Mechanik: Dynamik

Fermi Energie

Mit der Fermi Energie kannst du die höchste Energie eines Teilchens in einem System von Fermionen bei einer Temperatur von null Kelvin (T=0\mathrm{K}) berechnen. In diesem Artikel erklären wir dir, was die Fermi Energie genau beschreibt und wie du sie berechnen und herleiten kannst. Darüber hinaus erfährst du, wie du mit ihr Materialien, insbesondere Metalle, Halbleiter und Isolatoren, charakterisieren kannst und was bei Temperaturen höher als 0 Kelvin passiert. Am Ende des Artikels werden wir uns auch ein konkretes Beispiel ansehen, indem wir die Fermi Energie explizit für  Kupfer berechnen.

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Inhaltsübersicht

Fermi Energie einfach erklärt

Die Fermi Energie gibt die Energie des höchsten besetzten Energieniveaus im Grundzustand eines Systems aus Fermionen an.

Merke
Also die höchste Energie, die ein Fermion, wie zum Beispiel ein Elektron im Grundzustand, haben kann.

Betrachtest du den absoluten Nullpunkt (0 Kelvin), dann sind alle Energieniveaus bis zur Fermi Energie voll besetzt und die höheren Energieniveaus sind unbesetzt. Dabei ist ein System im Grundzustand, wenn es sich im Zustand geringstmöglicher Energie befindet.

Fermi Energie Formel

Die Fermi Energie lässt sich für ein Gas aus nicht-wechselwirkenden Fermionen berechnen mit der Formel

E_F = \frac{\hbar^2}{2m}k_F^2.

Dabei repräsentiert \hbar das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, m die Masse des Fermions und k_F den Fermi-Wellenvektor

k_F = (3\pi^2n)^{\frac{1}{3}}.

Die Teilchendichte n ist hierbei der Quotient aus der Teilchenzahl N und dem Volumen V. Unter Verwendung der Fermi Energie kann man auch die Fermi-Geschwindigkeit einfach berechnen mit

v_F=\frac{\hbar k_F}{m}.

Die Fermi-Geschwindigkeit v_F ist dabei die Geschwindigkeit eines Fermions, bei welchem die kinetische Energie E_{\mathrm{kin}} gleich der Fermi Energie E_F entspricht

E_{\mathrm{kin}} = E_F = \frac{1}{2}m_e \cdot v_F^2.

Mit dem Fermi-Wellenvektor lässt sich auch die sogenannte Fermi-Wellenlänge \lambda_F ausdrücken

\lambda_F = \frac{2 \pi}{k_F}.

Fermionen, wie zum Beispiel Elektronen, breiten sich sowohl als Welle wie auch als Teilchen aus. Die Fermi-Wellenlänge ist dabei die Wellenlänge der Elektronen, welche sie bei der Fermi-Energie besitzen. Außerdem lässt sich aus der Fermi-Energie auch die sogenannte Fermi-Temperatur T_F berechnen

T_F= \frac{E_F}{k_B},

wobei k_B die Boltzmann-Konstante bezeichnet.

Fermi Energie Herleitung

In diesem Abschnitt werden wir die Formel für die Fermi Energie herleiten. Dabei gehen wir von einem quadratischen Potentialkasten mit dem Volumen V=L^3 aus. Zusätzlich werden die Fermionen als nicht-wechelwirkende Teilchen genähert und das System befinde sich im Grundzustand bei einer Temperatur von 0 Kelvin. Da man von einem unendlichen, periodischen Potential ausgeht, gilt für die Wellenfunktion \Psi(x,y,z)

\Psi(x,y,z) = \Psi(x+L,y,z)= \Psi(x,y+L,z) = \Psi(x,y,z+L).

Durch lösen der stationäre Schrödingergleichung mit der Bloch-Funktion erhält man dann als Bedingung für den Wellenzahlvektor

(1)                k_i = \frac{2\pi n_i}{L}          mit i\in \left\{ x,y,z\left\}.

Aus der Teilchenphysik ist außerdem die folgende Beziehung zwischen der Frequenz und der Energie bekannt

\omega = \frac{E}{\hbar}.

Zusätzlich weiß man auch, dass die Wellenzahl k proportional zum Impuls p=m\cdot v ist

k = \frac{p}{\hbar}.

Verwendet man diese Beziehungen, so erhält man für die kinetische Energie folgende Formel

E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.

Setzt man in diese Formel für den Wellenvektor k den Fermi-Wellenvektor k_F ein, dann resultiert daraus die Fermi Energie

(2)       E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m}.

Alle Energieniveaus sind im Grundzustand dann bis zu dieser Fermi-Energie mit jeweils zwei Spins besetzt. Diese besetzten Zustände befinden sich dabei in der Fermi-Kugel mit dem Volumen

V_F= \frac{4}{3}\pi k_F^3.

