Plancksches Wirkungsquantum

Plancksches Wirkungsquantum einfach erklärt

Das Plancksche Wirkungsquantum , oder auch Planck Konstante, ist eine Naturkonstante, die in der Quantenmechanik eine fundamentale Rolle spielt. Dort beschreibt sie für jedes harmonisch schwingende System (harmonischer Oszillator) das konstante Verhältnis von Frequenz und kleinstmöglicher zugehöriger Energie im System. Jede höhere Energie im Oszillator kann nur ein ganzzahliges Vielfaches dieser Grundzustandsenergie sein. Die Energie in solchen Systemen kann also nur diskrete Werte annehmen, sie ist gequantelt.

Zudem stellt das Plancksche Wirkungsquantum in der nicht-relativistischen Quantenmechanik gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus  die Verbindung von Teilcheneigenschaften wie Energie und Impuls mit Welleneigenschaften wie Frequenz und Wellenlänge her.

Planck Konstante Zahlenwert

Das Plancksche Wirkungsquantum ist benannt nach Max Planck, der es im Zuge seiner Untersuchung der Schwarzkörperstrahlung einführte. Es tauchte erstmals in der von ihm entwickelten Planckschen Strahlungsgesetz für die Strahlungsleistung von Schwarzkörpern auf, mit dem sich diese Strahlungseistung für alle Wellenlängen korrekt beschreiben. Zudem stimmt das Plancksche Strahlungsgesetz für sehr große Wellenlängen mit dem Rayleigh-Jeans Gesetz und für sehr kleine Wellenlängen mit dem Wiensche Strahlungsgesetz überein. Diese Gesetze waren bereits vor Planck bekannt und wurden von ihm vereinigt.

Die Plancksche Konstante hat den definiert exakten Wert

und seine Einheit ist Joule mal Sekunden, also Energie mal Zeit, die Einheit der Wirkung. Oft wird auch das sogenannte „reduzierte Plancksche Wirkungsquantum“ (sprich „h quer“) verwendet

.

Plancksches Wirkungsquantum bei Photonen und Materiewellen

Durch den Photoeffekt wissen wir, dass die Energie von Licht nicht kontinuierlich, sondern in diskreten Energieportionen übertragen wird. Die Energie von Licht ist also gequantelt. Diese Lichtquanten nennt man Photonen und ihre Energie und ihr Impuls stehen über das Plancksche Wirkunsgquantum in Verbindung mit ihrer Wellenlänge und ihrer Frequenz „nü“ (der Wellenlänge und Frequenz des Lichts)

.

Oft wird die Frequenz auch genannt, man merkt sich also am besten beide Formeln (E=h · f) und ( E = h · ν). Diese Relation für Photonenenergie und -impuls können wir auch mittels der Kreisfrequenz , der Wellenzahl und der Kreiswellenzahl ausdrücken

.

Für Materieteilchen finden wir gemäß dem Welle-Teilchen-Dualismus die de Broglie Wellenlänge  ihrer Materiewellen mit derselben Formel

,

wobei wir den Teilchenimpuls , wie hier für den nicht-relativistischen Fall, auch über die kinetische Energie angeben können.

Plancksches Wirkungsquantum bestimmen

Eine einfache Methode zur Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums ist die Gegenfeldmethode beim Photoeffekt.

Dabei wird in einer Photozelle ein Metall (Kathode) mit Licht der Frequenz bestrahlt, sodass die auftreffenden Photonen Elektronen aus dem Metall herauslösen. Nach Abzug der konstanten Austrittsarbeit haben die Elektronen dann die kinetische Energie

.

Die Elektronen bewegen sich dann zu einer (metallischen) Anode und werden dort absorbiert. Alles in allem messen wir einen Photostrom und eine Photospannung zwischen Kathode und Anode. Jetzt können wir eine äußere elektrische Spannung anlegen, die gegen die Photospannung wirkt und die Elektronen auf dem Weg zur Anode abbremst. Wenn der Photostrom verschwindet, haben wir genau so eingestellt, dass es die Photospannung kompensiert und für die Elektronenenergie gilt

.

