Geometrie

In diesem Beitrag zeigen wir dir, was die Achsensymmetrie ist und wie du die Symmetrieachsen erkennen kannst. Schau dir auch ganz einfach unser kurzes Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Was bedeutet achsensymmetrisch?

Achsensymmetrie bei einer Figur erkennst du daran, dass du die Figur an einer Symmetrieachse spiegeln kannst.

Figur, Symmetrie, Graph, Symmetrieachsen, Achse
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Figur mit Symmetrieachse

Was ist eine Symmetrieachse? Eine Symmetrieachse oder auch Spiegelachse ist einfach nur die Linie, an der du deine Figur spiegelst. Angenommen du faltest das Bild am roten Strich, dann liegen die Figuren deckungsgleich aufeinander.

Auch bei Funktionen kannst du die Achsensymmetrie ermitteln. Dafür hast du eine Achsensymmetrie Formel, die dir angibt, ob eine Funktion symmetrisch zur y-Achse ist.

\textbf{f\textcolor{blue}{(-x)} = f(x)}

Schauen wir uns mal ein paar Beispiele an.

Achsensymmetrische Figuren

Als erstes untersuchst du ein Rechteck auf seine Symmetrieachsen

Rechteck, Symmetrieachsen, Achse, Symmetrie
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Rechteck

Du kannst ein Rechteck an genau den zwei Symmetrieachsen spiegeln. 

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Quadrat

Ein Quadrat hat die gleichen zwei Symmetrieachsen wie ein Rechteck. Es hat aber auch noch beide Diagonalen als Spiegelachsen

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Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez ist eine achsensymmetrische Figur mit einer Symmetrieachse. Aber nur, wenn es wie das hier gleichschenklig ist. 

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Gleichseitiges Dreieck

Auch ein gleichseitiges Dreieck ist achsensymmetrisch mit drei Spiegelachsen. Ein gleichschenkliges Dreieck hätte dagegen nur eine Symmetrieachse.

Kreis, Symmetrie, Mittelpunkt, Symmetrieachsen
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Kreis

Ein Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen, die alle durch den Mittelpunkt gehen.

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Symmetrische und unsymmetrische Figur

Und an sich kann jede beliebige Figur achsensymmetrisch sein, sowie links dargestellt. Es gibt aber natürlich auch Figuren, die es nicht sind, wie beispielsweise das rechte Bild.

Achsensymmetrie Funktionen

Was ist Achsensymmetrie bei Funktionen? Auch bei Funktionen kann es vorkommen, dass du eine Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen musst.  Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

\textbf{f\textcolor{blue}{(-x)} = f(x)}

Beispiel 1

Stell dir vor, du sollst nachweisen, dass die Funktion f(x) = x^2 achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Wie gehst du vor?

  • 1. f(-x) berechnen: Schreibe in der Funktion anstelle von x ein (-x). Denk daran: Minus mal Minus gibt Plus!

f\textcolor{blue}{(-x)} = \textcolor{blue}{(-x)}^2 = \textcolor{blue}{(-x)} \cdot \textcolor{blue}{(-x)} = x^2

Achtung: Vergiss die Klammern um (-x) nicht!

  • 2. Symmetrie bestimmen: Vergleiche f(-x) und f(x).

f\textcolor{blue}{(-x)} =x^2= f(x)

Die beiden Funktionen sind genau gleich. Also ist f(x)= x^2 achsensymmetrisch zur y-Achse.

Funktion, Graph, Symmetrie, y-Achse, Symmetrieachsen
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Funktion mit Achsensymmetrie

Beispiel 2

Jetzt stell dir vor, du sollst die Funktion f(x) = 4x^2 + 8x +4 auf Achsensymmetrie überprüfen. 

  • 1. f(-x) berechnen: Ersetze in der Funktion das x durch ein (-x).

f\textcolor{blue}{(-x)} = 4 \cdot\textcolor{blue}{(-x)}^2 + 8 \cdot \textcolor{blue}{(-x)} + 4 = 4x^2 - 8x +4

  • 2. Symmetrie bestimmen: Und wieder vergleichst du f(-x) und f(x).

f\textcolor{blue}{(-x)} =4x^2 - 8x +4\ \neq \ 4x^2 + 8x +4= f(x)

Du siehst, dass diesmal die Achsensymmetrie Formel nicht zutrifft. Deshalb ist die Funktion f(x) = 4x^2 + 8x +4 nicht zur y-Achse symmetrisch.

Funktion, y-Achse, Symmetrie, Symmetriachsen
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Funktion ohne Achsensymmetrie

Punktsymmetrie

Neben der Achsensymmetrie gibt es auch noch die Punktsymmetrie . Dabei drehst du eine Figur oder eine Funktion um einen festen Punkt. Auch über die Punktsymmetrie musst du auf jeden Fall Bescheid wissen. Schau dir unser Video dazu an! 

Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, Symmetrieachse, Achse
Zum Video: Punktsymmetrie

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