Analysis

Ableitungsregeln

In diesem Beitrag zeigen wir dir anhand vieler Beispiele, welche Ableitungsregeln es gibt und wie du die Ableitungsregeln richtig anwendest.

Du möchtest die Ableitungsregeln in kurzer Zeit erlernen? Dann schaue dir unser Video dazu an.

Möchtest du jedoch verstehen, was eine Ableitung eigentlich ist oder wie du bestimmte Funktionen ableitest ? Dann klicke einfach auf den Link!

Inhaltsübersicht

Ableitungsregeln einfach erklärt

Die Ableitungsregeln sind eine Art „Bauanleitung“, wie du zusammengesetzte Funktionen ableiten kannst. Bildlich kannst du dir einen LEGO-Baukasten vorstellen, indem du viele einfache Funktionen hast, die du schon einmal abgeleitet hast. Mit den Ableitungsregeln kannst du dann auch komplizierte Funktionen ableiten, die aus kleineren LEGO-Bausteinen bestehen.

Ableitungen von einfachen Funktionen wie \sin(x) oder \cos(x) kennst du vielleicht bereits. Diese Funktionen sind keine komplizierten Ausdrücke. Insbesondere steht im Argument der Funktion immer nur x alleine, ohne Faktoren oder Potenzen. Wie sieht aber die Situation aus, wenn ein Ausdruck wie e^{2x} abzuleiten ist? Du kannst dir diesen Ausdruck aus den beiden Bausteinen f(x) = e^x und g(x) = 2x zusammengebaut vorstellen. Für diese beiden Bausteine kennen wir die Ableitungen, benötigen jedoch die Ableitungsregeln.

Ableitungsregeln Übersicht

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)

Faktorregel und Potenzregel

Die ersten Ableitungsregeln, die wir uns anschauen, sind die Faktorregel und die Potenzregel. 

Faktorregel und Potenzregel

Kennst du die Ableitung einer Funktion f(x), dann gilt nach der Faktorregel für die Ableitung der Funktion g(x) = a \cdot f(x)

g'(x) = a \cdot f'(x)

Für Potenzfunktionen

f(x) = x^n

gilt nach der Potenzregel

f'(x) = n \cdot x^{n-1}.

In Worten gefasst, bedeutet die Faktorregel, dass du dir bei einem Produkt aus Zahl und Funktion die Zahl wegdenken kannst, wenn du die Ableitung ausrechnen möchtest. Danach schreibst du die Zahl wieder hin. Die Potenzregel hingegen sagt dir folgendes: “ Schreibe den Exponenten vor das x und reduziere dann den Exponenten um eins“.

Beispiel

Schauen wir uns ein kurzes Beispiel für jede dieser beiden Ableitungsregeln an. Möchten wir die Funktion

f(x) = 5 \cdot \ln(x) 

ableiten, dann können wir die Faktorregel verwenden. Wir erhalten 

f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x}.

Interessieren wir uns dagegen dafür, die Funktion

g(x) = x^5

abzuleiten, dann bekommen wir nach der Potenzregel

g'(x) = 5 \cdot x^{5-1} = 5 \cdot x^4.

Möchtest du noch mehr Beispiele zur Potenzregel und Faktorregel sehen, dann schau dir unseren extra Beitrag dazu an.

Summenregel und Differenzenregel

Die nächsten beiden Ableitungsregeln sind die Summenregel und die Differenzenregel .

Summenregel

Kennst du die Ableitungen der Funktionen f(x) und g(x), dann gilt nach der Summenregel für die Summe h(x) = f(x) + g(x)

h'(x) = f'(x) + g'(x).

Die Summenregel sagt dir, wie du die Summe zweier Funktionen ableitest. Dabei berechnest du die Ableitungen der einzelnen Funktionen separat und addierst sie anschließend.

Wie funktioniert das aber für Differenzen? Betrachte hierzu folgende allgemeine Funktion

h(x) = f(x) - g(x).

Hierbei kannst du analog zur Summenregel vorgehen und statt dem Plus ein Minus schreiben

h'(x) = f'(x) - g'(x).

