Quantenphysik

Schrödinger Gleichung

Was die Schrödinger Gleichung ist und was sie überhaupt aussagt, genau das erfährst du hier.

%Schau dir auf jeden Fall noch das Video <span style="color: #008000;"><strong>Videoverweis</strong></span> zum Artikel an. Darin sind alle wichtigen Informationen für dich audiovisuell aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Schrödinger Gleichung einfach erklärt

Die Schrödinger Gleichung ist das Fundament für fast alle praktischen Anwendungen der Quantenmechanik. Sie beschreibt in Form einer partiellen Differenzialgleichung, die Veränderung eines physikalischen, nicht relativistischen Zustandes nach den Regeln der Quantenmechanik.

Dieser physikalische Zustand ist durch eine Wellenfunktion in der Schrödinger Gleichung repräsentiert. Die Wellenfunktion verändert sich mit der Zeit, aufgrund der Anwendung des Hamilton Operators auf diese. Beim Hamilton Operator handelt es sich um den Energie Operator der Quantenmechanik. Mit ihm gibst du Energiemesswerte und die Zeitentwicklung an.

Daher verändert die Wellenfunktion ihre Form in Abhängigkeit von der Zeit. Du beschreibst damit Prozesse wie die Ausbreitung, Streuung und Interferenz von Teilchen . Mit der Schrödinger Gleichung berechnest du die Energieniveaus der physikalischen Zustände. 

Schrödinger Gleichung Herleitung

Du kannst die Schrödinger Gleichung nicht aus der klassischen Physik herleiten. Sie ist ein Postulat, das jedoch aus der Hamiltonfunktion eines gegebenen Problems herleitbar ist. 

Eine solche Hamiltonfunktion hat die Form:

E= \frac{p^2}{2m} + V(r,t)

Hierbei steht E für die Energie, V für das Potential, p für den Impuls, m für die Masse, r für den Ort und t für die Zeit. Daraus leitest du die Schrödinger Gleichung her, indem du diese klassischen Größen durch entsprechende, quantenmechanische Operatoren ersetzt. 

E \rightarrow \^{E} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t}

p \rightarrow \^{p} = -i \hbar \nabla

r \rightarrow \^{r} = r

i ist die imaginäre Einheit \sqrt{-1}=i, \frac{\partial}{\partial t} eine partielle Ableitung (in diesem Fall nach der Zeit) und \hbar das reduzierte plancksche Wirkungsquantum \hbar = \frac{h}{2 \pi}. Zudem brauchst du für den Impulsoperator \^{p} den sogenannten Nabla-Operator \nabla. Bei diesem Operator handelt es sich um einen Vektor , in welchem jedes Element die partielle Ableitung nach einer Raumdimension darstellt \vec{\nabla} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right).

Wendest du diese Operatoren nun auf deine Wellenfunktion \psi = \psi (r,t) an erhältst du die Schrödinger Gleichung.

i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = - \frac{\hbar ^2}{2m} \Delta \psi + V \psi

Hier siehst du einen neuen Operator \Delta. Dieser heißt Laplace-Operator und ergibt sich aus dem Skalarprodukt \nabla ^2 = \Delta = \left(\frac{\partial ^2}{\partial x^2}, \frac{\partial ^2}{\partial y^2}, \frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right). Damit handelt es sich bei ihm um einen Vektor, in welchem jedes Element eine partielle, zweite Ableitung nach einer Raumdimension darstellt.

Schrödinger Gleichung Schule

In der Schule lernst du wahrscheinlich eine einfachere Form der Schrödinger Gleichung kennen. Diese ist die stationäre, eindimensionale Schrödinger Gleichung. Mit ihr ist es dir möglich einfachere Probleme zu lösen ohne Kenntnisse über Operatoren, komplexe Zahlen, partielle Ableitung und ähnliches zu haben. 

Du fängst an, indem du dir die Schrödinger Gleichung aufschreibst:

E \psi (x) = \^{H} \psi (x)

Du schreibst den Hamilton-Operator \^{H} aus und erhältst

E \psi (x) = \left( - \frac{\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 + V(x) \right) \psi (x)

Jetzt schreibst du den Nabla-Operator aus und löst die Klammern auf

E \psi = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi (x) + V(x) \psi (x)

Durch Äquivalenzumformung bringst du alle Terme auf eine Seite

\Leftrightarrow - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi (x) + V(x) \psi (x) - E \psi (x) = 0

Nun multiplizierst du mit -1 und klammerst \psi (x) aus

\frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi (x) + (E - E_{pot}) \psi (x) = 0

Zur Vereinfachung wurde hier das Potential V(x) durch die, aus der Schule bekannte Schreibweise für die potentielle Energie E_{pot}, ersetzt. 

Jetzt ersetzt du die zweite Ableitung durch die aus der Schule bekannten Form \frac{\partial ^2}{\partial x ^2} \psi (x)= \psi ^{''} (x) und schreibst das reduzierte plancksche Wirkungsquantum aus \hbar = \frac{h}{2 \pi}.

