Analysis
Krümmungsverhalten
 – Video

Wie du bei einer Funktion den Wendepunkt berechnen kannst, zeigen wir dir hier und im Video . Außerdem findest du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung und Aufgaben, um Wendepunkte zu bestimmen!

Wendepunkt berechnen einfach erklärt %umgeschrieben

Ein Wendepunkt ist der Punkt einer Funktion, an dem sich die Krümmung der Kurve  ändert. 

Stell dir vor, du fährst mit einem Fahrrad auf dem Funktionsgraphen entlang. Der Graph macht zuerst eine Linkskurve. Um auf der Bahn zu bleiben, drehst du deinen Lenker also stets nach links. Irgendwann musst du deinen Lenker nach rechts drehen, da aus der Linkskurve eine Rechtskurve wird. Genau an diesem Punkt liegt der Wendepunkt W

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Wendepunkt berechnen

Der Wendepunkt ist also die Stelle, an dem der Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt.

Schritt-für-Schritt Anleitung: Wendepunkt berechnen %umgeschrieben

Nun zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du bei einer Funktion f den Wendepunkt ausrechnen kannst:

1. Bestimme die zweite und dritte Ableitung  der Funktion f.

2. Setze die zweite Ableitung gleich 0: f“(x) = 0

3. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein.

4. Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die ursprüngliche Funktion f(x) ein. 

Extra: Du kannst zusätzlich die Art des Wendepunkts bestimmen! Schaue dir dafür an, ob die dritte Ableitung an der Wendestelle positiv oder negativ ist. Es gilt:

  • f“'(x) > 0: Die Kurve geht von rechts nach links. (Rechts-links-Wendepunkt)
  • f“'(x) < 0: Die Kurve geht von links nach rechts. (Links-rechts-Wendepunkt)

Wendepunkt berechnen — Beispiel%latex entfernt

Mit der Schritt-für-Schritt Anleitung zeigen wir dir nun an einem konkreten Beispiel, wie du einen Wendepunkt berechnen kannst. Dafür betrachten wir das folgende Polynom

f(x) = x3 -3x2

Schritt 1: Als Erstes berechnen wir die ersten drei Ableitungen der Funktion mit den Ableitungsregeln .

f'(x) = 3x2 – 6x

f“(x) = 6x – 6

f“'(x) = 6

Schritt 2: Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich null und ermitteln die x-Werte:

6x – 6 = 0

x = 1

Damit hast du schon mal eine mögliche Wendestelle gefunden.

Schritt 3: Um zu überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, setzt du den Punkt in die dritte Ableitung ein

f“'(1) = 6 ≠ 0

Die dritte Ableitung ist ungleich null und damit hast du bei x = 1 eine Wendestelle berechnet.

Schritt 4: Du weißt nun, dass bei x = 1 eine Wendestelle existiert. Setze jetzt den x-Wert in die Funktion f ein, um so die y-Koordinate des Wendepunktes zu ermitteln

f(1) = 13 – 3 · 12 = -2

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Wendepunkt bestimmen Beispiel

Insgesamt haben wir damit den Wendepunkt an der Stelle W (1|-2) bestimmt.

Expertenwissen: f“'(x) = 0

Ist die dritte Ableitung gleich 0, kann es sein, dass überhaupt kein Wendepunkt vorliegt. Um das zu testen, benutzt du die zweite Ableitung. Mit ihr kannst du die Krümmung deines Graphen an verschiedenen Stellen herausfinden.

Beispiel: Du hast einen möglichen Wendepunkt bei x = 0 gefunden, doch die dritte Ableitung ist gleich 0. Um zu testen, ob es sich wirklich um einen Wendepunkt handelt, wählst du zwei Stellen aus, die auf dem Graphen links und rechts von x = 0 liegen. Zum Beispiel x = -1 und x = 1. Die setzt du dann in f“(x) ein:

  • Ist die zweite Ableitung größer 0, ist die Kurve linksgekrümmt.
  • Ist die zweite Ableitung kleiner 0, ist die Kurve rechtsgekrümmt.
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Wendepunkt testen: f“'(x)=0

Wenn also ein Vorzeichenwechsel an der Stelle x = 0 vorliegt, handelt es sich um einen Wendepunkt! Gibt es keinen Vorzeichenwechsel, herrscht links und rechts von x = 0 dieselbe Krümmung. Es handelt sich also nicht um einen Wendepunkt!

Bedingungen zum Wendepunkt berechnen%neu

Um den Wendepunkt einer Funktion f ausrechnen zu können, brauchst du die zweite Ableitung f“(x). Denn sie beschreibt die Krümmung der Kurve.

Der Wendepunkt liegt genau dort, wo die Krümmung der Kurve gleich 0 ist. An der Wendestelle ist der Funktionsgraph also weder links- noch rechts gekrümmt. Die erste Bedingung (notwendige Bedingung) für einen Wendepunkt lautet also

f“ (x) = 0

Aber Achtung! Du musst noch überprüfen, ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt. Dazu brauchst du die zweite Bedingung (hinreichende Bedingung)

f“'(x) ≠ 0

Ist die dritte Ableitung ungleich null, hast du einen Wendepunkt berechnet! Wenn die dritte Ableitung gleich 0 ist, kann es sich um einen Sattelpunkt  handeln: Das ist auch ein Wendepunkt, jedoch ist beim Sattelpunkt zusätzlich die Steigung, also die erste Ableitung, gleich 0!

Wendepunkt berechnen Aufgaben%nicht geändert

Damit du in der Kurvendiskussion Wendepunkte ohne Probleme bestimmen kannst, findest du hier noch ein paar Aufgaben zum Wendepunkte berechnen.

