In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Thema Hochpunkt und Tiefpunkt von Funktionen. Du lernst eine Schritt-für-Schritt Anleitung, mit welcher du Hochpunkte und Tiefpunkte berechnen kannst.
Du möchtest in kurzer Zeit erfahren, wie du einen Hochpunkt und Tiefpunkt bestimmen kannst? Dann schaue dir unser Video zu diesem Thema an.
Hochpunkt und Tiefpunkt einfach erklärt
Stell dir vor, du möchtest die Umgebung einer Berglandschaft untersuchen. Bei deinem Vorhaben wirst du dich manchmal bergauf und manchmal bergab bewegen. Beim Übergang „bergauf zu bergab“ oder „bergab zu bergauf“ wirst du dich an einer Stelle befinden, wo die Bodenhöhe an dieser Stelle entweder größer oder kleiner ist als die Höhen in deiner Umgebung. Gehst du von „bergauf zu bergab“, dann handelt es sich um einen Hochpunkt. Im anderen Fall um einen Tiefpunkt.
Wenn du dir die Bodenhöhe als eine Funktion deiner aktuellen Position vorstellst, ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen genau dann ein Hochpunkt, wenn die Funktionswerte in einer bestimmten Umgebung um diesen Punkt alle kleiner sind als der Funktionswert an dieser Stelle. Bei einem Tiefpunkt ist die Situation genau umgekehrt, das heißt alle Funktionswerte in einer kleinen Umgebung sind größer.
Hochpunkt und Tiefpunkt Schritt-für-Schritt Anleitung
Wie genau kann ich mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung einen Hochpunkt berechnen oder den Tiefpunkt einer Funktion bestimmen? Das beantworten wir dir in diesem Abschnitt in Form einer Schritt-für-Schritt Anleitung.
Die Ausgangssituation ist folgende: Du hast eine Funktion 
gegeben und möchtest nun die Hochpunkte berechnen, beziehungsweise die Tiefpunkte bestimmen. Um dieses Ziel zu erreichen, folgst du den folgenden Schritten:
-
Schritt 1: Erste Ableitung
berechnen - Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
-
Schritt 3: Zweite Ableitung
berechnen - Schritt 4: Nullstellen aus Schritt 2 in die zweite Ableitung einsetzen
-
Schritt 5: Anhand der Zahl aus Schritt 4 unterscheidest du folgende Fälle (die Nullstellen werden mit
abgekürzt):
-
: ist nicht 
-Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts. -
: ist -Koordinate eines Hoch- oder Tiefpunkts. Hier unterscheidest du dann noch die Fälle
-
ist -Koordinate eines Tiefpunkts, -
ist -Koordinate eines Hochpunkts.
-
-
-
Schritt 6: Hat sich im fünften Schritt ergeben, dass die -Koordinate für ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, so setzt du in die ursprüngliche Funktion ein, um die
-Koordinate des Hoch- oder Tiefpunkts zu bestimmen, also 
.
Beispiel
Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du mit der Anleitung einen Hochpunkt berechnen und einen Tiefpunkt bestimmen kannst. Dazu betrachten wir folgende Funktion
.
Schritt 1: Zunächst berechnen wir die erste Ableitung. Mit Hilfe der Faktor- und Potenzregel erhalten wir
.
Schritt 2: Nun benötigen wir die Nullstellen dieser Ableitung. Wir müssen also die Gleichung
lösen. Um die Rechnung zu vereinfachen, multiplizieren wir die Gleichung mit 10 und erhalten
.
Diese lösen wir mit der Mitternachtsformel
. Damit ergeben sich die Nullstellen 
und 
zu
und 
.
Schritt 3: In diesem Schritt berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion. Wieder unter Verwendung der Faktor- und Potenzregel erhalten wir
.
Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen und und setzen diese in ein. Wir erhalten
und
.
Damit ist die -Koordinate eines Hochpunkts und die -Koordinate eines Tiefpunkts.
Schritt 6: Im letzten Schritt berechnen wir die -Koordinate der zwei Extrempunkte. Dazu nehmen wir und und setzen diese in ein. Wir erhalten
und
.
Der Hochpunkt 
und Tiefpunkt 
für die Funktion lauten somit
und 
.
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik hinter dem Hochpunkt und Tiefpunkt eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe der Kurvendiskussion:
- Kurvendiskussion
- Kurvendiskussion Aufgaben
- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Extrempunkte berechnen
- Monotonie
- Wendepunkt berechnen
- Wendetangente
- Sattelpunkt berechnen
- y Achsenabschnitt berechnen
- Symmetrie
- Punktsymmetrie
- Achsensymmetrie
In den einzelnen Beiträgen findest du mehr dazu!
