Analysis

Hochpunkt und Tiefpunkt

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Thema Hochpunkt und Tiefpunkt von Funktionen. Du lernst eine Schritt-für-Schritt Anleitung, mit welcher du Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen kannst.

Du möchtest in kurzer Zeit erfahren, wie du einen Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen kannst? Dann schaue dir unser Video zu diesem Thema an.

Inhaltsübersicht

Hochpunkt und Tiefpunkt einfach erklärt

Stell dir vor, du möchtest die Umgebung einer Berglandschaft untersuchen. Bei deinem Vorhaben wirst du dich manchmal bergauf und manchmal bergab bewegen. Beim Übergang „bergauf zu bergab“ oder „bergab zu bergauf“ wirst du dich an einer Stelle befinden, wo die Bodenhöhe an dieser Stelle entweder größer oder kleiner ist als die Höhen in deiner Umgebung. Gehst du von „bergauf zu bergab“, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Im anderen Fall um einen Tiefpunkt.

Wenn du dir die Bodenhöhe als eine Funktion deiner aktuellen Position vorstellst, ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen genau dann ein Hochpunkt, wenn die Funktionswerte in einer bestimmten Umgebung um diesen Punkt alle kleiner sind als der Funktionswert an dieser Stelle. Bei einem Tiefpunkt ist die Situation genau umgekehrt, das heißt alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung sind größer.

Hochpunkt, Tiefpunkt, Illustration
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Hochpunkt und Tiefpunkt: Illustration.

Hochpunkt und Tiefpunkt Schritt-für-Schritt Anleitung

Wie genau kann ich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung einen Hochpunkt berechnen oder den Tiefpunkt einer Funktion bestimmen? Das beantworten wir dir in diesem Abschnitt in Form einer Schritt-für-Schritt Anleitung.

Die Ausgangssituation ist folgende: Du hast eine Funktion f(x) gegeben und möchtest nun die Hochpunkte berechnen beziehungsweise die Tiefpunkte bestimmen. Um dieses Ziel zu erreichen, folgst du den folgenden Schritten:

  • Schritt 1: Erste Ableitung f'(x) berechnen;
  • Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen;
  • Schritt 3: Zweite Ableitung f''(x) berechnen;
  • Schritt 4: Nullstellen aus Schritt 2 in die zweite Ableitung einsetzen;
  • Schritt 5: Anhand der Zahl aus Schritt 4 unterscheidest du folgende Fälle (die Nullstellen werden mit x_0 abgekürzt):
    1. f''(x_0) = 0 \Longleftrightarrow: x_0 ist nicht x-Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts.
    2. f''(x_0) \neq 0 \Longleftrightarrow: x_0 ist x-Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts. Hier unterscheidest du dann noch die Fälle
      1. f''(x_0) > 0 \Longleftrightarrow x_0 ist x-Koordinate eines Tiefpunkts,
      2. f''(x_0) < 0 \Longleftrightarrow x_0 ist x-Koordinate eines Hochpunkts.
  • Schritt 6: Hat sich im fünften Schritt ergeben, dass x_0 die x-Koordinate für ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, so setzt du x_0 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, um die y-Koordinate des Hoch- oder Tiefpunkts zu bestimmen, also y_0 = f(x_0).

Beispiel

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du mit der Anleitung einen Hochpunkt berechnen und einen Tiefpunkt bestimmen kannst. Dazu betrachten wir folgende Funktion

f(x) = \frac{1}{10}x^3 + 2x^2 - 4x - 12.

Schritt 1: Zunächst berechnen wir die erste Ableitung. Mit Hilfe der Faktor- und Potenzregel erhalten wir

f'(x) = \frac{3}{10}x^2 + 4x - 4.

Schritt 2: Nun benötigen wir die Nullstellen dieser Ableitung. Wir müssen also die Gleichung

f'(x) = \frac{3}{10}x^2 + 4x - 4 = 0

lösen. Um die Rechnung zu vereinfachen, multiplizieren wir die Gleichung mit 10 und erhalten

3x^2 + 40x - 40 = 0.

Diese lösen wir mit der Mitternachtsformel . Damit ergeben sich die Nullstellen x_1 und x_2 zu

x_1 = -14,27 und x_2 = 0,93.

Schritt 3: In diesem Schritt berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion. Wieder unter Verwendung der Faktor- und Potenzregel erhalten wir

f''(x) = \frac{6}{10}x + 4.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen x_1 und x_2 und setzen diese in f''(x) ein. Wir erhalten

f''(x_1) =  \frac{6}{10}x_1 + 4 = \frac{6}{10}(-14,27) + 4 = -4,56 < 0 und

f''(x_2) =  \frac{6}{10}x_2 + 4 = \frac{6}{10}(0,93) + 4 = 4,56 > 0.

Damit ist x_1 die x-Koordinate eines Hochpunkts und x_2 die x-Koordinate eines Tiefpunkts.

Schritt 6: Im letzten Schritt berechnen wir die y-Koordinate der zwei Extrempunkte. Dazu nehmen wir x_1 und x_2 und setzen diese in f(x) ein. Wir erhalten

f(x_1) = \frac{1}{10}x_1^3 + 2x_1^2 - 4x_1 - 12

= \frac{1}{10}(-14,27)^3 + 2\cdot (-14,27)^2 - 4 \cdot (-14,27) - 12 = 161,76 und

f(x_2) = \frac{1}{10}x_2^3 + 2x_2^2 - 4x_2 - 12

= \frac{1}{10}(0,93)^3 + 2\cdot (0,93)^2 - 4 \cdot (0,93) - 12 = -13,91.

