Monotonie
Die Monotonie ist ein sehr wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion. In diesem Artikel erklären wir dir, was Monotonie ist und wie du die Monotonie einer Funktion bestimmst.
Du möchtest die Monotonie in kurzer Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Monotonie einfach erklärt
Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad irgendwo hin. Dabei ist es üblich, dass du für gewisse Zeiten nur bergauf, bergab oder auf konstanter Höhe fährst. Die Bereiche, in denen du nur bergab fährst, werden streng monoton fallend genannt (Bereich II). Kommt es vor, dass sich zwischendurch die Höhe nicht verändert, so heißt der Bereich monoton fallend (I). Fährst du für eine gewisse Zeit nur bergauf, so wird der Bereich als streng monoton steigend bezeichnet (IV). Gibt es dabei jedoch Bereiche, in denen sich deine Höhe nicht ändert (III), dann nennt man den Bereich monoton steigend (III).
Monotonie Definition
Unter Monotonie versteht man den Verlauf einer Funktion. Sie gibt an, ob die Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Es gibt dabei vier verschiedenen Arten der Monotonie.
Seien und zwei Stellen einer Funktion, wobei . Dann unterscheidet man anhand der dazugehörigen Funktionswerte und verschiedene Fälle der Monotonie.
- Ist , dann ist f streng monoton steigend,
- ist , dann ist f monoton steigend,
- ist , dann ist f streng monoton fallend, und
- ist , dann ist f monoton fallend.
Monotonie bestimmen: Schritt-für-Schritt Anleitung
Um das Monotonieverhalten einer Funktion f(x) zu bestimmen, folgst du am besten folgender Anleitung.
Schritt 1: Berechne die erste Ableitung .
Schritt 2: Bestimme die Nullstellen von .
Schritt 3: Du erstellst eine Vorzeichentabelle mit den Extremstellen .
… | ||||||||
0 | 0 | 0 |
Schritt 4: Setze Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung ein und ergänze die Vorzeichentabelle mit den Werten.
… | ||||||||
0 | 0 | 0 |
Schritt 5: Interpretiere das Ergebnis. Ist , so ist die Funktion f in dem Bereich streng monoton fallend. Ist , so ist f streng monoton steigend.
Hinweis: Es kann auch vorkommen, dass die Funktion an einer kritischen Stelle einen Sattelpunkt hat. In diesem Fall ist die Monotonie links und rechts vom Sattelpunkt gleich und ändert sich somit nicht.
Beispiel
Schauen wir uns ein Beispiel zur Monotonie an. Dafür ist folgende Funktion gegeben
Schritt 1: Zunächst berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung
Schritt 2: Um die Extremstellen von f zu ermitteln, bestimmst du die Nullstellen von
und
Schritt 3: Stelle zur Übersicht eine Vorzeichentabelle mit den Extremstellen auf
0 | 0 |
Schritt 4: Nun kannst du die Steigung genauer überprüfen, indem du Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung einsetzt. Es ergibt sich
Die Ergebnisse setzt du jetzt in die Tabelle ein.
-2 | 0 | 2 | |||
4,5 | 0 | -1,5 | 0 | 4,5 |
Schritt 5: Nun kannst du anhand der Vorzeichen sagen, wie die Monotonie der Funktion f ist. Da die Steigung vor positiv ist, ist die Funktion in dem Bereich streng monoton steigend (I). Danach wird die Steigung negativ, das heißt die Funktion wird streng monoton fallend (II). Und ab ist die Funktion wieder streng monoton steigend, da die Steigung ab hier wieder positiv ist (III).
Monotonie: Alternative Schritt für Schritt Anleitung
Alternativ kannst du die Monotonie einer Funktion f(x) auch mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Das geht wie folgt:
Schritt 1: Berechne die ersten zwei Ableitungen und .
Schritt 2: Bestimme die Nullstellen von .
Schritt 3: Setze die Extremstellen in die zweite Ableitung ein, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen
Schritt 4: Interpretiere das Ergebnis. Ist , so hat die Funktion f an dieser Stelle einen Hochpunkt. Das heißt, die Funktion ist zuerst streng monoton steigend, dann streng monoton fallend. Ist , so hat die Funktion f an dieser Stelle einen Tiefpunkt und ist somit zuerst streng monoton fallend und dann streng monoton steigend. Ist , so befindet sich an dieser Stelle ein Sattelpunkt und somit auch keine Änderung der Monotonie.
Beispiel
Schauen wir uns als Beispiel die folgende Funktion an
Sie besitzt die Ableitungen
und die Extremstellen
, und
Setzt du die Extremstellen in die zweite Ableitung ein, so erhältst du
.
Damit ist also die Funktion f im Bereich streng monoton fallend und im Bereich [-1,1] streng monoton steigend.
Streng monoton fallend
Eine Funktion f ist streng monoton fallend, wenn der Funktionsgraph mit steigendem x-Wert sinkt. Das heißt, steigt der x-Wert, so sinkt der Funktionswert.
Beispiel
Schau dir dafür zum Beispiel die lineare Funktion an. Setze und in die Funktion ein und du erhältst
.
Also ist und die Funktion f damit streng monoton fallend (im Bild unten grün eingezeichnet).
Monoton fallend
Kommt es hingegen vor, dass eine fallende Funktion an einer oder mehreren Stellen die Steigung null hat, so spricht man von monoton fallenden Funktionen. Das heißt, steigt der x-Wert einer Funktion, so kann der Funktionswert sinken oder gleich bleiben.
Beispiel
Wenn du die Funktion
betrachtest, so stellst du fest, dass die Funktion für und fällt, aber sonst konstant verläuft. Du siehst sie im Bild blau eingezeichnet.