Minima und Maxima: lokal vs. global
Nun weißt du, wie du einen Hochpunkt und Tiefpunkt berechnen kannst. Aber vielleicht fragst du dich, wieso die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Zusätzlich haben wir beim Beispiel mit der Bergwanderung gesehen, dass „Hoch“punkte (oder „Tief“punkte) auch Punkte sein können, die niedriger (oder höher) als andere Punkte liegen, die wir nicht Hochpunkte (oder Tiefpunkte) nennen. Was hat es also mit der Bezeichnung „Hoch“ (oder „Tief“) auf sich? In diesem Abschnitt beantworten wir dir diese zwei Fragen. Wir werden uns dabei auf den Fall eines Hochpunkts beschränken. Für einen Tiefpunkt gilt die gleiche Argumentation, wobei du Begriffe wie „am höchsten“ oder „hoch“ durch „am niedrigsten“ oder „tief“ ersetzen musst.
Warum Ableitung Null setzen?
Hochpunkte und Tiefpunkte sind dadurch charakterisiert, dass sich die Funktionswerte an einem Hochpunkt oder Tiefpunkt nicht merklich ändern, wenn du dich nur ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst.
Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist. Du kannst also an die Hochpunkte und Tiefpunkte waagerechte Tangenten einzeichnen.
Wieso Bezeichnung „Hoch/Tief“?
Ein Hochpunkt muss nicht zwangsläufig derjenige Punkt sein, der am höchsten liegt. Ein Hochpunkt ist in dem Sinne „hoch“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um den Hochpunkt höher als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt. Ist ein solcher Hochpunkt gleichzeitig der höchste Punkt, dann findest du dafür auch die Bezeichnung globaler Hochpunkt oder globales Maximum. Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Hochpunkt oder lokales Maximum. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Hochpunkt nur in einer bestimmten Umgebung „hoch“ ist. Für einen Tiefpunkt findest du die Bezeichnungen globaler Tiefpunkt (globales Minimum) und lokaler Tiefpunkt (lokales Minimum).
Im folgenden Bild siehst du die Hochpunkte 
und 
sowie die Tiefpunkte 
und 
einer Funktion mit eingezeichneten waagerechten Tangenten (grün gestrichelt). Der Hochpunkt (blau) beziehungsweise der Tiefpunkt (orange) ist ein globaler Hochpunkt beziehungsweise ein globaler Tiefpunkt, während und (schwarz) ein lokaler Hochpunkt und lokaler Tiefpunkt sind. Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Hochpunkt gezoomt, um die Bezeichnung „hoch“ zu illustrieren.
Hochpunkt und Tiefpunkt Aufgaben
In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben.
Aufgabe 1: Hochpunkt und Tiefpunkt für Polynom zweiten Grades
Gegeben ist die folgende Polynomfunktion
.
Bestimme den Hochpunkt und Tiefpunkt dieser Polynomfunktion.
Lösung: Aufgabe 1
Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung
.
Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung
.
Wir erhalten damit die Nullstelle
.
Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung
.
Schritt 4 und 5: Da die zweite Ableitung für alle immer den Wert 8 besitzt, gilt 
. Damit ist die -Koordinate eines Tiefpunkts.
Schritt 6: Wir setzen in die ursprüngliche Funktion ein und erhalten die -Koordinate
.
Damit ergibt sich der Tiefpunkt zu 
.
Aufgabe 2: Hochpunkt berechnen und Tiefpunkt bestimmen für Polynom dritten Grades
Gegeben ist die folgende Polynomfunktion
.
Bestimme den Hochpunkt und Tiefpunkt dieser Polynomfunktion.
Lösung: Aufgabe 2
Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung
.
Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung
.
Hierzu verwenden wir die pq-Formel und erhalten die Nullstellen
und 
.
Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung
.
Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen und und setzen sie in die zweite Ableitung ein. Wir bekommen dann
und 
.
Damit ist die -Koordinate eines Tiefpunkts und die -Koordinate eines Hochpunkts.
Schritt 6: Wir setzen und in die ursprüngliche Funktion ein und erhalten die -Koordinaten
und 
.
Damit ergeben sich der Hochpunkt und der Tiefpunkt zu 
und 
.
Wendepunkt berechnen
Super! Hoch- und Tiefpunkte kannst du jetzt problemlos berechnen. Ein weiteres Thema zur Kurvendiskussion, das du unbedingt können musst, ist die Berechnung von Wendepunkten. Wendepunkte, sind die Punkte, an denen ein Funktionsgraph von einer Rechtskrümmung in die Linkskrümmung wechselt oder umgekehrt. Damit du deine nächste Prüfung gut meisterst, solltest du unbedingt wissen wie du sie berechnest. Schau dir am besten direkt unser Video dazu an!
