bei einer Produktionsfunktion von $Y= 1 \times L^0^,^7\times K^0^,^3$ . Dies bedeutet die Produktionsmenge ist fix und die Faktorverteilung wird bestimmt. Dazu setzt man Werte ein, beispielsweise für Arbeit (Mitarbeiter) und enthält entsprechende Werte für Kapital auf der Isoquante.

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Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Skalenerträge

Die Parameter $\alpha$ und $\beta$ geben Aufschluss über die Art der Skalierung.

$(\alpha + \beta) < 1$ bedeutet abnehmende Skalenerträge

$(\alpha + \beta) = 1$ bedeutet konstante Skalenerträge

$(\alpha + \beta) > 1$ bedeutet zunehmende Skalenerträge

Konstante Skalenerträge führen bei der Produktionsfunktion dazu, dass eine Verdopplung der Einsatzmengen pro Produktionsfaktor ebenfalls die Gesamtproduktion verdoppelt. In diesem Fall wird die Cobb-Douglas-Funktion auch so geschrieben: $Y= A \times L^\alpha \times K^(^1^-^\alpha^)$ . Bei konstanten Skalenerträgen ist damit eine Substitutionselastizität der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion von 1 gegeben.

Cobb Douglas Produktionsfunktion Isoquanten

Bei der Cobb Douglas Funktion sind die Isoquanten Kurven, die das Faktoraustausch Verhältnis beschreiben vor allem bei imperfekten Substituten wird deshalb eine Cobb Douglas Funktion verwendet. Jedem Outputniveau ist eine eigene Isoquante mit vielen verschiedenen Faktorverteilungen zuzuordnen.

Bei imperfekten Substituten wird häufig eine lineare Produktionsfunktion verwendet, während bei perfekten Komplementen eine Leontief-Produktionsfunktion genutzt wird, welche L-förmig ist.

Cobb Douglas Präferenzen

Da es sich bei Cobb Douglas sowohl um eine Produktionsfunktion als auch um eine Nutzenfunktion handeln kann, analysieren wir noch was die Form über Präferenzen aussagt.

Eine Nutzenfunktion im Allgemeinen gibt Aufschluss über Nutzenniveaus, die in einer Indifferenzkurve abgebildet werden. Diese sind abhängig von den jeweiligen Präferenzen des Individuums. In der Formel der Cobb Douglas Funktion werden diese in den Exponenten α und β abgebildet. Diese geben eine Tendenz welches Gut bevorzugt wird. Dabei zeigt der Exponent mit dem größeren Exponenten an, dass dieses Gut in der Nutzenfunktion höher gewichtet wird. Die Präferenz ist also mit den Exponenten verbunden.

Cobb Douglas Nutzenfunktion

Die Cobb Douglas Funktion ist außerdem eine gängige Nutzenfunktion , deren Grenznutzen und Grenzrate der Substitution zur Berechnung der Nutzenmaximierung verwendet wird.

Meist wird dabei folgende Form verwendet:

$U(x_1x_2)=x^\alpha_1\times x_2^1^-^\alpha$

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Ableitung Cobb Douglas Funktion

Um wirklich mit der Cobb Douglas Funktion rechnen zu können, ist es wichtig zu verstehen wie die Ableitung funktioniert. Auch innerhalb des Lagrange-Ansatzes wird die Cobb Douglas Nutzenfunktion oft verwendet, dafür ist die Ableitung ein wichtiger Zwischenschritt.

Die Cobb-Douglas Funktion wird partiell abgeleitet, das heißt in unserem Fall einmal nach x_1 und einmal nach x_2 . Bei der Ableitung nach x_1 wird x_2 als Konstante behandelt. Schauen wir uns einmal den Fall an für $\alpha = 0,6$ und x_2 = 10

$\frac{\partial U}{\partial x_1}\ =\ \alpha\ x_1^{\alpha-1}\times x_2^{1-\alpha}$

$\frac{\partial U}{\partial x_1}\ =\ 0,6\ x_1^{-\ 0,4}\times{10}^{0,4}\ =\ \frac{{10}^{0,4}}{0,6x_1^{0,4}}\ =\ 4,19\ x_1^{-\ 0,4}$

Diese Ableitung ist die Grenzrate der Substitution. Für die partielle Ableitung nach x_2 schaut die Formel so aus:

$\frac{\partial U}{\partial x_2}\ =x_1^\alpha\times(1-\alpha)\ x_2^{-\alpha}$

Die Ableitung der Cobb Douglas ist ein wichtiger Rechenschritt, der in vielen Rechenbeispielen der Volkswirtschaft gebraucht wird.

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