Quantenphysik

Doppelspaltexperiment Berechnung

 

Du weißt bereits, was das Doppelspaltexperiment ist, wie es durchgeführt wird und was du beobachten kannst. Wie du jetzt aber das Interferenzmuster oder die Intensitätsverteilung berechnen kannst und wie du das ganze Experiment interpretieren kannst, zeigen wir dir hier in unserem Beitrag. 

Um das Ganze noch etwas einfach zu verstehen, schau dir am besten unser Video dazu an! 

Inhaltsübersicht

Interferenzmuster berechnen

Die beobachteten Intensitätsverteilungen entsprechen in ihrer Gestalt denen bei der Interferenz von Wasserwellen an einem Doppelspalt. Setzen wir also auch hier das Huygenssche Prinzip an und sehen jeden Spalt als Ausgangspunkt von elementaren Kugelwellen an. Der Weg von einem Spalt zum Punkt x ist im Allgemeinen ungleich dem Weg vom anderen Spalt aus. Daraus resultiert ein Gangunterschied \Delta s zwischen den Wellen von

\Delta s = d\sin(\theta)

mit dem Spaltabstand d. Zudem entnehmen wir der Versuchsskizze

\tan(\varphi) = \frac{x}{D} .

Da wir die Gültigkeit der Fernfeldnäherung voraussetzen, ist der Abstand D zum Detektor in Wirklichkeit viel größer als er in der Versuchsskizze erscheint. Tatsächlich sind die Wege der ausgehenden Wellen nahezu parallel. Daher finden wir \alpha\approx \frac{\pi}{2} und erhalten damit

\theta + \alpha + \left( \frac{\pi}{2}-\varphi \right) \approx \theta + \frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{2}-\varphi \right) = \pi \quad\Leftrightarrow\quad \theta\approx\varphi .

Zudem können wir die Kleinwinkelnäherung für \varphi\ll 1 verwenden:

\tan(\varphi) = \frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)} \approx \frac{\varphi}{1} \approx \sin(\varphi) .

Wir kombinieren beide Resultate mit der Formel für den Gangunterschied und erhalten

\Delta s = d\sin(\theta) \approx d\sin(\varphi) \approx d\tan(\varphi) \quad\Rightarrow\quad \Delta s \approx \frac{dx}{D}

mit Spaltabstand d und Abstand Blende-Detektor D.

Interferenzmaxima

Interferenzmaxima treten bei konstruktiver Interferenz auf, also wenn sich die Wellen „identisch überlagern“. Der Gangunterschied \Delta s muss dann ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \lambda sein

\Delta s_\text{max} = \frac{dx_\text{max}}{D} = n\lambda \quad\Leftrightarrow\quad x_\text{max} = n\cdot\frac{\lambda D}{d} \;\; , n\in\mathbb{Z} .

Dabei entspricht n=0 dem zentralen Maximum.

Interferenzminima

Intensitätsminima finden wir wenn sich die Wellen „genau entgegengesetzt überlagern“, sogenannte destruktive Interferenz. Dazu muss der Gangunterschied ein ungerades Vielfaches der Wellenlänge \frac{\lambda}{2} sein

\Delta s_\text{min} = \frac{dx_\text{min}}{D} = (2n+1)\frac{\lambda}{2} \quad\Leftrightarrow\quad x_\text{min} = \frac{2n+1}{2}\cdot\frac{\lambda D}{d} \;\; , n\in\mathbb{Z} .

Intensitätsmaxima und -minima, Doppelspaltexperiment Berechnung
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Intensitätsmaxima und -minima

Formel Intensitätsverteilung

Eine korrekte Berechnung der Intensität I in Abhängigkeit des Winkels \varphi ergibt die folgende Verteilung

\frac{I(\varphi)}{I_0} = \left( \frac{\sin\left(\frac{\pi\delta\sin(\varphi)}{\lambda}\right)}{\frac{\pi\delta\sin(\varphi)}{\lambda}} \right)^2\cdot\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin(\varphi)}{\lambda}\right)

mit der Intensität des zentralen Maximums I_0 und der Spaltbreite \delta. Diese Funktion ist ein Produkt aus der Intensität bei Beugung am Einfachspalt, gegeben durch den ersten Faktor (schwarze einhüllende Kurve im Plot), und der Intensität zweier Punktquellen im Abstand d, gegeben durch den \cos^2-Term (rote Kurve im Plot). Die Einhüllende bestimmt dabei Stärke sowie Lage der Maxima und der Punktquellenterm beschreibt die genaue Lage der Maxima und Minima.