Beispiel

Nehmen wir an, dass wir die Funktion

h(x) =\underbrace{x^3}_{f(x)} + \underbrace{2x^2}_{g(x)}

ableiten möchten. Dann berechnest du die Ableitung von f(x) und von g(x) separat. Du erhältst

f'(x)=3x^2        und

g'(x)=4x.

Nach der Summenregel musst du diese Ergebnisse nur noch addieren, um die Ableitung von h zu erhalten

h'(x) = 3x^2+4x.

Produktregel

Betrachten wir nun die Produktregel . Sie hilft uns Funktionen abzuleiten, die als Produkt von mehreren Funktionen zusammengebaut sind.

Produktregel

Kennst du die Ableitungen der Funktionen f(x) und g(x), dann gilt für das Produkt h(x) = f(x) \cdot g(x)

h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).

Beachte, dass die Produktregel nicht lautet

h'(x) = f'(x) \cdot g'(x).

Du kannst also nicht wie bei der Summenregel bloß die einzelnen Ableitungen ausrechnen und diese dann miteinander multiplizieren. Du musst zwar weiterhin die einzelnen Ableitungen berechnen, die Produktregel instruiert dich aber dazu, diese auf eine ganz bestimmte Art und Weise zu verknüpfen. Die Ableitung eines Produkts ist eine Summe, deren Summanden wieder Produkte sind. In Worten kannst du dir diese Ableitungsregel folgendermaßen merken

„erste Funktion abgeleitet MAL zweite Funktion nicht abgeleitet PLUS erste Funktion nicht abgeleitet MAL zweite Funktion abgeleitet“.

Beispiel

Ein Beispiel hierfür wäre die Funktion 

h(x)=\underbrace{(3x^3+5x)}_{f(x)} \cdot \underbrace{(5x^4-2)}_{g(x)}.

Zunächst bestimmst du die Ableitungen  der zwei Funktionen f und g

f(x)= 3x^3+5x \quad \rightarrow \quad f'(x)=9x^2 +5

g(x)= 5x^4-2 \quad \rightarrow \quad g'(x)=20x^3.

Anschließend setzt du sie in die Formel der Produktregel ein und erhältst damit   

h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)

                                          =(9x^2 +5) \cdot ( 5x^4-2) + (3x^3+5x)  \cdot 20x^3.

Quotientenregel

Als nächsten Baustein schauen wir uns die Quotientenregel an. Wie der Name bereits andeutet, ist die Quotientenregel eine Bauanleitung dafür, wie du Funktionen ableitest, die als Quotient anderer Funktionen zusammengebaut sind.

Quotientenregel

Kennst du die Ableitungen der Funktionen f(x) und g(x), dann gilt für den Quotienten h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}.

Bei einem Quotienten kannst du also die Ableitung nicht bloß durch Division der einzelnen Ableitungen berechnen. Vielleicht fällt dir die Ähnlichkeit des Zählers mit der Produktregel auf. Der Unterschied besteht nur im Minuszeichen. Beachte weiterhin, dass du die Quotientenregel nur für x-Werte verwenden kannst, bei welchen die Funktion g(x) nicht gleich Null wird. Ansonsten würdest du beim Ableiten durch Null dividieren, was mathematisch nicht erlaubt ist!

Beispiel

Sieh dir zum Beispiel die Funktion 

h(x)=\frac{7x^8+3x^{-1}}{4x^2}

an. Um die Quotientenregel anwenden zu können, leitest du zunächst Zähler und Nenner einzeln ab: 

f(x)=7x^8+3x^{-1} \quad \rightarrow \quad f'(x)=56 x^7-3x^{-2}

g(x)=4x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x)=8x.

Jetzt setzt du diese in die obige Formel ein: 

h'(x)= \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}

=\frac{(56 x^7-3x^{-2})\cdot 4x^2-(7x^8+3x^{-1}) \cdot 8x}{(4x^2)^2}.

Das Ergebnis ist die Ableitung h'(x).