Streng monoton steigend
Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn mit steigendem x-Wert der Funktionswert f(x) wächst. Das heißt, steigt der x-Wert, so steigt auch der Funktionswert.
Beispiel
Betrachte als Beispiel die Funktion . Setze und in die Funktion ein und du erhältst
.
Damit ist und die Funktion f somit streng monoton steigend (im Bild unten grün eingezeichnet).
Monoton steigend
Wenn eine steigende Funktion in einem Bereich konstant verläuft, so spricht man von monoton steigenden Funktionen. Das heißt, steigt der x-Wert einer monoton steigenden Funktion, so kann der Funktionswert ebenfalls steigen oder gleich bleiben.
Beispiel
Wenn du die Funktion
betrachtest, so stellst du fest, dass die Funktion für immer konstant bleibt und dann für wächst. Das heißt die Funktion ist monoton steigend (im Bild blaue Funktion).
Monotonie gebrochenrationaler Funktionen
Die Vorgehensweise zur Bestimmung der Monotonie bei gebrochenrationalen Funktionen ist die Gleiche, nur sollte man die Polstellen mit in die Vorzeichentabelle einbeziehen, da sich an den Stellen ebenfalls die Monotonie ändern kann.
Beispiel
Betrachte dafür die Funktion
mit der Ableitung
Die Funktion f besitzt die Extremstelle und die Polstelle . Damit kannst du jetzt die Vorzeichentabelle erstellen:
0 | – |
Du gehst nun gleich wie sonst vor. Das heißt du setzt Werte links und rechts von und ein:
-3 | -1 | 1 | |||
-0,07 | 0 | 2 | – | -6 |
Das heißt, dass die Funktion f für streng monoton fallend und für streng monoton steigend ist.
Monotonie und Ableitung
Da die erste Ableitung die Steigung der Funktion f beschreibt, kann zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einer Funktion verwendet werden. Ist die Ableitung in einem Bereich positiv, so ist die Funktion streng monoton steigend. Ist die Ableitung hingegen negativ, so ist die Funktion streng monoton fallend.
streng monoton steigend
monoton steigend
streng monoton fallend
monoton fallend
monoton steigend oder monoton fallend oder Extrempunkt
Hinweis: Eine streng monoton steigende (fallende) Funktion, welche in einem echten Intervall eine Steigung von null hat, ist nur noch monoton steigend (fallend). Eine Stelle mit der Steigung null ändert die Monotonie nicht!
Beispiel
Schau dir die Funktion . Sie besitzt die Ableitung , die für negativ, und für positiv ist. Das bedeutet also, dass die Funktion f für streng monoton fallend ist und für streng monoton steigend.
Monotonieverhalten: Intervalle bestimmen
In Bezug auf das Monotonieverhalten kannst du zwischen zwei Arten von Funktionen unterscheiden. Zum einen gibt es Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich die gleiche Monotonie aufweisen. Zum anderen gibt es Funktionen, die ihr Monotonieverhalten ändern.
Dabei werden die Bereiche, in denen sich die Monotonie nicht ändert, Monotonieintervalle genannt.
Beispiel
Betrachte die Funktion aus dem Beispiel zur Anleitung der Monotonie. Wie du schon weißt, ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten an den Punkten und . Die Steigung ist für und positiv, und negativ für x zwischen -1 und 1. Damit kannst du das Monotonieverhalten wie folgt mit den Monotonieintervallen angeben:
f ist streng monoton steigend für
f ist streng monoton fallend für
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
In der Kurvendiskussion gibt es noch weitere wichtige Begriffe, welche du kennen solltest:
Monotonieverhalten Aufgabe
Schauen wir uns eine Aufgabe zur Monotonie an.
Aufgabe: Monotonieverhalten bestimmen
Du hast folgende Funktion gegeben
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f.
Lösung
Zur Bestimmung der Monotonie brauchst du zuerst die Extremstellen der Funktion und dafür setzt du die erste Ableitung gleich 0.
Damit erhältst du Extremstellen bei , und . Du kannst jetzt die Vorzeichentabelle aufstellen.
0 | 0 | 0 |
Zur Untersuchung der Monotonie setzt du nun Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung ein, und ergänzt die Werte in der Vorzeichentabelle.
-2 | -0,5 | 0,5 | 2 | ||||
-24 | 0 | 1,5 | 0 | -1,5 | 0 | 24 |
Somit ist die Funktion f im Intervall streng monoton fallend, in streng monoton steigend, in streng monoton fallend und in streng monoton steigend.
Monotonie — häufigste Fragen
-
Was versteht man unter Monotonie?
Die Monotonie einer Funktion gibt an, ob der Graph in einem bestimmten Intervall steigt oder fällt. Wenn er steigt, ist die Funktion monoton steigend und die erste Ableitung positiv. Wenn der Graph fällt, ist die Funktion monoton fallend und die erste Ableitung ist negativ.
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Wie gibt man die Monotonie an?
Du gibst das Monotonieverhalten bzw. die Monotonieintervalle einer differenzierbaren Funktion f über ihre erste Ableitung an: Wenn f′(x) ≥ 0 für alle x-Werte in einem bestimmten Intervall ist, ist die Funktion dort monoton steigend.
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Welche Monotonie gibt es?
Es gibt verschiedene Arten der Monotonie:- streng monoton steigend
- streng monoton fallend
- monoton steigend
- monoton fallend
- Monotonieintervalle
Kurvendiskussion
Super! Jetzt weißt du, was Monotonie bedeutet. Die Untersuchung der Monotonie und Bestimmung des Monotonieverhaltens ist ein wichtiger Schritt in der Kurvendiskussion. Aber es gibt noch weitere wichtige Schritte! Welche das sind, erfährst du hier .