Lineare Algebra
Vektorrechnung
 – Video

Einheitsvektor einfach erklärt  

Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.

Du machst aus einem normalen Vektor einen Einheitsvektor, indem du den Vektor durch seine Länge teilst.

Beispiel: Berechne den Einheitsvektor \vec{e}_v von \vec{v} =  \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right).

  1. Berechne die Länge/den Betrag des Vektors.

        \[\textcolor{blue}{|\vec{v}|} = \sqrt{\textcolor{magenta}{3}^2 + \textcolor{red}{0}^2 +\textcolor{orange}{4}^2} = \textcolor{blue}{5}\]

  2. Teile deinen Vektor durch die Länge.

        \[ \vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{5}} \cdot \left(\begin{array}{c} \textcolor{magenta}{3} \\ \textcolor{red}{0} \\ \textcolor{orange}{4} \end{array}\right) \]

Einheitsvektor berechnen Formel

    \[\vec{e}_v = \frac{1}{\textcolor{blue}{| \vec{v}|}} \cdot \vec{v} \]

Das ist doch gar nicht so schwer, oder? Schau dir gleich noch weitere Beispiele dafür an, wie du aus einem Vektor einen Einheitsvektor bestimmen kannst.

Einheitsvektor berechnen Beispiele  

Beispiel in R2:

Betrachte als Beispiel den Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right). Um diesen Vektor auf die Länge 1 zu bringen, brauchst du zuerst den Betrag des Vektors.

    \[|\vec{v}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\]

Jetzt teilst du deinen Vektor durch die Länge. Du rechnest also

    \[\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).\]

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Einheitsvektor in 2D

Beispiel in R3:

Um den Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3  \end{array}\right) zu normieren, berechnest du erst den Betrag von \vec{v}.

    \[|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7\]

Erst dann kannst du den Einheitsvektor bestimmen.

    \[\vec{e}_v = \frac{1}{7} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{7} \\ \frac{6}{7} \\ \frac{3}{7} \end{array}\right)\]

Länge eines Einheitsvektors überprüfen

Das Besondere am Einheitsvektor ist, dass die Länge des Vektors immer 1 beträgt.

Willst du also überprüfen, ob du den Einheitsvektor richtig berechnet hast, so musst du lediglich den Betrag des Vektors bestimmen.

Merke

Für einen Einheitsvektor \vec{e}_v gilt immer: |\vec{e}_v| = 1.

Beispiel

Um zu überprüfen, ob zum Beispiel der Vektor \vec{v} = \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) normiert ist, also die Länge 1 hat, bestimmst du den Betrag von \vec{v}.

    \[|\vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = 5\]

Da die Länge ungleich 1 ist, ist \vec{v} nicht normiert. Um den Einheitsvektor zu berechnen, teilst du einfach den Vektor durch seine Länge und erhältst

    \[\vec{e}_v = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -\frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \end{array}\right).\]

Nun kannst du noch prüfen, ob \vec{e}_v die Länge 1 hat.

    \[|\vec{e}_v| = \sqrt{(-\frac{4}{5})^2 + (\frac{3}{5})^2} = 1\]

Super, jetzt hast du als Ergebnis die 1 erhalten!

Einheitsvektor Anwendungsbeispiel  

Wenn du von einem bestimmten Punkt aus eine Strecke in vorgegebener Richtung entlanglaufen willst, so verwendest du dafür den Einheitsvektor.

Betrachte zum Beispiel den Punkt A(3 \vert 1 \vert 4). Angenommen du möchtest nun von A aus 9 Einheiten in Richtung \vec{v}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) gehen.

Um dein Zielpunkt P zu berechnen, musst du erst einmal \vec{v} normieren. Dafür berechnest du den Betrag des Vektors

    \[| \vec{v} | = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = 6\]

und teilst \vec{v} dann durch seine Länge

    \[\vec{e}_v = \frac{1}{6} \cdot  \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ -4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right).\]

Nun kannst du den Punkt P berechnen, indem du beim Punkt A startest und 9 mal in Richtung \vec{e}_v gehst.

    \[\vec{P} = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right) + 9 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 9 \\ 4 \\ -2 \end{array}\right)\]

Somit erhältst du den Punkt P(9 \vert 4 \vert -2) als Ergebnis.

Einheitsvektor Aufgaben

Im Folgenden geben wir dir zwei Aufgaben, womit du die Berechnung der Einheitsvektoren üben kannst.

Aufgabe 1: Einheitsvektoren überprüfen

Überprüfe, ob es sich bei den folgenden Vektoren um Einheitsvektoren handelt.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 0,8 \\ -0,6 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 1

a) Um zu überprüfen, ob \vec{a} normiert ist, berechnest du seinen Betrag.

    \[| \vec{a} | = \sqrt{0,8^2 + (-0,6)^2} = 1\]

Da seine Länge 1 beträgt, handelt es sich um einen Einheitsvektor.

b) Berechne zuerst den Betrag des Vektors.

    \[| \vec{b} | = \sqrt{(-5)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{26} \neq 1\]

Da der Betrag von \vec{b} ungleich 1 ist, ist der Vektor also nicht normiert.

Aufgabe 2: Einheitsvektoren berechnen

Bestimme von den folgenden Vektoren die Einheitsvektoren und überprüfe das Ergebnis auf Richtigkeit.

a) \vec{a} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right)

b) \vec{b} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)

Lösung Aufgabe 2

a) Zuerst berechnest du den Betrag vom \vec{a}

    \[| \vec{a} | = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\]

und teilst dann den Vektor durch seine Länge

    \[\vec{e}_a = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right).\]

Damit kannst du den Einheitsvektor bestimmen

    \[\vec{e}_a = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{13}} \\ -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{array}\right).\]

Zum Schluss kannst du noch den Betrag von \vec{e}_a überprüfen

    \[| \vec{e}_a | = \sqrt{(\frac{2}{\sqrt{13}})^2 + (-\frac{3}{\sqrt{13}})^2} = 1\]

Damit ist der Vektor normiert.

b) Auch hier berechnest du zuerst die Länge vom Vektor \vec{b}. Du rechnest also

    \[| \vec{b} | = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2 + 2^2} = \sqrt{30}\]

Nun teilst du \vec{b} durch seine Länge

    \[\vec{e}_b = \frac{1}{\sqrt{30}} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -5 \\ 2 \end{array}\right)\]

und kannst so den Einheitsvektor bestimmen

    \[\vec{e}_b = \left(\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{30}} \\ -\frac{5}{\sqrt{30}} \\ \frac{2}{\sqrt{30}} \end{array}\right)\]

Wenn du mit dem Ergebnis unsicher bist, kannst du noch seinen Betrag bestimmen und überprüfen, ob | \vec{e}_b | = 1 herauskommt.

    \[| \vec{e}_b | = \sqrt{(-\frac{1}{\sqrt{30}})^2 + (-\frac{5}{\sqrt{30}})^2 + (\frac{4}{\sqrt{30}})^2} = 1\]

Weitere Themen der Vektorrechnung

Es gibt auch noch weitere wichtige Themen, die sich mit Vektoren beschäftigen. Schau dir unbedingt auch unsere Videos zu den folgenden Themen an:

Um den Einheitsvektor zu berechnen, ist vor allem der Betrag eines Vektors von Bedeutung:

Betrag eines Vektors
zum Video: Betrag eines Vektors

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