Symmetrie
Die Symmetrie begegnet dir oft in der Geometrie. Was bedeutet symmetrisch und was ist Symmetrie? Alles über die vier Symmetriearten erfährst du in diesem Beitrag und in unserem Video.
Inhaltsübersicht
Symmetrie einfach erklärt
Symmetrie ist eine geometrische Eigenschaft. Schau dir dazu gleich mal das Dreieck an:
Spiegelst du die Seiten an der roten Linie, erhältst du wieder das gleiche Dreieck. Du kannst nämlich einfach die eine Seite an der roten Linie auf die andere Seite falten. Dann liegen die Seiten genau übereinander. Die Figur ist also symmetrisch!
Merke dir: Wenn du etwas so spiegeln, drehen oder verschieben kannst, dass es wieder genau auf sich selbst abgebildet wird, sprichst du von Symmetrie.
Das ist aber nicht die einzige Form von Symmetrie. Welche Symmetrien gibt es eigentlich noch alles?
In sich oder zueinander symmetrisch?
Erstmal unterscheidest du, ob etwas in sich oder zueinander symmetrisch ist. Das Dreieck von oben ist in sich symmetrisch, da du es an der Spiegelachse übereinander klappen kannst. Aber was passiert, wenn du noch ein Dreieck daneben legst?
Dann sind die beiden Dreiecke zueinander symmetrisch, weil du sie genau an der roten Linie (Experten sagen auch „Achse“) einfach spiegeln kannst: Wenn du das rechte Dreieck an der roten Achse spiegelst, erhältst du genau das rechte Dreieck und umgekehrt.
Jetzt kannst du dir anschauen, welche vier Symmetriearten es gibt.
Achsensymmetrie
Was ist achsensymmetrisch? Die Achsensymmetrie hast du jetzt schon kennengelernt. Wenn du etwas an einer bestimmten Spiegelachse wieder in sich oder zueinander abbilden kannst, handelt es sich um Achsensymmetrie. Ein Quadrat hat zum Beispiel ganze 4 Symmetrieachsen!
Du kannst es an der Senkrechten, Horizontalen oder an den Diagonalen spiegeln. Es gibt aber noch eine andere Symmetrieart, die dir im Alltag häufig begegnet.
Punktsymmetrie
Was ist punktsymmetrisch? Hier gibt es keine Achse, an der du spiegelst, sondern nur einen Punkt. Schau dir dafür die beiden Rechtecke an:
Du zeichnest eine Linie von jeder Ecke deines Rechtecks bis zum Spiegelpunkt. Wenn du die Linie dann um den selben Abstand nochmal erweiterst, erhältst du einen Eckpunkt des anderen Rechtecks. Das ist die Punktsymmetrie zueinander.
Ein Quadrat ist aber zum Beispiel auch in sich punktsymmetrisch. Hier wählst du den Mittelpunkt als Symmetriepunkt. Jetzt musst du wieder nur die Linien von den Ecken bis zum Symmetriepunkt zeichnen. Danach verlängerst du sie bis zur anderen Seite um den gleichen Abstand.
Du erhältst dann genau die andere Seite, also die Ursprungsform deines Quadrats. Auch bei der nächsten Symmetrieart benötigst du einen Symmetriepunkt.
Drehsymmetrie
Eine seltenere Art der Symmetrie ist die Drehsymmetrie. Hier hast du einen Punkt, um den du deine Figur drehen kannst. Wenn du beim Drehen irgendwann wieder die gleiche Figur erhältst, ist sie drehsymmetrisch. Schau dir dafür einen Stern an. Sterne sind drehsymmetrische Figuren.
Wenn du den Stern etwas drehst, hast du ihn schnell wieder in der gleichen Position. Du musst ihn nur um einen bestimmten Winkel drehen, hier genau um 72 Grad.
Hinweis: Wenn du eine drehsymmetrische Figur um 180 Grad drehen kannst, so dass dann wieder die ursprüngliche Form rauskommt, ist sie auch punktsymmetrisch.
Aber was ist eigentlich, wenn du keine Symmetrie erkennen kannst?
Asymmetrie
Geometrische Figuren oder Formen sind natürlich nicht immer symmetrisch.
Wenn das der Fall ist, sprichst du von Asymmetrie.
Expertenwissen: Symmetrie Funktionen
Nicht nur bei geometrischen Figuren gibt es Symmetrien, sondern auch bei Funktionen. Bei Funktionen unterscheidest du zwischen Achsen-und Punktsymmetrie. Wenn eine Funktion an der y-Achse achsensymmetrisch ist, kannst du sie dort spiegeln. Wenn du die Symmetrie berechnen möchtest, musst du folgende Bedingung prüfen:
Symmetrie bei Funktionen liegt in folgenden Fällen vor:
- Achsensymmetrie f(x) = f(-x)
- Punktsymmetrie f(-x) = -f(x)
- Asymmetrie, wenn keine der oberen Gleichungen gilt
Schau dir dazu gleich ein Beispiel an:
f(x)=x2
Um zu überprüfen, ob die Funktion achsensymmetrisch ist, setzt du jetzt einfach – x in deine Funktion ein:
f(-x) = (-x)2
Den Funktionsausdruck kannst du aber noch vereinfachen und erhältst:
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x)
Die Bedingung ist also erfüllt und die Funktion damit achsensymmetrisch. Wenn die Funktion allerdings nicht achsensymmetrisch sein sollte, kannst du sie noch auf Punktsymmetrie testen. Dafür gilt diese Bedingung:
f(-x) = -f(x)
Ist die Funktion f punktsymmetrisch?
f(x)=x3
Dafür musst du die Bedingung für Punktsymmetrie prüfen und setzt wieder -x in die Funktion ein:
f(-x)=(-x)3
Wenn du die Klammer auflöst, erhältst du folgenden Ausdruck:
f(-x)=(-x)3 = -x3 = -f(x)
Deine Funktion ist also punktsymmetrisch!
Geometrische Figuren und Formen
Symmetrie untersuchst du vor allem bei geometrische Figuren und Formen . Wenn du da fit werden willst, schau dir doch gleich uns Video dazu an.