Kettenregel

Bisher haben wir uns nur Ableitungsregeln angesehen, die uns sagen, wie wir Funktionen ableiten, die wir aus anderen Funktionen unter Verwendung der vier Grundrechenarten zusammengebaut haben. Nun können Funktionen auch durch den Prozess der „Verkettung“ zu einer neuen Funktion kombiniert werden. Hierfür benötigst du die

Kettenregel

Kennst du die Ableitungen der Funktionen f(x) und g(x), dann gilt für die Verkettung h(x) = f(g(x))

h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).

Die Funktion g findest du auch unter der Bezeichnung innere Funktion. Dagegen heißt f äußere Funktion. Bei der Kettenregel musst du also die Ableitung der äußeren Funktion (auch äußere Ableitung genannt) mit der Ableitung der inneren Funktion (auch innere Ableitung genannt) multiplizieren.

Merke

„Äußere Ableitung mal innere Ableitung.“

Beispiel 

Ein Beispiel für eine verkettete Funktion wäre 

h(x)=(7x^2+3)^3.

In diesem Fall lautet die

  • innere Funktion f(x) und ihre Ableitung f'(x)

f(x)= 7x^2+3 \quad \rightarrow \quad f'(x)=14x

  • äußere Funktion g(x) und ihre Ableitung g'(x):

g(x)=x^3 \quad \rightarrow \quad g'(x)=3x^2.

Für h'(x) setzt du nun die Ableitungen f'(x) und g'(x) zusammen mit g(x) in die Formel der Kettenregel ein: 

h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)

                   =3 \cdot (7x^2+3)^2\cdot 14x.

Noch mehr Beispiele findest du in unserem extra Beitrag

Ableitung wichtiger Funktionen

Bevor wir uns der Anwendung der Ableitungsregeln auf komplizierte Funktionen widmen, fassen wir kurz nochmal die Ableitungen wichtiger Funktionen zusammen. Diese Zusammenfassung ist in folgender Tabelle wiedergegeben.

  Funktion Ableitung
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}

Ableitungsregeln Anwenden

In diesem Abschnitt schauen wir uns eine komplizierte Funktion an, die wir ableiten möchten. Dieses Anwendungsbeispiel dient als Muster für die Aufgaben zu den Ableitungsregeln, die du am Ende des Artikels findest.

Beispiel: Ableitungsregeln anwenden

Wir möchten die Funktion

h(x) = \sin(2x^2 + 4x) \cdot (x + 5)^3

ableiten. Wir erkennen, dass die Funktion ein Produkt aus zwei Funktionen ist

f(x) = \sin(2x^2 + 4x) und

g(x) = (x + 5)^3.

Im ersten Schritt verwenden wir die Produktregel

h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).

Wir benötigen also die Komponenten f'(x) und g'(x). Schauen wir uns zunächst f'(x) an. Die Funktion f(x) ist eine Verkettung aus der inneren Funktion 2x^2 + 4x und der äußeren Funktion \sin(x).

Nach der Kettenregel gilt also

f'(x) = \cos(2x^2 + 4x) \cdot (4x + 4) = 4\cos(2x^2 + 4x) \cdot (x + 1).

Für die Funktion g(x) können wir die Potenzregel anwenden. Wir erhalten

g'(x) = 3 \cdot (x + 5)^{3 - 1} \cdot 1 = 3(x +5)^2.

Der Faktor 1 kommt durch das Ableiten der Funktion x + 5. Wir haben nun alle Komponenten beisammen und erhalten

h'(x) = 4\cos(2x^2 + 4x) \cdot (x + 1) \cdot (x + 5)^3 + \sin(2x^2 + 4x) \cdot 3(x +5)^2.

Das Endergebnis mag zwar erschreckend aussehen, aber beachte, dass wir hier nur systematisch die Ableitungsregeln verwendet haben. Du identifizierst als erstes, was für eine „Form“ von Funktion dir vorliegt (Summe, Produkt, Quotient, Verkettung) und dann unterteilst du diese Form in ihre einzelnen Bestandteile. Danach untersuchst du die einzelnen Bestandteile genauer und versuchst ihre „Form“ zu erkennen. Wenn du dann alle Bestandteile zusammen hast, baust du die gesuchte Ableitung gemäß den „Bauanleitungen“ (also den Ableitungsregeln) zusammen. 