Der Hochpunkt H und Tiefpunkt T für die Funktion f(x) = \frac{1}{10}x^3 + 2x^2 - 4x - 12 lauten somit

H(-14,27 \mid 161,76) und T(0,93 \mid -13,91).

Hochpunkt, Tiefpunkt, Beispiel
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Funktionsgraph mit Hochpunkt und Tiefpunkt für das Beispiel.

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik hinter dem Hochpunkt und Tiefpunkt eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe der Kurvendiskussion:

%In den einzelnen Beiträgen findest du mehr dazu!

Minima und Maxima: lokal vs. global

Nun weißt du zwar, wie du einen Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen kannst. Aber vielleicht fragst du dich, wieso die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Zusätzlich haben wir beim Beispiel mit der Bergwanderung gesehen, dass „Hoch“punkte (oder „Tief“punkte) auch Punkte sein können, die niedriger (oder höher) als andere Punkte liegen, die wir nicht Hochpunkte (oder Tiefpunkte) nennen. Was hat es also mit der Bezeichnung „Hoch“ (oder „Tief“) auf sich? In diesem Abschnitt beantworten wir dir diese zwei Fragen. Wir werden uns dabei auf den Fall eines Hochpunkts beschränken. Für einen Tiefpunkt gilt die gleiche Argumentation, wobei du Begriffe wie „am höchsten“ oder „hoch“ durch „am niedrigsten“ oder „tief“ ersetzen musst.

Warum Ableitung Null setzen?

Hochpunkte und Tiefpunkte sind dadurch charakterisiert, dass sich die Funktionswerte an einem Hochpunkt oder Tiefpunkt nicht merklich ändern, wenn du dich nur ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst.

Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist. Du kannst also an die Hochpunkte und Tiefpunkte waagerechte Tangenten einzeichnen.

Wieso Bezeichnung „Hoch/Tief“?

Ein Hochpunkt muss nicht zwangsläufig derjenige Punkt sein, der am höchsten liegt. Ein Hochpunkt ist in dem Sinne „hoch“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um den Hochpunkt höher als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt. Ist ein solcher Hochpunkt gleichzeitig der höchste Punkt, dann findest du dafür auch die Bezeichnung globaler Hochpunkt oder globales Maximum. Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Hochpunkt oder lokales Maximum. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Hochpunkt nur in einer bestimmten Umgebung „hoch“ ist. Für einen Tiefpunkt findest du die Bezeichnungen globaler Tiefpunkt (globales Minimum) und lokaler Tiefpunkt (lokales Minimum).

Im folgenden Bild siehst du die Hochpunkte H_1 und H_2 sowie die Tiefpunkte T_1 und T_2 einer Funktion mit eingezeichneten waagerechten Tangenten (grün gestrichelt). Der Hochpunkt H_1 (blau) beziehungsweise der Tiefpunkt T_2 (orange) ist ein globaler Hochpunkt beziehungsweise ein globaler Tiefpunkt, während H_2 und T_2 (schwarz) ein lokaler Hochpunkt und lokaler Tiefpunkt sind. Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Hochpunkt H_2 gezoomt, um die Bezeichnung „hoch“ zu illustrieren. 

Lokal, global, Hochpunkt, Tiefpunkt
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Illustration der waagerechten Tangente und Unterschied zwischen global/lokal bei Hochpunkt und Tiefpunkt.

Hochpunkt und Tiefpunkt Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben.

Aufgabe 1: Hochpunkt und Tiefpunkt für Polynom zweiten Grades

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

f(x) = 4x^2 + \frac{3}{2}x - 7.

Bestimme den Hochpunkt und Tiefpunkt dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 1

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

f'(x) = 8x + \frac{3}{2}.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

f'(x) = 8x + \frac{3}{2} = 0.

Wir erhalten damit die Nullstelle

x_1 = -\frac{3}{16}.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

f''(x) = 8.

Schritt 4 und 5: Da die zweite Ableitung für alle x immer den Wert 8 besitzt, gilt f''(x_1) = 8 > 0. Damit ist x_1 die x-Koordinate eines Tiefpunkts.

Schritt 6: Wir setzen x_1 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und erhalten die y-Koordinate

f(x_1) = -7,14.

Damit ergibt sich der Tiefpunkt T zu T  \left (-\frac{3}{16} \mid -7,14 \right ).

Aufgabe 2: Hochpunkt berechnen und Tiefpunkt bestimmen für Polynom dritten Grades

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{16}{4}x^2 + 7x - 11.

Bestimme den Hochpunkt und Tiefpunkt dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 2

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

f'(x) = x^2 + 8x + 7.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

f'(x) = x^2 + 8x + 7=0.

Hierzu verwenden wir die pq-Formel und erhalten die Nullstellen

x_1 = -1 und x_2 = -7.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

f''(x) = 2x + 8.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen x_1 und x_2 und setzen sie in die zweite Ableitung f''(x) ein. Wir bekommen dann

f''(x_1) = 6 > 0 und f''(x_2) = -6 < 0.

Damit ist x_1 die x-Koordinate eines Tiefpunkts und x_2 die x-Koordinate eines Hochpunkts.

Schritt 6: Wir setzen x_1 und x_2 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und erhalten die y-Koordinaten

y_1 = f(x_1) = -14,33 und y_2 = f(x_2) = 21,67.

Damit ergeben sich der Hochpunkt H und der Tiefpunkt T zu H (-1 \mid -14,33) und T (-7 \mid 21,67).

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