Lineare Algebra
Matrix - Determinante
 – Video

Die Determinante einer Matrix A kann dir eine Menge interessanter Informationen über die Matrix liefern. Wenn du wissen willst, was die Determinante überhaupt ist und was für Eigenschaften sie hat, schau dir am besten gleich unser Video dazu an!

Determinante einfach erklärt

Die Determinante einer Matrix A ist eine bestimmte Zahl, die der Matrix zugeordnet wird. Du schreibst det(A) oder |A|, um die Determinante zu kennzeichnen. Du kannst die Determinante nur bestimmen, wenn deine Matrix quadratisch ist. Zum Beispiel ordnet die Determinante der Einheitsmatrix E die Zahl 1 zu.

    \[det\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}\right)=1\]

Determinanten sagen dir, ob Matrizen invertierbar sind. Du kannst dir merken, dass deine Matrix nicht invertierbar ist, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Andersrum gilt das Gleiche: Ist deine Matrix nicht invertierbar, so ist ihre Determinante Null. Die Determinante kannst du mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz berechnen. Schau dir jetzt die Eigenschaften der Determinante an.

Determinante Regeln und Eigenschaften

Die Determinante einer Matrix ist genau dann gleich Null, wenn 

  • eine Zeile/Spalte nur Nullen enthält, oder
  • zwei Zeilen/Spalten gleich sind, oder
  • Zeilen/Spalten zusammen das Vielfache (eine Linearkombination) von anderen Zeilen/Spalten sind.

Wenn also einer der drei Punkte zutrifft, ist die Matrix nicht invertierbar.

Aber wie sehen die Determinanten der Transportierten aus? Wenn du die Zeilen und Spalten deiner Matrix A vertauschst, um die Transportierte AT zu bilden, ändert sich die Determinante nicht

det(A) = det(AT)

Und was passiert, wenn du eine Zeile oder eine Spalte mit einer Zahl λ (Experten sagen auch Skalar) multiplizierst?

    \[det\left(\begin{array}{cc}\lambda\cdot1&\lambda\cdot2\\3&4\\\end{array}\right)= ?\]

Dann ist die Determinante deiner neuen Matrix genau das λ-fache der ursprünglichen Determinante:

    \[\mathbf{det\left(\begin{array}{cc}\textcolor{olive}{\lambda}\cdot1&\textcolor{olive}{\lambda}\cdot2\\3&4\\\end{array}\right)= \textcolor{olive}{\lambda}\cdot det\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\\end{array}\right) }\]

Nimmst du die ganze Matrix A (aus \mathbb{R}^{n\times n}) mit λ mal, dann ist die Determinante das λn-fache von det(A):

det( λ • A) = λn • det(A)

Die Determinante der Inversen kannst du auch ganz einfach bestimmen. Ist deine Matrix A invertierbar, dann ist die Determinante von A-1 genau det(A)-1.

det(A-1) = det(A)-1

Wie ist die Determinante von einem Produkt aus Matrizen? Die Determinante von A mal B bekommst du, wenn du die beiden einzelnen Determinanten von A und B multiplizierst:

det(A • B) = det(A) • det(B)

Jetzt kannst du dir noch anschauen, wie sich Determinanten von Matrizen verändern, wenn du zwei Zeilen miteinander vertauschst:

    \[\mathbf{det\left(\begin{array}{cc}3&4\\1&2\\\end{array}\right)\right)=-det\left(\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\\end{array}\right)}\]

Das Vorzeichen der Determinante verändert sich! Vertauschst du also zwei Zeilen miteinander, dann ist das die negative Determinante der vorherigen Matrix.

Determinante berechnen

Oft musst du auch die Determinante einer bestimmten Matrix berechnen. Für 2×2 Matrizen gibt es eine einfache Regel, wie du die Determinante berechnen kannst. Hier haben wir das passende Video für dich!

Zum Video: Determinante 2x2
Zum Video: Determinante 2×2

Willst du die Determinante einer 3×3 Matrix bestimmen, brauchst du die Regel von Sarrus. Schau dir am besten gleich unser Video dazu an! 

Zum Video: Determinante 3x3
Zum Video: Determinante 3×3

Möchtest du die Determinante einer größeren Matrix bestimmen, solltest du dir am besten dieses Video anschauen. 

Zum Video: Determinante berechnen
Zum Video: Determinante berechnen

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