Da gilt \cos(\alpha) = 1 \;\Leftrightarrow\; \alpha=n\pi und \cos(\alpha) = 0 \;\Leftrightarrow\; \alpha=(2n+1)\frac{\pi}{2} mit n\in\mathbb{Z} finden wir unsere Bedingungen für die Maxima und Minima bestätigt

\begin{aligned}& \text{Maxima:}\quad && \frac{\Delta s_\text{max}}{d} =\sin(\varphi_\text{max}) = \frac{n\lambda}{d} \\ & \text{Minima:} && \frac{\Delta s_\text{min}}{d} = \sin(\varphi_\text{min}) = \frac{(2n+1)\lambda}{2d}\end{aligned}

Zudem können wir aus dieser Funktion ablesen, wie sich Veränderungen in der Doppelspaltgeometrie oder der Wellenlänge auf das Interferenzmuster auswirken:

  • Verbreiterung/Verschmälerung der Spaltbreite \delta \quad  \Rightarrow
    Verschmälerung/Verbreiterung der Einhüllenden
  • Vergrößerung/Verkleinerung des Spaltabstands d \quad\Rightarrow
    Maxima und Minima liegen enger beieinander/weiter auseinander
  • Vergrößerung/Verkleinerung der Wellenlänge \lambda \quad\Rightarrow
    Einhüllende wird breiter/schmäler und Interferenzmaxima liegen weiter auseinander/enger beieinander

Doppelspaltexperiment Interpretation

Wie lassen sich die Beobachtungen beim Doppelspaltexperiment nun interpretieren? Durch den Vergleich mit der Interferenz von Wasserwellen und den Ansatz von Teilchen als Wellen gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus der Quantentheorie konnten wir das Interferenzmuster korrekt berechnen. Doch wie können wir uns das vorstellen?

Die Teilchen, Photonen oder Materieteilchen, mit denen wir das Doppelspaltexperiment durchgeführt haben, sind Quantenteilchen. In der nichtrelativistischen Quantenmechanik werden Teilchen über sogenannte Wellenfunktionen beschrieben. Eine der entscheidenden Eigenschaften dieser Wellenfunktionen im Gegensatz zur klassischen Physik ist ihre rein statistische Natur. Wellenfunktionen sind gegeben als Superpositionen aller möglichen Zustände kombiniert mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten. Im Beispiel des Doppelspalts besteht die Wellenfunktion also zu 50\% aus dem Anteil für ein Teilchen im einen und zu 50\% aus dem Anteil für ein Teilchen im anderen Spalt.

Der zweite wichtige Unterschied der Quantenmechanik zur klassischen Physik ist die Art des Messprozesses. Während wir in der klassischen Physik immer, überall und prinzipiell ohne Beeinträchtigung des physikalischen Systems messen können, ist das in der Quantenmechanik nicht möglich. Hier muss die Messung als die Interaktion zweier quantenmechanischer Systeme angesehen werden, die sie ist. Und eine solche Interaktion beeinflusst beide Seiten: sowohl den Messapparat als auch das vermessene System. Ohne eine solche Messung aber gibt es keine Information über das System und es könnte für den Messenden genauso gut nicht existieren.

Kopenhagener Deutung

Die gängigste Interpretation des Messprozesses der Quantenmechanik ist die Kopenhagener Deutung. Sie besagt, dass die Messung einer Wellenfunktion nicht nur einen der durch die Superposition möglichen Messwerte ergibt, sondern gleichzeitig die Wellenfunktion auf den entsprechenden Zustand in ihrer Superposition festlegt. Der Messprozess stellt den gemessenen Zustand also nicht fest, sondern her. Das nennt man den Kollaps der Wellenfunktion. Dieser Messwert wird aber nur mit seiner entsprechenden Wahrscheinlichkeit gemessen und bei der nächsten Messung könnte einer der anderen Messwerte mit entsprechendem Teil der Wellenfunktion realisiert werden. Der Messprozess ist also nicht oder nur statistisch deterministisch in seiner Aussage, ganz im Gegensatz zur klassischen Physik. Und das liegt nicht an Unzulänglichkeiten des Messapparats, sondern ist eine fundamentale Eigenschaft der Natur.

Das erklärt auch, warum die “Welcher-Weg-Information“ das Interferenzmuster zerstört. Die Wellenfunktion eines Teilchens nach dem Doppelspalt ist eine Superposition zweier Anteile, die jeweils alle möglichen Wege nach einem der beiden Spalte beschreiben. Erst am Detektor wird der Ort des Teilchens gemessen und die beiden Teile der Wellenfunktion interferieren zum bekannten Interferenzmuster. Das Teilchen “benutzt also beide Spalte gleichzeitig“ und “interferiert mit sich selbst“. Messen wir jedoch schon vorher den vom Teilchen benutzen Weg, zum Beispiel mit den Polarisationsfiltern, finden wir es in einem der beiden Spalte, aber legen es mit dem Ergebnis gleichzeitig auf den entsprechenden Spalt fest. Dadurch kollabiert die Wellenfunktion auf den zum jeweiligen Spalt gehörigen Anteil und die Interferenz wird unmöglich. In Summe vieler Teilchen sehen wir die Beugungsbilder der beiden Einfachspalte.

Viele-Welten-Theorie

Eine der anderen Interpretation des quantenmechanischen Messprozesses ist die Viele-Welten-Theorie. Sie geht davon aus, dass bei jeder Messung alle Möglichkeiten der Wellenfunktion realisiert werden, jedoch in einer Art “Verzweigung“ des Universums. Es ensteht eine Kopie des Universums für jeden Messwert, jedoch ohne die Möglichkeit, dass diese verschiedenen Universen miteinander interagieren könnten. Daher ist die Messung, obwohl insgesamt deterministisch, für jeden einzelnen Beobachter, der wieder nur einen Messwert misst, ebenso statistisch wie in der Kopenhagener Deutung.

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