Video

Zurück zum Text

Weiter lernen Empfohlenes passendes Video

Zeitdilatation

In diesem Beitrag erfährst du, was Zeitdilatation ist und wie du mit der Lichtuhr verstehst, warum bewegte Uhren langsamer gehen.

Klasse 11

Klasse 12

Klasse 13

Inhaltsübersicht

Zeitdilatation: Was ist das?

Die Zeitdilatation ist Teil der speziellen Relativitätstheorie von Albert Einstein. Sie zeigt, dass die Zeit keine feste, universelle Größe ist. Sie ist relativ und hängt von der Bewegung des Beobachters ab.

➡️Stell dir zum Beispiel zwei Beobachter vor: Einer steht still, der andere fliegt in einem Raumschiff an ihm vorbei. Beide haben eine Uhr dabei. Das Besondere daran ist: Die Uhr im Raumschiff geht langsamer als die Uhr des still stehenden Beobachters.

Die Zeit Δt beim still stehenden Beobachter (ruhendes System) und die sogenannte Eigenzeit Δt‘ im Raumschiff (bewegtes System) stehen dabei im Zusammenhang. Sie hängen mit der relativen Geschwindigkeit v und der Lichtgeschwindkeit c zusammen.

$\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Grundannahmen

Die spezielle Relativitätstheorie basiert auf zwei Grundannahmen. Das Relativitätsprinzip sagt, dass die Gesetze der Physik in allen gleichförmig bewegten Bezugssystemen gleich sind. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit sagt, dass Licht sich im Vakuum immer mit derselben Geschwindigkeit c ausbreitet — unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters.

Aus dem Zusammenspiel dieser beiden Prinzipien folgt, dass die Zeit für ein bewegtes System langsamer vergehen muss als für ein ruhendes — das Phänomen der Zeitdilatation.

Das Lichtuhr-Modell

Um die Zeitdilatation anschaulicher zu machen, nutzen Physiker oft ein Gedankenexperiment: die sogenannte Lichtuhr. Sie besteht aus zwei parallelen Spiegeln, die genau im Abstand h übereinander angebracht sind. Zwischen den Spiegeln springt ein Lichtimpuls hin und her. Jedes Mal, wenn das Licht den oberen Spiegel trifft, macht die Uhr einen „Tick“.

Wir betrachten nun dieselbe Lichtuhr aus zwei verschiedenen Perspektiven:

1. Eigensystem $S‘$ (ruhende Uhr): Aus Sicht der Uhr selbst legt das Licht lediglich den vertikalen Weg $h$ zurück. Die Dauer für einen Tick nennst du die Eigenzeit Δt‘.

2. System $S$ (bewegte Beobachterin): Aus Sicht einer ruhenden Beobachterin bewegt sich die Uhr seitlich mit der Geschwindigkeit $v$ . Das Licht muss nun einer längeren Zickzack-Linie folgen. Die hier gemessene Zeitdauer nennst du Δt.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Nach Beantwortung speichern wir deine Antwort, um Studyflix zu verbessern. Mehr dazu erfährst du in unserer Datenschutzerklärung.

Aus Sicht von S‘

Der Lichtimpuls bewegt sich pro Tick vom oberen Spiegel senkrecht nach unten. Dort wird er reflektiert und fliegt zurück nach oben. Er legt also die Strecke 2h zurück. Der Weg ist eine gerade, senkrechte Linie. Da du dich damit innerhalb des sich bewegenden Systems befindest, bewegt sich für dich die Uhr nicht.

Du kennst bereits die Formel Zeit = Strecke : Geschwindigkeit. Damit kannst du die Tickdauer Δt‘ in S‘ direkt berechnen:

$\Delta t' = \frac{2h}{c}$

Aus Sicht von S

Jetzt wechselst du die Perspektive und schaust dir dieselbe Lichtuhr aus dem ruhenden System S an. Während der Lichtimpuls von einem Spiegel zum anderen fliegt, verschiebt sich die gesamte Uhr aus Sicht von S nach rechts. Das Licht muss deshalb einem schrägen Weg folgen.

Das Licht bewegt sich dabei gleichzeitig in zwei Richtungen: senkrecht innerhalb der Uhr und waagrecht mit der Uhr.

Für einen halben Tick, also die Zeit Δt/2, legt der Lichtimpuls ebenfalls die vertikale Strecke h zurück.

Die Uhr legt dabei aber zeitgleich eine horizontale Strecke von v · (Δt/2) zurück. Somit muss der Lichtimpuls diese Strecke auch zurücklegen.

Die Strecke l, die der Lichimpuls pro halben Tick zurücklegt, ist deshalb die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Katheten sind der senkrechte Spiegelabstand h und die horizontale Verschiebung v · (Δt/2).

Es gilt:

$\Delta t = \frac{2l}{c}$

Licht bewegt sich jedoch immer mit derselben Geschwindigkeit c.

Eine längere Strecke bei gleicher Geschwindigkeit bedeutet deshalb eine längere Zeit. Der Tick dauert in S also länger als ein Tick in S‘.

Damit ist Δt > Δt‘.

Wichtig: Die seitliche Bewegung der Uhr streckt nur den Weg in horizontaler Richtung. Der Abstand h zwischen den Spiegeln bleibt senkrecht und wird durch die Bewegung nicht verändert. Die Längenkontraktion der speziellen Relativitätstheorie findet hier also nicht statt.

