Matrizenrechnung
Du möchtest wissen, wie die Matrizenrechnung funktioniert? Hier und im Video erklären wir dir, wie du einfach mit Matrizen rechnen kannst.
Inhaltsübersicht
Was sind Matrizen?
Bei der Matrizenrechnung geht es um das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Matrizen. Matrizen sind dabei Anordnungen von Zahlen in Zeilen und Spalten:
![\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-98c913ce6876051d6633267934bec215_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du bezeichnest hierbei die Anzahl der Zeilen mit m und die Anzahl der Spalten mit n. Die Matrix oben ist also eine (m,n)-Matrix.
Die einzelnen Einträge der Matrix gibst du jeweils durch zwei kleine Zahlen an: Eine für die Zeile und eine für die Spalte. Beispielsweise findest du das Element a21 in der zweiten Zeile und ersten Spalte.
Matrizenrechnung — Addition
Damit du Matrizen addieren kannst, müssen sie die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. Um zwei Matrizen zu addieren, addierst du die entsprechenden Elemente miteinander.
Wie du genau vorgehst, siehst du direkt am Beispiel:
![\[\textcolor{red}{A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{1} \\ \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{red}{7} & \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{9} \end{pmatrix} \quad \textcolor{blue}{B} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{7} & \textcolor{blue}{8} & \textcolor{blue}{9} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f57c24af418925e5b3f7aba2714ca7ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Beide Matrizen haben 3 Zeilen und 3 Spalten. Du kannst sie also zusammenrechnen. Dafür addierst du die Elemente aus der jeweils gleichen Zeile und Spalte miteinander.
![\[A + B = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{3}+\textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{2}+\textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{1}+\textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{4}+\textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{5}+\textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{6}+\textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{7}+\textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{8}+\textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{9}+\textcolor{blue}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 4 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69d680e7f2e97d74921fa1e0ad8d7614_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Das Ergebnis beim Addieren ist die sogenannte Summenmatrix.
- Kommutativgesetz: A + B = B + A
- Assoziativgesetz: (A + B) + C = A + (B + C)
Noch ausführlicher erfährst du in unserem eigenen Beitrag, was du beim Matrizen addieren beachten musst.
Matrizenrechnung — Subtraktion
Die Subtraktion von Matrizen funktioniert ähnlich wie die Addition. Du kannst nur Matrizen subtrahieren, die die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben. Um zwei Matrizen zu subtrahieren, subtrahierst du die entsprechenden Elemente voneinander.
Sieh dir dafür folgendes Beispiel an:
![\[\textcolor{red}{A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{10} & \textcolor{red}{15} & \textcolor{red}{20} \\ \textcolor{red}{25} & \textcolor{red}{30} & \textcolor{red}{35} \\ \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{10} & \textcolor{red}{15} \end{pmatrix} \quad \textcolor{blue}{B} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} & \textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{blue}{7} & \textcolor{blue}{8} & \textcolor{blue}{9} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b8fdc24a0d9525524ac5f2bed1e0a292_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da beide Matrizen 3 Zeilen und Spalten haben, darfst du sie subtrahieren. Dafür ziehst du die Elemente aus der jeweils gleichen Zeile und Spalte voneinander ab.
![\[A - B = \[\begin{pmatrix} \textcolor{red}{10}-\textcolor{blue}{1} & \textcolor{red}{15}-\textcolor{blue}{2} & \textcolor{red}{20}-\textcolor{blue}{3} \\ \textcolor{red}{25}-\textcolor{blue}{4} & \textcolor{red}{30}-\textcolor{blue}{5} & \textcolor{red}{35}-\textcolor{blue}{6} \\ \textcolor{red}{5}-\textcolor{blue}{7} & \textcolor{red}{10}-\textcolor{blue}{8} & \textcolor{red}{15}-\textcolor{blue}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 13 & 17 \\ 21 & 25 & 29 \\ -2 & 2 & 6 \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e717fc279c9e5fd9ae19a57e324ff918_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Als Ergebnis erhältst du bei der Subtraktion zweier Matrizen eine Differenzmatrix.
Wichtig: Im Gegensatz zur Addition darfst du bei der Subtraktion von Matrizen weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz anwenden.
![\[\textcolor{red}{A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{red}{7} & \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{9} \end{pmatrix} \quad \textcolor{olive}{k = 3}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4db4f11a793a3aa09de911da22673627_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[\textcolor{olive}{k} \cdot \textcolor{red}{A} = \textcolor{olive}{3} \cdot \begin{pmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{red}{7} & \textcolor{red}{8} & \textcolor{red}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 9 & 12 \\ 3 & 15 & 18 \\ 21 & 24 & 27 \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fa58aab1d14764df5517a46771d61677_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor
Du kannst Matrizen auch mit Vektoren multiplizieren. Das geht aber nur dann, wenn die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Elemente im Vektor ist. Das Ergebnis nach der Rechnung ist ein neuer Vektor.