Auf diese Weise erhältst du die Schreibweise wie du sie in vielen Schulbüchern findest

\frac{h^2}{8 \pi ^2 m} \psi ^{''} (x) + (E-E_{pot}) \psi (x) = 0

Stationäre Schrödinger Gleichung

Im vorherigen Kapitel hast du bereits den Begriff der stationären Schrödinger Gleichung gelesen. Dabei handelt es sich um einen Spezialfall der Schrödinger Gleichung

E \psi = - \frac{\hbar ^2}{2m} \frac{\partial ^2}{\partial x^2} \psi (x) + V(x) \psi (x)

Sie beschreibt Systeme, bei welchen die Funktionswerte \psi (x) und E_{pot} nur vom Ort, nicht aber von der zeit abhängen. Eine andere Bezeichnung ist auch zeitunabhängig Schrödinger Gleichung

%<strong>H2 Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung, </strong>mein Fehler. Das ist das gleiche wie die stationäre

Schrödinger Gleichung Potentialtopf

Mit der schulphysikalischen Gleichung berechnen wir jetzt ein bekanntes und häufig gesehenes Beispiel, den linearen Potentialtopf

Die einfache, stationäre Schrödinger Gleichung lautet

\frac{h^2}{8 \pi ^2 m} \psi ^{''} (x) + (E-E_{pot}) \psi (x) = 0

Innerhalb des Potentialtopfes mit einer Länge L ist die potentielle Energie Null E_{pot} = 0. Die Gesamtenergie entspricht also der kinetischen Energie und vereinfacht unsere Gleichung somit zu

\psi ^{''} (x) + \frac{8 \pi ^2 m}{h^2} E \psi (x) = 0

Eine bekannte und mögliche Lösungsfunktion ist die Wellenfunktion für stehende Wellen

\psi (x) = \psi _0 \cdot sin \left( \frac{2 \pi x}{\lambda} \right)

Für diese muss die Bedingung für stehende Wellen mit zwei festen Enden gültig sein. 

L=n \cdot \frac{\lambda}{2} und \lambda = \frac{2 L}{n}

Setzt du das in die Wellenfunktion ein, erhältst du

\psi (x) = \psi _0 \cdot sin \left( \frac{\pi x}{L} n \right)

Nun brauchst du noch die zweite Ableitung dieser Funktion. Du erhältst 

\frac{8m}{h^2} \cdot E - \frac{n^2}{L^2} = 0

Formst du jetzt nach E um liefert dir die Gleichung die diskreten Energiewerte des Potentialtopfes

E = \frac{h^2}{8mL^2} \cdot n^2

Die eingesetzte Wellenfunktion ist also eine Lösung der Schrödinger Gleichung.

Schrödinger Gleichung Wasserstoff

Zuletzt betrachte dir die Schrödinger Gleichung des Wasserstoff Atoms. Im Gegensatz zum linearen Potentialtopf gibt es nun drei Raumdimensionen. Damit hängt die Wellenfunktion \psi nicht mehr nur noch von x ab, sondern zudem noch von y und z
Zudem bewegt sich das Elektron im elektrischen Potential des Kerns. Damit ist die potentielle Energie nicht Null, sondern hängt vom Abstand des Elektrons zum Kern ab.

Damit ergibt sich für die potentielle Energie in Abhängigkeit vom Abstand folgender Zusammenhang

E_{pot} = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}

Das ergibt das sogenannte Coulomb-Potential.  
Eingesetzt in die Schrödinger Gleichung erhältst du für Wasserstoff

\psi^{''} (x,y,z) + \frac{8 \pi^2 m_e}{h^2} \left( E - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r} \right) \psi (x,y,z) = 0

Da die ausführliche Lösung dieses Problems sehr aufwendig ist und den Rahmen dieses Artikels sprengen würde beschränken wir uns hier auf eine Betrachtung der Lösungen.

Das Potential im Wasserstoffatom ist radialsymmetrisch. Somit bietet es sich an die Ortskoordinaten durch Kugelkoordinaten auszudrücken. Dabei wird ein Punkt durch seinen Abstand vom Ursprung r und zwei Winkel \theta (Polarwinkel) und \phi (Azimutwinkel) definiert. 

Die Koordinaten rechnen sich wie folgt um:

x = r \cdot sin\theta \cdot cos \phi

y = r \cdot sin \theta \cdot \sin \phi

z = r \cdot cos \theta

Für den Grundzustand des Wasserstoffatoms erhältst du die Lösungsfunktion 

\psi_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi a^3}} e^{- \frac{r}{a}} \approx 1,47 \cdot 10^{15} e^{- \frac{r}{5,29 \cdot 10^{-11}m}} m^{- \frac{3}{2}}

Beachte, dass im Nenner des rechten Exponenten der numerische Wert des Bohr’schen Atomradius auftaucht.
Die sich daraus ergebenen Energieniveaus stimmen mit jenen der Bohr’schen Theorie überein. 

E_n = - \frac{13,6 \, eV}{n^2}

Die Zahl n ist die Hauptquantenzahl . Sie kann nur Werte positiver, natürlicher Zahlen einnehmen. 

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