Das Volumen V, welches genau einen Zustand enthält, hat dabei im reziproken Raum ein Volumen von

V_k = \left( \frac{2\pi}{L}\right)^3 = \frac{(2\pi)^3}{V}.

Teilt man nun das Volumen der Fermi-Kugel durch das Volumen V_k, dann erhält man daraus die Anzahl N der Elektronen im Potentialkasten

N=2 \frac{V_F}{V_k}= \frac{V}{3\pi^2}k_F^3.

Der Faktor 2 kommt daher, da jeder Zustand zwei Elektronen aufnehmen kann. Hiermit lässt sich nun einfach die Elektronendichte n bestimmen

n=\frac{N}{V}= \frac{k_F^3}{3\pi^2}.

Formt man diese Gleichung nach k_F um

k_F = (3\pi^2n)^{\frac{1}{3}}

und setzt dies in die Formel (2) ein, dann kann man die Fermi Energie auch mit der Teilchendichte n ausdrücken

E_F = \frac{\hbar^2 k_F^2}{2m} = \frac{\hbar^2 (3 \pi^2 n)^{\frac{2}{3}}}{2m}.

Fermi Energie Halbleiter, Isolator, Metall

Mit der Fermi Energie kann man nun erklären, weshalb manche Materialien leitend sind und manche nicht. Befindet sich die Fermi Energie in der Bandlücke zwischen dem vollbesetzten Valenzband und dem leeren Leitungsband so können durch, zum Beispiel (genügend starke) thermische Anregung, Elektronen in das Leitungsband gelangen. Damit wird das Material leitend und man spricht in diesem Fall von einem Halbleiter. Ist die Bandlücke jedoch zu groß, sodass die Elektronen diese durch Anregung nicht überbrücken können, dann ist das Material nicht leitend und man spricht von einem Isolator. Bei einem Metall handelt es sich um ein leitendes Material, da sich die Fermi Energie im Leitungsband befindet und somit das Leitungsband teilweise besetzt ist. Und teilweise besetzte Bänder sind gerade die Voraussetzung, dass ein Material leitend ist.

Fermi Energie, Halbleiter, Isolator, Metall
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Fermi Energie Halbleiter, Isolator und Metall

Fermi Kante bei höheren Temperaturen

Die Zustände sind bei einer Temperatur von 0 Kelvin gerade bis zum Fermi Niveau besetzt. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einer Fermi-Kante, da die Fermi-Verteilung f(E) für T=0 eine Kante aufweist. Die Fermi-Verteilung gibt dabei die Wahrscheinlichkeit an mit welcher ein Zustand mit der Energie E bei einer bestimmten Temperatur T besetzt ist

f(E)= \frac{1}{e^{\frac{E-\mu}{k_BT}}+1}

Hierbei ist \mu das chemische Potential und für T=0 gilt \mu=E_F. Bis zur Energie der Fermi-Kante sind also alle Zustände besetzt und die Zustände höherer Energie sind alle unbesetzt. Wird die Temperatur ausgehend von 0 Kelvin erhöht, so weicht die Fermi-Kante immer mehr auf und es werden auch Zustände über dem Fermi Niveau besetzt. Dies ist in der folgenden Abbildung gut zu erkennen.

Fermi Energie, Chemisches Potential, Temperaturverteilung
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Fermi Energie Temperaturverteilung

Dabei muss jedoch gelten, dass die thermische Energie k_BT viel kleiner ist als die Fermi Energie

k_BT\ll E_F.

Fermi Energie berechnen Beispiel

Mit der oben genannten Formel lässt sich nun einfach die Fermi Energie verschiedener Elemente berechnen, wie zum Beispiel die Fermi Energie Natrium oder die Fermi Energie Kupfer. Hier wollen wir als Beispiel die Fermi Energie Kupfer berechnen. Die freien Elektronen in Kupfer haben bei T=0 eine Dichte von n=8,47\cdot 10^{28}\frac{1}{\mathrm{m}^3}, die Masse von Elektronen ist gegeben durch m=9,1\cdot10^{-31}\mathrm{kg} und das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum mit \hbar =1,05\cdot10^{-34}\mathrm{Js}. Damit erhält man die Fermi Energie Kupfer

E_F = \frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3} =\frac{\left(6,58\cdot10^{-16}\right)^2}{2\cdot 9,1\cdot10^{-31}}\left(3\pi^2 \cdot 8,47\cdot 10^{28}\right)^{\frac{2}{3}}\mathrm{J}\approx 1,1\cdot10^{-18}\mathrm{J}

\Leftrightarrow E_F\approx 7 \mathrm{eV}  .


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