Wendepunkt berechnen
Du hast eine Funktion gegeben und möchtest den Wendepunkt berechnen? Hier erklären wir dir Schritt für Schritt wie du die Wendestelle einer Funktion ermittelst.
Du möchtest das Thema Wendepunkt berechnen in kürzester Zeit verstehen und anwenden können? Dann schau dir unser Video dazu an.
Wendepunkt berechnen einfach erklärt
Stell dir einen Funktionsgraphen als eine Straße vor, die du mit dem Auto befährst. Befindest du dich auf einer Linkskurve, so drehst du dein Lenkrad nach links. Folgt anschließend eine Kurve nach rechts, drehst du das Lenkrad nach rechts. Dabei wird der Moment, in dem dein Lenkrad wieder in der neutralen Position ist, als Wendepunkt bezeichnet.
Das heißt, der Wendepunkt ist der Moment, in dem der Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt.
Schritt-für-Schritt Anleitung: Wendepunkt berechnen
Nun zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du den Wendepunkt einer Funktion f berechnen kannst:
1. Du bestimmst die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.
2. Jetzt setzt du f“(x) = 0 und ermittelst die passenden x-Werte.
3. Du setzt die ermittelten x-Werte in die dritte Ableitung ein. Ist f“'(x) ≠ 0, so handelt es sich um eine Wendestelle.
4. Um nun die genauen Koordinaten der Wendepunkte zu errechnen, setzt du die x-Werte in deine Funktion f ein.
Beispiel
Mit der Schritt-für-Schritt Anleitung zeigen wir dir nun an einem konkreten Beispiel, wie du einen Wendepunkt berechnen kannst. Dafür betrachten wir das folgende Polynom
Schritt 1: Als erstes berechnen wir die Ableitungen der Funktion.
Schritt 2: Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich null und ermitteln die x-Werte:
Damit haben wir schon mal eine mögliche Stelle, an der sich eine Wendestelle befinden kann.
Schritt 3: Damit wir aber sagen können, ob es sich bei dem ermittelten Wert um eine Wendestelle handelt, setzen wir den Punkt in die dritte Ableitung ein
Die dritte Ableitung ist also ungleich null und damit haben wir bei eine Wendestelle.
Schritt 4: Wir wissen nun, dass bei eine Wendestelle existiert und setzen jetzt den x-Wert 
in die Funktion f ein, um so die genaue y-Koordinate des Wendepunktes zu ermitteln
Insgesamt haben wir damit den Wendepunkt an der Stelle 
bestimmt.
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik des Wendepunktes eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:
Wendepunkt berechnen: Weiterführende Erklärung
Jetzt weißt du, wie du die Wendepunkte einer Funktion berechnest, aber warum genau machst du diese Schritte?
Die zweite Ableitung 
beschreibt das Krümmungsverhalten der Funktion f(x). Ist 
, so ist f an der Stelle rechtsgekrümmt, ist 
, so liegt eine Linkskrümmung vor. Das heißt bei einem Wendepunkt findet ein Vorzeichenwechsel bei der zweiten Ableitung statt, weshalb du für das Finden von Wendestellen die zweite Ableitung gleich 0 setzt.
Ist die dritte Ableitung 
, so ist der Fall, dass bei an der kritischen Stelle ein Extremum ist, ausgeschlossen. Wäre dort nämlich ein Extremum, so fände bei der zweiten Ableitung kein Vorzeichenwechsel, also keine Änderung des Krümmungsverhaltens von f statt.
Aus diesem Grund überprüfst du in einer extra Rechnung, ob die dritte Ableitung an den ermittelten x-Werten ungleich 0 ist.
Wendepunkt berechnen Aufgaben
Damit du dir das Thema „Wendepunkt berechnen“ noch besser verinnerlichen kannst, bieten wir dir zwei Aufgaben an, die wir zusammen lösen.
Aufgabe 1: Wendepunkt einer Polynomfunktion
Gegeben ist folgende Funktion
a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.
b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.
c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?
Lösung: Aufgabe 1
a) Zum Berechnen der Ableitungen verwenden wir die Potenz- und Faktorregel und erhalten somit:
b) Um mögliche Wendestellen zu finden, setzen wir 
und erhalten damit zwei mögliche Wendestellen bei
Das sind die potenziellen x-Werte der Wendepunkte.
c) Um zu überprüfen, ob sich bei 
und 
tatsächlich eine Wendestelle befindet, setzen wir die Werte in die dritte Ableitung ein und erhalten somit
Die Bedingung für eine Wendestelle ist somit erfüllt. Damit können wir an den Stellen 
und 
ein Wendepunkt berechnen. Setzen wir nun die Werte 
und 
in die Funktion f ein,
dann erhalten wir die Wendepunkte 
und 
.
Aufgabe 2: Wendepunkt einer gebrochen rationalen Funktion
Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion
a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.
b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.
c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?
Lösung: Aufgabe 2
a) Wir verwenden die Quotientenregel um die Ableitungen zu berechnen und erhalten
b) Wir setzen 
und lösen diese Gleichung. Wir erhalten mit
die möglichen Positionen der Wendepunkte.
c) Nun setzen wir und in die dritte Ableitung ein.
Damit ist gezeigt, dass und Wendestellen von 
sind. Um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen, werten wir die Funktion f an den Stellen und aus
und bekommen somit die Wendepunkte 
und 
.
Wendepunkt kurz & knapp
Das solltest du zum Wendepunkt wissen:
- An einem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten einer Funktion.
- Für einen Wendepunkt müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: f“(x) = 0 und f“'(x) ≠ 0.
- Du berechnest einen Wendepunkt in 4 Schritten:
- f“(x) und f“'(x) bestimmen.
- Nullstelle von f“(x) berechnen.
- Diesen x-Wert in f“'(x) einsetzen.
- x-Wert in f(x) einsetzen, um die y-Koordinate zu bestimmen.
Wendepunkt und Sattelpunkt
Der Wendepunkt ist die Stelle, an der ein Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt und umgekehrt. Das gleiche gilt auch für den Sattelpunkt (Terassenpunkt). Der einzige Unterschied zwischen den beiden Punkten, ist die Steigung. Bei einem Wendepunkt kann jede beliebige Steigung vorliegen. Beim Sattelpunkt muss die Steigung dagegen gleich 0 sein.
Für deine nächste Mathe Prüfung musst du unbedingt den Unterschied zwischen den beiden Punkten kennen! Schau dir gleich unser Video zum Sattelpunkt an!