Am Beispiel siehst du, wie es funktioniert:
![\[\textcolor{red}{A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{3} \end{pmatrix} \quad \textcolor{blue}{v} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{5} \\ \textcolor{blue}{6} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-93b2a0dd989b5db79490b73d853b2502_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Matrix A hat zwei Spalten und der Vektor v hat zwei Elemente. Deshalb kannst du sie miteinander multiplizieren.
- Multipliziere die erste Zeile der Matrix A mit dem Vektor v. Dafür multiplizierst du das erste Element aus der Matrix A (2) mit dem ersten Element des Vektors v (5). Dann multiplizierst du das zweite Element aus der Matrix (4) mit dem zweiten Element des Vektors (6). Die beiden Zwischenergebnisse zählst du zusammen.
(2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 6) = 10 + 24 = 34
- Das ganze Schema wiederholst du in der zweiten Zeile. Du multiplizierst das erste Element der Matrix A (1) mit dem ersten Element des Vektors v (5). Dann multiplizierst du das zweite Element (3) mit dem zweiten Element des Vektors (6) und addierst die Zwischenergebnisse.
(1 ⋅ 5 + 3 ⋅ 6) = 5 + 18 = 23
- Das 1. Zwischenergebnis (34) ist die erste Zeile des neuen Vektors und das 2. Ergebnis (23) die zweite Zeile.
![\[A \cdot v = \begin{pmatrix} (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{6}) \\ (\textcolor{red}{1} \cdot \textcolor{blue}{5} + \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{6})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{34} \\ \textcolor{orange}{23} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e6290482875f81d06850fc87efde4255_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie du Matrix mal Vektor rechnest, findest du noch genauer in unserem eigenen Beitrag.
Multiplikation zweier Matrizen
Du kannst zwei Matrizen A und B nur multiplizieren, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist. Das Ergebnis ist eine neue Matrix.
Schau dir dafür folgendes Beispiel an:
![\[\textcolor{red}{A} = \begin{pmatrix} \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{4} & \textcolor{red}{6} \\ \textcolor{red}{3} & \textcolor{red}{5} & \textcolor{red}{7} \end{pmatrix} \quad \textcolor{blue}{B} = \begin{pmatrix} \textcolor{blue}{1} & \textcolor{blue}{2} \\ \textcolor{blue}{3} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{blue}{5} & \textcolor{blue}{6} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea558d0f416ecce995ecab6685e60db3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Matrix A hat 3 Spalten. Das sind genauso viele Spalten, wie Matrix B Zeilen hat. Deswegen darfst du sie miteinander multiplizieren.
- Als Erstes schaust du dir die erste Zeile der Matrix A und die erste Spalte der Matrix B an. Dann gehst du vor, wie bei der Multiplikation von Vektoren. Du multiplizierst jedes Element der ersten Zeile von Matrix A mit jedem Element der ersten Spalte von Matrix B.
(2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 3+ 6 ⋅ 5) = 2 + 12 + 30 = 44
- Diesen Schritt wiederholst du jetzt mit der ersten Zeile der Matrix A und der zweiten Spalte der Matrix B.
(2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 4 + 6 ⋅ 6) = 4 + 16 + 36 = 56
- Danach multiplizierst du die zweite Zeile der Matrix A mit der ersten Spalte der Matrix B.
(3 ⋅ 1 + 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 5) = 3 + 15 + 35 = 52
- Zuletzt musst du noch die zweite Zeile der Matrix A mit der zweiten Spalte der Matrix B multiplizieren.
(3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6) = 6 + 20 + 42 = 68
Wenn du alles ausmultipliziert hast, kommt am Ende eine neue Matrix als Ergebnis heraus.
![\[A \cdot B = \begin{pmatrix} (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{5}) & (\textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{4} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{6} \cdot \textcolor{blue}{6}) \\ (\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{3} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{5}) & (\textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{blue}{2} + \textcolor{red}{5} \cdot \textcolor{blue}{4} + \textcolor{red}{7} \cdot \textcolor{blue}{6}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{orange}{44} & \textcolor{orange}{56} \\ \textcolor{orange}{52} & \textcolor{orange}{68} \end{pmatrix}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1b6afb1f3187c61b34a8524be0c2de15_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
In Matrizen können nicht nur Zahlen stehen. Auch Variablen oder Funktionen sind möglich. Die Matrizenrechnung funktioniert dabei immer noch gleich.
Matrizen multiplizieren
Wenn dir das alles zu schnell ging und du noch mehr Beispiele und Erklärungen zu der Multiplikation von Matrizen haben willst, schau dir einfach unser Video zum Matrizen multiplizieren an.
