Orthogonale Matrix
Hier erfährst du, was eine orthogonale Matrix eigentlich ist und wie du sie erkennst. Du willst dich beim Lernen zurücklehnen? Dann schau dir jetzt unser Video dazu an!
Inhaltsübersicht
Orthogonale Matrix einfach erklärt
Eine Matrix 
heißt orthogonal, wenn sie multipliziert
mit ihrer transponierten Matrix
die Einheitsmatrix 
ergibt. Bei orthogonalen Matrizen gilt also
.
Beispielsweise für 
gilt dann
.
Vielleicht erinnerst du dich an den Begriff der orthogonalen Vektoren.
Damit werden zwei Vektoren bezeichnet, deren Skalarprodukt
0 ergibt. Für Vektoren im 
und im 
heißt das, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen.
Das Besondere an einer orthogonalen Matrix ist, dass die Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind. Sie stehen also senkrecht aufeinander und sind auf die Länge 1 normiert (Einheitsvektor ). Orthogonale Matrizen tauchen zum Beispiel bei einer Drehung oder einer Spiegelung an bestimmten Geraden auf.
Beispiel
Am besten lässt sich das an einem Beispiel erklären. Wir betrachten die Matrix 
.
Um eine orthogonale Matrix bestimmen zu können, überprüfst du die Formel von oben. Dafür musst du zunächst die transponierte Matrix 
berechnen und diese dann mit multiplizieren.
Die Matrix ist also orthogonal, weil die Multiplikation der Matrix mit der transponierten Matrix die Einheitsmatrix 
ergibt.
Du kannst an unserem Beispiel auch die Eigenschaften aus der Definition oben erkennen.
Die Zeilen- beziehungsweise Spaltenvektoren 
und 
sind orthogonal, weil das Skalarprodukt 0 ergibt. Oder ganz anschaulich: Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Außerdem haben beide Vektoren die Länge 1.
Weitere Beispiele
Im Folgenden wollen wir dir ein paar Beispiele von orthogonalen Matrizen vorstellen.
Die Matrix 
ist eine sogenannte Permutationsmatrix, das bedeutet genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte ist 1 und alle anderen Einträge sind 0. Wenn du die Matrix transponierst und dann mit der ursprünglichen Matrix multiplizierst, erkennst du schnell, dass diese Permutationsmatrix orthogonal ist.
Die Matrix 
ist eine Drehmatrix, das heißt sie beschreibt eine Drehung im . Ähnlich wie beim ersten Beispiel kannst du hier leicht feststellen, dass die Matrix eine orthogonale Matrix ist.
Die Matrix 
beschreibt eine Spiegelung an der y-Achse. Auch sie ist eine orthogonale Matrix.
Orthogonale Matrix Eigenschaften
Eine wichtige Eigenschaft der orthogonalen Matrix hast du jetzt bereits mehrfach gesehen
Eine orthogonale Matrix multipliziert mit ihrer Transponierten ergibt die Einheitsmatrix. Daraus leitet sich auch gleich die nächste Eigenschaft ab
Die transponierte Matrix entspricht bei einer orthogonalen Matrix nämlich der invertierten Matrix.
Eine Besonderheit der orthogonalen Matrix betrifft ihre Determinante. Ist eine Matrix orthogonal, so ist der Betrag ihrer Determinante 1.
Das bedeutet entweder gilt 
oder 
.
Die Eigenwerte
einer orthogonalen Matrix haben alle den Betrag 1. Einerseits umfasst das natürlich die reellen Eigenwerte 
und 
. Andererseits bedeutet es aber auch, dass alle komplexen Eigenwerte immer paarweise als komplex konjungierte auftauchen. Außerdem haben alle komplexen Eigenwerte die Form
.
Falls du also mal die Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix finden sollst, sparst du dir hier ein wenig Arbeit.
Orthogonale Matrix Aufgabe
Im Folgenden haben wir nochmal zwei Beispiele mit Lösung für dich zusammengestellt. Prüfe, ob die beiden Matrizen orthogonal sind.
Lösung
Die Orthogonalität einer Matrix kannst du mithilfe der Formel prüfen.
Für die Matrix ergibt sich
.
Die Matrix ist also eine orthogonale Matrix.
Für die Matrix 
ergibt sich
.
Die Matrix ist keine orthogonale Matrix. Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zwar orthogonal, aber nicht auf Länge 1 normiert.
Inverse Matrix
Eine orthogonale Matrix ergibt multipliziert mit ihrer transponierten Matrix, die Einheitsmatrix.
Die transponierte und die invertierte Matrix sind bei einer orthogonalen Matrix gleich (AT = A-1). Das Gleiche gilt also auch für die Multiplikation mit der Inversen Matrix.
Damit du in deiner Prüfung alle Aufgaben zu den Matrizen lösen kannst, musst du unbedingt wissen was eine inverse Matrix ist. Das erklären wir dir schnell und einfach in unserem Video dazu! Schau es dir gleich an!
