Du möchtest die Vektorrechnung in ihren Grundlagen verstehen und einige Aufgaben dazu rechnen? Dann übe am besten mit diesem Artikel und dem entsprechenden Video einige Rechnungen mit Vektoren.
Erinnere dich kurz, was Vektoren sind:
Ein Vektor ist eine Menge von Pfeilen, die
Die Länge eines solchen Pfeils nennst du den Betrag
||des Vektors
. Du berechnest ihn so:
Du kannst Vektoren addieren.
Du kannst sie mit einer Zahl multiplizieren.
Aber du kannst auch das Skalarprodukt
oder das Kreuzprodukt berechnen.
Bei der Vektoraddition addierst du zeilenweise die Einträge der Vektoren miteinander.
Geometrisch kannst du dir die Addition in der Vektorenrechnung so vorstellen, dass du den Anfang eines Vektors an das Ende (die Spitze) des anderen Vektors klebst.
Das Ergebnis von ist dann der direkte Weg zwischen dem Schaft von
und der Spitze von
.
Du kannst mit der Subtraktion von zwei Punkten A und B den Vektor ausrechnen, der A und B verbindet. Das ist der Verbindungsvektor .
Also ist der Verbindungsvektor zwischen A = (2 | 8 | 5) und B = (1 | 4 | 3):
Der Abstand zwischen A und B ist die Länge des Verbindungsvektors .
In unserem Beispiel ist der Abstand zwischen A und B also:
Du kannst jede Bewegung der Drohne als Vektor darstellen. Lege den Startpunkt als (0|0|0) fest und du kannst die aktuelle Position ausrechnen. Addiere dafür die Bewegungsvektoren deiner Drohne. Im klassischen Koordinatensystem entspricht eine Bewegung nach oben einer Bewegung in x3-Richtung. Nach rechts in x2-Richtung und nach hinten in x1-Richtung. Die aktuelle Position kannst du also mit der folgenden Vektoraddition berechnen:
Du kannst einen Vektor auch mit einer reellen Zahl
r multiplizieren. Du nennst r in diesem Fall ein Skalar. Deshalb heißt die Rechenart auch skalare Multiplikation.
Das Ergebnis erhältst du, indem du jeden Eintrag des Vektors mit r multiplizierst.
Geometrisch wird dabei der Vektor um den Faktor r verlängert. Der Vektor zeigt also in die gleiche Richtung wie
, ist aber doppelt so lang. Der Vektor
ist genauso lang wie
, aber zeigt in die entgegengesetzte Richtung.
Das Skalarprodukt ist trotz des ähnlichen Namens etwas anderes als die Skalarmultiplikation.
Beim Skalarprodukt multiplizierst du den ersten Eintrag von mit dem ersten Eintrag von
, den zweiten Eintrag von
mit dem zweiten Eintrag von
und den dritten Eintrag von
mit dem dritten Eintrag von
. Die Ergebnisse dieser drei Multiplikationen addierst du dann und erhältst das Ergebnis.
Am besten lernst du das an einem konkreten Beispiel:
Geometrisch verrät dir das Skalarprodukt, ob zwei Vektoren im rechten Winkel zueinander stehen oder nicht: Zwei Vektoren stehen genau dann im rechten Winkel zueinander, wenn sie das Skalarprodukt 0 haben. Beachte aber, dass dabei keiner der beiden Vektoren der Nullvektor sein darf.
Beispiel:
Die beiden Vektoren stehen also im rechten Winkel aufeinander.
Stehen die beiden Vektoren und
senkrecht aufeinander?
Die letzte Art von Vektorrechnungen ist das Kreuzprodukt
, auch oft Vektorprodukt genannt, weil man zwei Vektoren und
multipliziert und einen Vektor als Ergebnis erhält. Dieser Vektor steht dann übrigens immer senkrecht auf
und
.
Das Kreuzprodukt berechnest du so:
Ein konkretes Beispiel mit Zahlen rechnest du also so aus:
Du siehst, dass es eine etwas längere Rechnung ist. Deshalb sind zwei Tipps von uns:
Finde einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Vektoren und
steht mit:
Jetzt beherrschst du sämtliche Operationen der Vektorrechnung. Sehr gut gebrauchen kannst du dieses Wissen, wenn in deiner nächsten Prüfung nach der Schnittgeraden zweier Ebenen gefragt wird. Um darauf vorbereitet zu sein, solltest du dir unbedingt unser Video dazu ansehen.
Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.
Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.
Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.
Danke!
Dein Studyflix-Team
Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.