Kern einer Matrix
In diesem Artikel beschäftigen wir uns mit dem Kern einer Matrix, insbesondere wie du den Kern einer Matrix bestimmen kannst und gehen dabei auf lineare Gleichungssysteme und den Gauß-Algorithmus ein.
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Inhaltsübersicht
Kern einer Matrix einfach erklärt
Der Kern einer Matrix ist eine Menge von Vektoren. Genauer gesagt, handelt es sich dabei um all die Vektoren, welche von rechts an die Matrix multipliziert den Nullvektor ergeben. Also alle Vektoren, die von der betrachteten Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden, liegen im sogenannten Kern der Matrix.
Formal bedeutet das: Betrachten wir eine Matrix 
, dann besteht ihr Kern 
aus allen Vektoren 
, welche die Gleichung
erfüllen. In mathematischer Mengenschreibweise heißt das
.
Er entspricht also, anders ausgedrückt, der Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems 
.
Kern und Determinante
Es gibt einen Vektor, welcher im Kern einer jeden Matrix ist: der Nullvektor. Denn 
, unabhängig von den Einträgen der Matrix 
. Ob noch mehr Vektoren im Kern enthalten sind, können wir für quadratische Matrizen anhand der Determinante herausfinden.
Betrachten wir eine quadratische Matrix, deren Determinante ungleich Null ist. Dann besitzt sie einen vollen Rang
und die zugehörige lineare Abbildung ist demnach injektiv
. Für eine solche injektive Abbildung gilt, dass auf jeden Vektor der Zielmenge höchstens einmal abgebildet werden darf. Nun wissen wir bereits, dass der Nullvektor mit erneut den Nullvektor ergibt. Das heißt für eine injektive Abbildung darf kein weiterer Vektor 
die Gleichung erfüllen. Damit ist der Nullvektor der einzige Vektor im Kern der Matrix. Tritt dies ein spricht man von einem trivialen Kern.
Ist andererseits die Determinante der Matrix gleich Null, enthält ihr Kern noch weitere Vektoren.
Für den Kern einer Matrix A gilt:
Beispielsweise gilt für die Determinante der folgenden Matrix :
.
Damit kann ihr Kern schnell bestimmt werden: 
. Das bedeutet er ist trivial.
Die Determinante der Matrix 
,
,
zeigt uns, dass der Kern dieser Matrix neben der Null noch weitere Vektoren besitzt. Diese werden wir im nächsten Abschnitt bestimmen.
Ebenfalls keinen trivialen Kern besitzt die folgende Matrix 
, deren Determinante wir mit der Regel von Sarrus
berechnet haben:
.
Die weiteren Vektoren, welche sich im Kern der Matrix befinden, werden wir ebenfalls später noch bestimmen.
Kern und homogene Gleichungssysteme
Wie bereits erwähnt, kommt das Bestimmen des Kerns dem Lösen eines homogenen linearen Gleichungssystems gleich. Daher wollen wir im Folgenden das Gleichungssystem, welches sich aus der Matrixgleichung
ergibt, lösen. Hierfür formen wir (I) nach 
um und erhalten
Setzen wir jetzt (I) in (II) ein, liefert uns das:
.
Das bedeutet (II) ist unabhängig von der Wahl von 
stets erfüllt. Das hat wiederum zur Folge, dass wir beliebig wählen können und somit unendlich viele Lösungen erhalten. Damit haben die Vektoren 
, welche das Gleichungssystem lösen, die Form
.
Schließlich ergibt sich so für den Kern der Matrix die folgende Lösungsmenge:
.
Kern mit Gauß berechnen
Nun da für größere Matrizen das Lösen von Gleichungssystemen mit dem Einsetzungsverfahren sehr mühsam werden kann, verwenden wir in solchen Fällen das Gaußsche Eliminationsverfahren
. Wir betrachten also die Matrix von der wir wissen, dass ihr Kern nicht trivial ist und führen das Verfahren nach Gauß durch:
~ 
~ 
~ 
Damit haben wir unser Gleichungssystem weitestgehend zu folgendem vereinfacht:
Da wir nun zwei Gleichungen und drei Variablen besitzen, können wir eine Variable frei wählen. Wir wählen als diese freie Variable und lösen deshalb (II) nach 
auf. Anschließend setzen wir das Ergebnis in (I) ein und können so auch in Abhängigkeit von darstellen :
(II) 
(II) in (I): 
Die Lösungsvektoren haben demnach die Form
Für den Kern der Matrix ergibt sich damit in Mengenschreibweise:
.