Analysis

Extrempunkte berechnen

In diesem Beitrag lernst du, wie du Extrempunkte berechnen kannst. Dafür zeigen wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung und verschiedene Aufgaben mit Lösungen.

Du möchtest in kurzer Zeit lernen, wie du Extrempunkte bestimmen kannst? Dann schaue dir unser Video zu diesem Thema an!

Inhaltsübersicht

Extrempunkte berechnen einfach erklärt

Wenn du schon einmal mit der Achterbahn gefahren bist, dann hattest du Kontakt mit Extrempunkten. Hierbei handelt es sich um Hochpunkte oder Tiefpunkte. Kurz bevor es wieder abwärts geht, hast du einen Moment, wo sich deine Höhe scheinbar nicht mehr ändert. Wenn du dir jetzt die Höhe als eine Funktion vorstellst, dann sind Extrempunkte (manchmal auch Extremstellen) nichts anderes als Orte, wo sich die Funktionswerte kaum ändern, wenn du dich ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst. 

Wie kannst du nun für eine gegebene Funktion die Extrempunkte berechnen? Da Extrempunkte irgendwas mit „Änderung der Funktion“ zu tun haben, wirst du die erste Ableitung benötigen. Die Bezeichnung „Extrem“ kann hoch oder tief bedeuten. Um das zu unterscheiden, benötigst du entweder weitere Informationen über die erste Ableitung oder die zweite Ableitung.

Extrempunkte, Extremstellen
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Extrempunkte berechnen: Illustration mehrerer Extrempunkte einer Funktion.

Extrempunkte berechnen Schritt-für-Schritt Anleitung

Es gibt also zwei Methoden, mit denen du die Extrempunkte berechnen kannst. Eine Methode benötigt nur die erste Ableitung, während die andere Methode sowohl die erste Ableitung als auch die zweite Ableitung verwendet. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der zweiten Methode, um Extremstellen berechnen zu können. 

Damit du mit der zweiten Methode Extrempunkte berechnen kannst, folgst du den folgenden Schritten:

  • Schritt 1: Erste Ableitung f'(x) berechnen;
  • Schritt 2: Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen;
  • Schritt 3: Zweite Ableitung f''(x) berechnen;
  • Schritt 4: Nullstellen aus Schritt 2 in die zweite Ableitung einsetzen;
  • Schritt 5: Anhand der Zahl aus Schritt 4 unterscheidest du folgende Fälle (die Nullstellen werden mit x_0 abgekürzt):
    1. f''(x_0) = 0 \Longleftrightarrow x_0 ist nicht x-Koordinate eines Extrempunkts
    2. f''(x_0) \neq 0 \Longleftrightarrow x_0 ist x-Koordinate eines Extrempunkts
  • Schritt 6: Hat sich im fünften Schritt ergeben, dass x_0 die x-Koordinate für ein Extrempunkt ist, so setzt du x_0 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein, um die y-Koordinate des Extrempunkts zu bestimmen, also y_0 = f(x_0).

Hinweis: Ist f''(x_0)<0, dann handelt es sich um einen Hochpunkt (Maximum) und wenn f''(x_0)>0 um einen Tiefpunkt (Minimum). Wir haben zu Hochpunkt und Tiefpunkt%verlinken, sobald veröffentlicht einen eigenen Beitrag, wo du weitere Details dazu erfährst. Den Vorgang „Extrempunkte berechnen“ findest du auch unter der Bezeichnung „Extremstellen berechnen“, „Extremwerte berechnen“ oder „Extrema berechnen“.  Auch wenn die Bezeichnungen alle unterschiedlich klingen, ist die Vorgehensweise, mit der du Extrempunkte berechnen kannst, für alle identisch.

Beispiel

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du mit der Anleitung Extrempunkte berechnen kannst. Dazu betrachten wir folgende Funktion

f(x) = \frac{1}{5}(x-3)^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x -2.

Schritt 1: Zunächst berechnen wir die erste Ableitung. Mit Hilfe der Faktor- und Potenzregel erhalten wir

f'(x) = \frac{3}{5}(x-3)^2 - x + 2.

Schritt 2: Nun benötigen wir die Nullstellen dieser Ableitung. Wir müssen also die Gleichung

f'(x) = \frac{3}{5}(x-3)^2 - x + 2 = 0

lösen. Um die Rechnung zu vereinfachen, multiplizieren wir die Gleichung mit fünf und erhalten

3(x-3)^2 - 5x + 10 = 0.