Ableitungsregeln Aufgaben

In diesem Abschnitt zeigen wir dir zwei Aufgaben zu den Ableitungsregeln. Die erste Aufgabe beinhaltet ein Produkt von Funktionen, während die zweite einen Quotienten von Funktionen behandelt.

Ableitungsregeln Aufgabe 1: Produkt von Funktionen

Die folgende Funktion soll abgeleitet werden

h(x) = \ln(3x^4 + 2x^2 - 10) \cdot \cos(3x + 1).

(a) Welche „Form“ von Funktion hast du vorliegen und welche Ableitungsregel musst du verwenden? Notiere die Ableitungsregel.

(b) Identifiziere die einzelnen Bestandteile der festgelegten „Form“.

(c) Nutze die Ableitungsregeln, um die einzelnen Bestandteile abzuleiten.

(d) Baue die gesuchte Ableitung zusammen durch Anwendung der Ableitungsregeln.

Lösung Aufgabe 1

(a) Die Funktion ist als Produkt zweier Funktionen zusammengebaut. Daher muss die Produktregel verwendet werden. Diese lautet

h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x).

(b) Die Funktion h(x) ist das Produkt der Funktionen

f(x) = \ln(3x^4 + 2x^2 - 10) und

g(x) = \cos(3x + 1).

(c) Die Funktion f ist die Verkettung der Funktionen \ln(x) und 3x^4 + 2x^2 - 10.

Gemäß der Kettenregel erhalten wir

f'(x) = \frac{1}{3x^4 + 2x^2 - 10} \cdot (12x^3 + 4x).

Die Funktion g ist die Verkettung der Funktionen \cos(x) und 3x + 1.

Erneut erhalten wir nach der Kettenregel

g'(x) = -\sin(3x +1) \cdot 3.

(d) Wir haben nun alle Bestandteile zusammen. Unter Verwendung der Produktregel bekommen wir

h'(x) = (\frac{1}{3x^4 + 2x^2 - 10} \cdot (12x^3 + 4x)) \cdot (\cos(3x + 1)) + (\ln(3x^4 + 2x^2 - 10)) \cdot (-\sin(3x +1) \cdot 3).

Ableitungsregeln Aufgabe 2: Quotient von Funktionen

Die folgende Funktion soll abgeleitet werden

h(x) = \frac{\sin(x^2 +3)}{e^{x^7 - 4x^2} + 8x}

(a) Welche „Form“ von Funktion hast du vorliegen und welche Ableitungsregel musst du verwenden? Notiere die Ableitungsregel.

(b) Identifiziere die einzelnen Bestandteile der festgelegten „Form“.

(c) Nutze die Ableitungsregeln, um die einzelnen Bestandteile abzuleiten.

(d) Baue die gesuchte Ableitung zusammen durch Anwendung der Ableitungsregeln.

Lösung Aufgabe 2

(a) Die Funktion ist als Quotient zweier Funktionen zusammengebaut. Daher muss die Quotientenregel verwendet werden. Diese lautet

h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}.

(b) Die Funktion h(x) ist der Quotient aus den Funktionen

f(x) = \sin(x^2 +3) und

g(x) = e^{x^7 - 4x^2} + 8x.

(c) Die Funktion f ist die Verkettung aus den Funktionen

\sin(x) und

x^2 +3.

Nach der Kettenregel erhalten wir

f'(x) = \cos(x^2 +3) \cdot (2x).

Die Funktion g ist die Summe aus den Funktionen

e^{x^7 - 4x^2} und

8x.

Der letzte Summand kann unter Verwendung der Faktorregel abgeleitet werden. Wir erhalten insgesamt

g'(x) = e^{x^7 - 4x^2} \cdot (7x^6 - 8x) + 8.

(d) Wir haben nun alle Bestandteile zusammen. Unter Verwendung der Quotientenregel bekommen wir

h'(x) = \frac{(\cos(x^2 +3) \cdot (2x)) \cdot (e^{x^7 - 4x^2} + 8x) - (\sin(x^2 +3)) \cdot (e^{x^7 - 4x^2} \cdot (7x^6 - 8x) + 8)}{(e^{x^7 - 4x^2} + 8x)^2}.


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