Zeitdilatation: Herleitung aus der Lichtuhr

Du weißt jetzt, warum Δt > Δt‘ gilt. Damit kannst du die genaue Formel für die Zeitdilatation herleiten.

Starte mit dem, was du bereits kennst. Im Eigensystem S‘ gilt:

$\Delta t' = \frac{2h}{c}$

In System S gilt:

$\Delta t = \frac{2l}{c}$

Diese Strecke l ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die beiden Katheten sind h und v · (Δt/2). Mit dem Satz des Pythagoras gilt also:

$l^2 = h^2 + \left(v \cdot \frac{\Delta t}{2}\right)^2$

Das setzt du jetzt in die Formel davor ein:

$\Delta t = \frac{{2 \cdot \sqrt {{{\left( {\frac{{v \cdot \Delta t}}{2}} \right)}^2} + {h^2}} }}{c}$

Durch Umformen erhältst du dann:

$\Delta t = 2h \cdot \frac{1}{{\sqrt {{c^2} - {v^2}} }}$

$\frac{2h}{c}$ kennst du bereits. Das war die Formel für Δt‘. Das ersetzt du also und daraus erhältst dann die Zeitdilatationsformel:

$\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Den Faktor $\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ nennst du auch den Lorentz-Faktor. Er wird meist mit dem griechischen Buchstaben γ (sprich: Gamma) abgekürzt:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

Damit lässt sich die Zeitdilatationsformel auch kürzer schreiben: Δt = γ · Δt‘.

Zeitdilatation: Bedeutung

Die Formel $\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ kannst du direkt interpretieren. Der Nenner $\sqrt{1 - v^2/c^2}$ ist immer kleiner als 1, solange v > 0 gilt. Also ist Δt immer größer als Δt‘. Das bestätigt die Kernaussage: Die bewegte Uhr geht langsamer.

Dabei gilt zur Erinnerung:

Δt ist die Zeit, die du im ruhenden System S misst.
Δt‘ ist die Eigenzeit, die die bewegte Uhr in ihrem eigenen System S‘ misst.

Wie stark der Effekt ausfällt, hängt allein von der Geschwindigkeit v ab:

Geschwindigkeit v	Lorentz-Faktor γ	Bedeutung
v = 0	γ = 1	Δt = Δt‘, kein Effekt
v = 0,5c	γ ≈ 1,15	Δt ist ca. 15 % größer als Δt‘
v = 0,8c	γ ≈ 1,67	Δt ist ca. 67 % größer als Δt‘
v = 0,99c	γ ≈ 7,09	Δt ist ca. 7-mal größer als Δt‘

Für sehr kleine Geschwindigkeiten, also v ≈ 0, gilt γ ≈ 1 und damit Δt ≈ Δt‘. In diesem Grenzfall verschwindet die Zeitdilatation und die klassische Physik ist wiederhergestellt. Das ist genau das, was du aus dem Alltag kennst: Bei Autogeschwindigkeiten ist der Effekt zum Beispiel unmessbar klein.

Wenn v immer näher an c ran kommt, ist der Effekt der Zeitdilatation immer größer. Der Lorentz-Faktor steigt dann bis ins Unendliche.

Zeitdilitation: Beispiel

Veranschaulichen wir die Zeitdilatation noch mit einem Beispiel.

Stell du vor, du wärst ein Astronaut. Du fliegst mit einem Raumschiff zu einem weit entfernten Planeten und wieder zurück. Dein Raumschiff fliegt mit einer Geschwindigkeit von 0,8c. Du bist also mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit unterwegs. Insgesamt bist du aus deiner Sicht 10 Jahre unterwegs.

Wie viel Zeit vergeht dabei aber auf der Erde?

Die Geschwindigkeit v ist also die Gsschwindigkeit des Raumschiffs. Die 10 Jahre, die du unterwegs bist, ist in dem Fall die Eigenzeit des Systems Δt‘. Die Erde ist das ruhende System, bei dem du die Zeit Δt misst.

Gegeben: v = 0,8c; Δt = 10 Jahre

Gesucht: Δt = ?

Für die Zeitdilatation gilt: $\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$

→ $\Delta t = \frac{10}{\sqrt{1 - \frac{(0,8c)^2}{c^2}}} = \frac{10}{\sqrt{1 - 0,8^2}}$

→ $\Delta t \approx 16,67\,\text{Jahre}$

Während für dich also nur 10 Jahre vergehen, vergehen auf der Erde etwa 16,67 Jahre.

Relativität verstehen

Zeitdilatation gehört zur Relativität und ist ein zentrales Thema der modernen Physik. Du vergleichst in diesem Themenfeld Bewegung, Raum und Zeit in verschiedenen Bezugssystemen. So wird klar, warum Messwerte von Geschwindigkeit, Zeit oder Strecke vom Beobachter abhängen können. Weitere Videos dazu findest du in unserem Ingenieurwissenschaftenbereich.

Beliebte Inhalte aus dem Bereich Quantenphysik

Relativitätstheorie einfach erklärt

Doppelspaltexperiment Durchführung

Doppelspaltexperiment Berechnung

De Broglie Wellenlänge

Lernen lohnt sich! Entdecke hier deine Chancen.

Zur Webseite