Unter Verwendung der zweiten Binomischen Formel bekommst du

3(x^2 - 6x  + 9) - 5x + 10 = 3x^2 - 18x + 27 - 5x +10 = 3x^2 - 23x + 37 = 0.

Hier können wir die Mitternachtsformel verwenden. Damit ergeben sich die Nullstellen x_1 und x_2 zu

x_1 = 2,30 und x_2 = 5,37.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung von f

f''(x) = \frac{6}{5}(x-3) - 1.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen x_1 und x_2 und setzen diese in f''(x) ein. Wir erhalten

f''(x_1) =  \frac{6}{5}(x_1-3) - 1 = \frac{6}{5}(2,30-3) - 1 = -1,84 \neq 0 und

f''(x_2) =  \frac{6}{5}(x_2-3) - 1 = \frac{6}{5}(5,37-3) - 1 = 1,84 \neq 0.

Damit sind beide Zahlen f''(x_1) und f''(x_2) ungleich Null. Somit sind beide Nullstellen x_1 und x_2 die x-Koordinaten zweier Extrempunkte.

Schritt 6: Im letzten Schritt berechnen wir die y-Koordinate der zwei Extrempunkte. Dazu nehmen wir x_1 und x_2 und setzen diese in f(x) ein. Wir erhalten

f(x_1) = \frac{1}{5}(x_1-3)^3 - \frac{1}{2}x_1^2 + 2x_1 -2

= \frac{1}{5}(2,30-3)^3 - \frac{1}{2}(2,30)^2 + 2 \cdot (2,30) -2 = -0,11 und

f(x_2) = \frac{1}{5}(x_2-3)^3 - \frac{1}{2}x_2^2 + 2x_2 -2

= \frac{1}{5}(5,37-3)^3 - \frac{1}{2}(5,37)^2 + 2 \cdot (5,37) -2 = -3,02.

Die Extrempunkte E_1 und E_2 für die Funktion f(x) = \frac{1}{5}(x-3)^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2x -2 lauten somit

E_1(2,30 \mid -0,11) und E_2(5,37 \mid -3,02).

Extrempunkt berechnen Beispiel, Extremstellen berechnen Beispiel
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Extrempunkte berechnen: Funktionsgraph und Extrempunkte für das Beispiel.

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik hinter Extrempunkten eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe:

%Mehr zu den Themen erfährst du in den einzelnen Artikeln!

Lokale vs. Globale Extrempunkte

Nun weißt du zwar, wie du Extrempunkte berechnen kannst. Aber vielleicht fragst du dich, wieso die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird. Zusätzlich haben wir beim Beispiel mit der Achterbahnfahrt gesehen, dass Extrempunkte auch Punkte sein können, die niedriger oder höher als andere Punkte liegen, die wir nicht Extrempunkte nennen. Was hat es also mit der Bezeichnung „Extrem“ auf sich? In diesem Abschnitt beantworten wir dir diese zwei Fragen.

Wieso Ableitung Null setzen?

Ein Extrempunkt, also ein Hochpunkt oder Tiefpunkt, ist dadurch charakterisiert, dass sich die Funktionswerte an einer Extremstelle nicht merklich ändern, wenn du dich nur ein wenig nach links oder nach rechts entlang des Funktionsgraphen bewegst.

Merke

Ist die Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich Null, so ändern sich die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung um diesen Punkt nicht.

Geometrisch bedeutet eine Ableitung von Null, dass die Steigung des Funktionsgraphen an dieser Stelle gleich Null ist. Du kannst also an Extrempunkte eine waagerechte Tangente einzeichnen.

Was bedeutet „Extrem“?

Ein Extrempunkt muss nicht zwangsläufig derjenige Punkt sein, der am höchsten oder am niedrigsten liegt. Ein Extrempunkt ist in dem Sinne „extrem“, dass er im Vergleich zu einer kleinen Umgebung um die Extremstelle höher oder niedriger als alle anderen Punkte in dieser Umgebung liegt. Ist ein solcher Extrempunkt gleichzeitig der höchste oder niedrigste Punkt, dann findest du dafür auch die Bezeichnung globaler Extrempunkt. Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Extrempunkt. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Extrempunkt nur in einer bestimmten Umgebung „extrem“ ist.