Aufgabe 1: Wendepunkt einer Polynomfunktion

Gegeben ist folgende Funktion

f(x) = - \frac{1}{3}x^4 +x^3 +2

a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.

b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.

c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?

Lösung: Aufgabe 1

a) Zum Berechnen der Ableitungen verwenden wir die Potenz- und Faktorregel und erhalten somit:

f^\prime(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 3x^2

f^{\prime \prime}(x) = -4x^2+6x

f^{\prime \prime \prime}(x) = -8x+6.

b) Um mögliche Wendestellen ausrechnen zu können, setzen wir  f^{\prime \prime}(x) = -4x^2 + 6x = 0 und erhalten damit zwei mögliche Wendestellen bei

x_{1} = 0

x_{2} = 1,5.

Das sind die potenziellen x-Werte der Wendepunkte.

c) Um zu überprüfen, ob sich bei x_{1} und x_{2} tatsächlich eine Wendestelle befindet, setzen wir die Werte in die dritte Ableitung ein und erhalten somit 

f^{\prime \prime \prime}(x_{1}) = 6 \neq 0

f^{\prime \prime \prime}(x_{2}) = -6 \neq 0.

Die Bedingung für eine Wendestelle ist somit erfüllt. Damit können wir an den Stellen x_{1} =0 und x_{2} = 1,5 ein Wendepunkt berechnen. Setzen wir nun die Werte x_1 und x_2 in die Funktion f ein,

f(0)=2

f(1,5)=3,6875,

dann erhalten wir die Wendepunkte W_{1} (0 \vert 2) und W_{2} (1,5 \vert 3,6875).

Aufgabe 2: Wendepunkt einer gebrochen rationalen Funktion

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

f(x) = \frac{x^2}{x^2+4}

a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.

b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.

c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?

Lösung: Aufgabe 2

a) Wir verwenden die Quotientenregel um die Ableitungen zu berechnen und erhalten

f^\prime(x) = \frac{8x}{(x^2+4)^2}

f^{\prime \prime}(x) = \frac{8(-3x^2+4)}{(x^2+4)^3}

f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{96x(x^2-4)}{(x^2+4)^4}

b) Wir setzen f^{\prime \prime}(x) = \frac{8(-3x^2+4)}{(x^2+4)^3} = 0 und lösen diese Gleichung. Wir erhalten mit 

x_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}}

x_{2} = -\frac{2}{\sqrt{3}}

die möglichen Positionen der Wendepunkte.

c) Nun setzen wir x_{1} und x_{2} in die dritte Ableitung ein.

f^{\prime \prime \prime}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = -0,37 \neq 0

f^{\prime \prime \prime}(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = 0,37 \neq 0

Damit ist gezeigt, dass x_1 und x_2 Wendestellen von f sind. Um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen, werten wir die Funktion f an den Stellen x_{1} und x_{2} aus

f(\frac{2}{\sqrt{3}})=0,25

f(-\frac{2}{\sqrt{3}})=0,25

und bekommen somit die Wendepunkte W_{1} = ( \frac{2}{\sqrt{3}} \vert 0,25) und W_{2} = ( -\frac{2}{\sqrt{3}} \vert 0,25).

Zusammenfassung — Wendepunkt%neu

Der Wendepunkt ist ein Punkt einer Funktion, an dem sich das Krümmungsverhalten des Funktionsgraphen ändert (Bogenwechsel). Der Graph verändert sich von einer Rechtskurve (rechtsgekrümmt) in eine Linkskurve (linksgekrümmt) oder andersrum. Am Wendepunkt selbst ist die Krümmung 0. %37 Worte, genau wie aktuelles FS. Den letzten Satz könnte man rausnehmen, der ist aktuell nicht im FS. Aber er passt gut und bietet finde ich einen Mehrwert zu aktuellen FS

Wendepunkt berechnen — Das Wichtigste
  • Beim Wendepunkt berechnen müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: f“(x) = 0 und f“'(x) ≠ 0.
  • Ist die dritte Ableitung f“'(x) > 0, handelt es sich um einen Rechts-links-Wendepunkt.
  • Ist die dritte Ableitung f“'(x) < 0, handelt es sich um einen Links-rechts-Wendepunkt.
  • Ist die dritte Ableitung f“'(x) = 0, kann es sich um einen Sattelpunkt handeln. An dem Punkt ist die Steigung der Kurve gleich 0!
  • Den Wendepunkt einer Funktion f berechnest du in 5 Schritten:
    1. Bestimme f“ und f“‘.
    2. Berechne die Nullstelle von f“.
    3. Setze den x-Wert in f“'(x) ein, um die Wendestelle zu überprüfen.
    4. Setze den x-Wert in f(x) ein, um die y-Koordinate zu bestimmen.%FS</span><span style="color: #0000ff;"><span style="color: #ff00ff;"> 

Der Wendepunkt in Mathe%in Mathe (nicht schön aber mir fällt nichts besseres für das KW ein) ist die Stelle, an der ein Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt. Das Gleiche gilt auch für den Sattelpunkt (Terassenpunkt). Der einzige Unterschied zwischen den beiden Punkten ist die Steigung. Bei einem Wendepunkt kann jede beliebige Steigung vorliegen. Beim Sattelpunkt muss die Steigung dagegen gleich 0 sein.

Schau dir gleich unser Video zum Sattelpunkt an, um den Unterschied zu verstehen!

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Zum Video: Sattelpunkt berechnen

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