Hier erfährst du, was eine orthogonale Matrix eigentlich ist und wie du sie erkennst. Du willst dich beim Lernen zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video dazu an!
Eine Matrix heißt orthogonal, wenn sie multipliziert
mit ihrer transponierten Matrix
die Einheitsmatrix
ergibt. Bei orthogonalen Matrizen gilt also
.
Beispielsweise für gilt dann
.
Vielleicht erinnerst du dich an den Begriff der orthogonalen Vektoren. Damit werden zwei Vektoren bezeichnet, deren Skalarprodukt
0 ergibt. Für Vektoren im und im
heißt das, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das Besondere an einer orthogonalen Matrix ist, dass die Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind. Sie stehen also senkrecht aufeinander und sind auf die Länge 1 normiert (Einheitsvektor ). Orthogonale Matrizen tauchen zum Beispiel bei einer Drehung oder einer Spiegelung an bestimmten Geraden auf.
Am besten lässt sich das an einem Beispiel erklären. Wir betrachten die Matrix
.
Um eine orthogonale Matrix bestimmen zu können, überprüfst du die Formel von oben. Dafür musst du zunächst die transponierte Matrix
berechnen und diese dann mit
multiplizieren.
Die Matrix ist also orthogonal, weil die Multiplikation der Matrix
mit der transponierten Matrix
die Einheitsmatrix
ergibt.
Du kannst an unserem Beispiel auch die Eigenschaften aus der Definition oben erkennen.
Die Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren und
sind orthogonal, weil das Skalarprodukt 0 ergibt. Oder ganz anschaulich: Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Außerdem haben beide Vektoren die Länge 1.
Im Folgenden wollen wir dir ein paar Beispiele von orthogonalen Matrizen vorstellen.
Die Matrix ist eine sogenannte Permutationsmatrix, das bedeutet genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte ist 1 und alle anderen Einträge sind 0. Wenn du die Matrix
transponierst und dann mit der ursprünglichen Matrix
multiplizierst, erkennst du schnell, dass diese Permutationsmatrix orthogonal ist.
Die Matrix ist eine Drehmatrix, das heißt sie beschreibt eine Drehung im
. Ähnlich wie beim ersten Beispiel kannst du hier leicht feststellen, dass die Matrix
eine orthogonale Matrix ist.
Die Matrix beschreibt eine Spiegelung an der y-Achse. Auch sie ist eine orthogonale Matrix.
Eine wichtige Eigenschaft der orthogonalen Matrix hast du jetzt bereits mehrfach gesehen
Eine orthogonale Matrix multipliziert mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix. Daraus leitet sich auch gleich die nächste Eigenschaft ab
Die transponierte Matrix entspricht bei einer orthogonalen Matrix nämlich der invertierten Matrix.
Eine Besonderheit der orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante. Ist eine Matrix orthogonal, so ist der Betrag ihrer Determinante 1.
Das bedeutet entweder gilt oder
.
Die Eigenwerte
einer orthogonalen Matrix haben alle den Betrag 1. Einerseits umfasst das natürlich die reellen Eigenwerte und
. Andererseits bedeutet es aber auch, dass alle komplexen Eigenwerte immer paarweise als komplex konjungierte auftauchen. Außerdem haben alle komplexen Eigenwerte die Form
.
Falls du also mal die Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix finden sollst, sparst du dir hier ein wenig Arbeit.
Im Folgenden haben wir nochmal zwei Beispiele mit Lösung für dich zusammengestellt. Prüfe, ob die beiden Matrizen orthogonal sind.
Die Orthogonalität einer Matrix kannst du mithilfe der Formel prüfen.
Für die Matrix ergibt sich
.
Die Matrix ist also eine orthogonale Matrix.
Für die Matrix ergibt sich
.
Die Matrix ist keine orthogonale Matrix. Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zwar orthogonal, aber nicht auf Länge 1 normiert.
Eine orthogonale Matrix ergibt multipliziert mit ihrer transponierten Matrix, die Einheitsmatrix.
Die transponierte und die invertierte Matrix sind bei einer orthogonalen Matrix gleich (AT = A-1). Das Gleiche gilt also auch für die Multiplikation mit der Inversen Matrix.
Damit du in deiner Prüfung alle Aufgaben zu den Matrizen lösen kannst, musst du unbedingt wissen was eine inverse Matrix ist. Das erklären wir dir schnell und einfach in unserem Video dazu! Schau es dir gleich an!
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