Im folgenden Bild siehst du die Extrempunkte E_1 bis E_4 einer Funktion mit eingezeichneten waagerechten Tangenten (grün gestrichelt). Die Extrempunkte E_1 (blau) und E_4 (orange) sind globale Extrempunkte, während E_2 und E_3 (schwarz) lokale Extrempunkte sind. Zusätzlich wurde in eine Umgebung um den Extrempunkt E_3 gezoomt, um die Bezeichnung „extrem“ zu illustrieren. 

Lokal, global, Extrempunkte, Extremstellen
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Extrempunkte berechnen: Illustration der waagerechten Tangente und Unterschied zwischen global/lokal.

Extrempunkte ohne zweite Ableitung

In diesem Abschnitt erklären wir dir, wie du ohne die zweite Ableitung Extrempunkte berechnen kannst. Hierzu brauchst du wie bei der anderen Methode die Nullstellen der ersten Ableitung. Nachdem du die Nullstellen berechnet hast, setzt du Werte für x in die erste Ableitung f'(x) ein, die etwas kleiner und etwas größer als die Nullstelle sind. Dadurch erhältst du einen Einblick in das Steigungsverhalten der Funktion in der Nähe einer möglichen Extremstelle. Dabei unterscheidest du folgende Fälle

  1. Ist die Steigung auf beiden Seiten der Nullstelle positiv oder negativ, so hast du keine Extremstelle vorliegen.
  2. Unterscheiden sich hingegen die Steigungen auf beiden Seiten in ihrem Vorzeichen, so handelt es sich bei der Nullstelle um die x-Koordinate einer Extremstelle.

Je nachdem wie das Vorzeichen wechselt (von positiv zu negativ oder von negativ zu positiv), hast du entweder einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt. Mehr dazu kannst du in unserem Artikel zu Hochpunkt und Tiefpunkt erfahren. Das folgende Bild soll die Idee hinter dieser Methode illustrieren. Dabei bedeuten das „+“ beziehungsweise „-„, dass die Steigung in diesem Bereich positiv beziehungsweise negativ ist.

Extrempunkt berechnen ohne zweite Ableitung
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Extrempunkte berechnen: Illustration der Methode ohne zweite Ableitung.

Extrempunkte berechnen Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben.

Aufgabe 1: Extremstellen berechnen für quadratische Funktion

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

f(x) = 4x^2 + \frac{3}{2}x - 7.

Bestimme die Extrempunkte dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 1

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

f'(x) = 8x + \frac{3}{2}.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

f'(x) = 8x + \frac{3}{2} = 0.

Wir erhalten damit die Nullstelle

x_1 = -\frac{3}{16}.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

f''(x) = 8.

Schritt 4 und 5: Da die zweite Ableitung für alle x immer den Wert 8 besitzt, gilt f''(x_1) = 8 \neq 0. Damit ist x_1 die x-Koordinate einer Extremstelle.

Schritt 6: Wir setzen x_1 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und erhalten die y-Koordinate

f(x_1) = -7,14.

Damit ergibt sich der Extrempunkt E  \left (-\frac{3}{16} \mid -7,14 \right ).

Aufgabe 2: Extremstellen berechnen für Polynom dritten Grades

Gegeben ist die folgende Polynomfunktion

f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{16}{4}x^2 + 7x - 11.

Bestimme die Extrempunkte dieser Polynomfunktion.

Lösung: Aufgabe 2

Schritt 1: Wir bestimmen die erste Ableitung

f'(x) = x^2 + 8x + 7.

Schritt 2: Von der Ableitung werden die Nullstellen bestimmt, das heißt wir lösen die Gleichung

f'(x) = x^2 + 8x + 7.

Hierzu verwenden wir die pq-Formel und erhalten die Nullstellen

x_1 = -1 und x_2 = -7.

Schritt 3: Wir berechnen die zweite Ableitung

f''(x) = 2x + 8.

Schritt 4 und 5: Wir nehmen die Nullstellen x_1 und x_2 und setzen sie in die zweite Ableitung f''(x) ein. Wir bekommen dann

f''(x_1) = 6 \neq 0 und f''(x_2) = -6 \neq 0.

Damit sind sowohl x_1 als auch x_2 die x-Koordinate zweiter Extrempunkte.

Schritt 6: Wir setzen x_1 und x_2 in die ursprüngliche Funktion f(x) ein und erhalten die y-Koordinaten

y_1 = f(x_1) = -14,33 und y_2 = f(x_2) = 21,67.

Damit ergeben sich die Extrempunkte E_1(-1 \mid -14,33) und E_2(-7 \mid 21,67).


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