Ist die Elementarladung bekannt (zum Beispiel aus dem Milikan-Versuch ), können wir so das Plancksche Wirkungsquantum bestimmen. Dazu bestimmen wir für einige Frequenzen die jeweils benötigten Gegenspannungen . Für die Differenz zweier Gegenspannungen und gilt gemäß obiger Gleichung

.

Wenn wir jetzt einige solche Spannungsdifferenzen über ihren zugehörigen Frequenzdifferenzen auftragen, finden wir eine Gerade, deren Steigung wir messen und so die Planck Konstante bestimmen können.

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Planck Konstante und die Unschärferelation

Im Gegensatz zur klassischen Physik ist es in der Quantenmechanik möglich, dass verschiedene Messgrößen, sogenannte „Observablen“, nicht unabhängig voneinander messbar sind. Bei solchen miteinander unverträglichen Observablen und spielt die Reihenfolge der Messung eine Rolle. Messen wir also zuerst und dann , dann finden wir andere Messwerte als bei der Reihenfolge . Der Unterschied dieser Messungen wird mit dem Planckschen Wirkungsquantum skalieren. Die Messung von beeinträchtigt also die Messung von und andersherum.

Eine direkte Folge dieses Verhaltens ist, dass wir solche Messgrößen und auch nicht gleichzeitig beliebig genau messen können. Wollen wir beide gleichzeitig messen, können wir für beide jeweils nur kleinstmögliche Bereiche angeben, in denen die Messwerte mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit liegen werden. Wichtig ist hierbei, dass das nicht an Unzulänglichkeiten der Messapparatur liegt, sondern eine natürliche Grenze ist. Die Messwerte sind also naturgemäß „unscharf“.

Messen wir und oft genug, werden wir für beide eine statistische Verteilung der Messwerte um die jeweils wahrscheinlichsten Werte, die Erwartungswerte, finden. Die Unschärfen der beiden Messgrößen sind dabei die Varianzen der beiden Verteilungen. Das Produkt der beiden Varianzen, also der jeweiligen Messungenauigkeiten, ist minimal durch den konstanten Unterschied der Messungen  und und damit über die Plancksche Konstante gegeben. Das nennt man die „Unschärferelation“ (von und ). Bestimmen wir also genauer, nimmt automatisch die Unbestimmtheit von zu und andersherum. Das geht so weit, dass wenn wir zum Beispiel exakt bestimmen wollen, dafür unendlich unscharf wird und in unserer Messung jeden beliebigen Wert annehmen kann.

Ein solches Paar von Messgrößen sind der Ort und der Impuls . Ihre Unschärferelation ist die bekannte „Heisenbergsche Unschärferelation“ und lautet für die Varianzen und beziehungsweise die Standardabweichungen und

.

Wir sehen hier auch, dass solche Unschärferelationen aufgrund der Kleinheit von in der klassischen Physik komplett zu vernachlässigen sind.

Quantisierung des Drehimpulses

In der Quantenmechanik stellt sich heraus, dass Drehimpulse (der klassische Bahndrehimpuls und der quantenmechanische Spin), auch eine Art harmonische Oszillatoren sind. Die Werte von Drehimpulsen, insbesondere des Bahndrehimpulses , können also auch nur Vielfache von annehmen. Das stimmt auch bezüglich der Einheiten, denn auch hat die Dimension Energie mal Zeit.

Im Detail finden wir für den Bahndrehimpuls eine Quantisierung sowohl des Gesamtdrehimpulses als auch seiner Projektion in eine Richtung, meistens wählt man die -Richtung, . Mit der „Drehimpulsquantenzahl“ (für den Bahndrehimpuls) ergibt sich

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Die Projektionen des Drehimpulses in verschiedene Richtungen sind solche oben beschriebene unverträgliche Messgrößen. Es ergibt also keinen Sinn, neben , das einen der Werte annehmen kann, auch oder anzugeben. Für den Spin finden wir eine analoge Quantisierung.