Analysis

Monotonie

Die Monotonie ist ein sehr wichtiger Bestandteil der Kurvendiskussion. In diesem Artikel erklären wir dir, was Monotonie ist und wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmst.

Du möchtest die Monotonie in kurzer Zeit verstehen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Monotonie einfach erklärt  

Stell dir vor, du fährst mit dem Fahrrad irgendwo hin. Dabei ist es üblich, dass du für gewisse Zeiten nur bergauf, bergab oder auf konstanter Höhe fährst. Die Bereiche, in denen du nur bergab fährst, werden streng monoton fallend genannt (Bereich II). Kommt es vor, dass sich zwischendurch die Höhe nicht verändert, so heißt der Bereich monoton fallend (I).  Fährst du für eine gewisse Zeit nur bergauf, so wird der Bereich als streng monoton steigend bezeichnet (IV). Gibt es dabei jedoch Bereiche, in denen sich deine Höhe nicht ändert (III), dann nennt man den Bereich monoton steigend (III).

Monotonie, Monotonieverhalten
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Monotonie einer Funktion

Monotonie Definition  

Unter Monotonie versteht man den Verlauf einer Funktion. Sie gibt an, ob die Funktion steigt, fällt oder konstant verläuft. Es gibt dabei vier verschiedenen Arten der Monotonie.

Merke

Seien x_1 und x_2 zwei Stellen einer Funktion, wobei x_1<x_2. Dann unterscheidet man anhand der dazugehörigen Funktionswerte f(x_1) und f(x_2) verschiedene Fälle der Monotonie.

  • Ist f(x_1) < f(x_2), dann ist f streng monoton steigend,
  • ist  f(x_1) \leq f(x_2), dann ist f monoton steigend,
  • ist f(x_1) > f(x_2), dann ist f streng monoton fallend, und
  • ist f(x_1) \geq f(x_2), dann ist f monoton fallend.

Monotonieverhalten bestimmen: Schritt-für-Schritt Anleitung  

Um das Monotonieverhalten einer Funktion f(x) zu bestimmen, folgst du am besten folgender Anleitung.

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung f^{\prime}(x).

Schritt 2: Bestimme die Nullstellen von f^{\prime}(x) .

Schritt 3: Du erstellst eine Vorzeichentabelle mit den Extremstellen x_1, x_2,....

    x_1   x_2   x_3  
f^{\prime}(x)   0   0   0    

Schritt 4: Setze Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung f^{\prime}(x) ein und ergänze die Vorzeichentabelle mit den Werten.

  x x_1 x x_2 x x_3 x
f^{\prime}(x) f^{\prime}(x) 0 f^{\prime}(x) 0 f^{\prime}(x) 0 f^{\prime}(x)  

Schritt 5: Interpretiere das Ergebnis. Ist f^{\prime}(x) < 0, so ist die Funktion f in dem Bereich streng monoton fallend. Ist f^{\prime}(x)>0, so ist f streng monoton steigend.

Hinweis: Es kann auch vorkommen, dass die Funktion an einer kritischen Stelle einen Sattelpunkt hat. In diesem Fall ist die Monotonie links und rechts vom Sattelpunkt gleich und ändert sich somit nicht.

Beispiel  

Schauen wir uns ein Beispiel zur Monotonie an. Dafür ist folgende Funktion gegeben

f(x) = \frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x+3.

Schritt 1: Zunächst berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung 

f^{\prime}(x) = \frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2}.

Schritt 2: Um die Extremstellen von f zu ermitteln, bestimmst du die Nullstellen von f^{\prime}

\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{2} = 0

\Rightarrow \quad x_1 = -1 und x_2 = 1

Schritt 3: Stelle zur Übersicht eine Vorzeichentabelle mit den Extremstellen auf

    x_1=-1   x_2=1  
f^{\prime}(x)   0   0  

Schritt 4: Nun kannst du die Steigung genauer überprüfen, indem du Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung einsetzt. Es ergibt sich

f^{\prime}(-2) = \frac{3}{2} \cdot (-2)^2-\frac{3}{2} = 4,5

f^{\prime}(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^2-\frac{3}{2} = -1,5

f^{\prime}(2) = \frac{3}{2} \cdot 2^2-\frac{3}{2} = 4,5.

Die Ergebnisse setzt du jetzt in die Tabelle ein.

  -2 x_1=-1 0 x_2=1 2
f^{\prime}(x) 4,5 0 -1,5 0 4,5

Schritt 5: Nun kannst du anhand der Vorzeichen sagen, wie das Monotonieverhalten der Funktion f ist. Da die Steigung vor x=-1 positiv ist, ist die Funktion in dem Bereich streng monoton steigend (I). Danach wird die Steigung negativ, das heißt die Funktion wird streng monoton fallend (II). Und ab x=1 ist die Funktion wieder streng monoton steigend, da die Steigung ab hier wieder positiv ist (III).

Monotonie, Monotonieverhalten
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Monotonieverhalten der Funktion f

Monotonie: Alternative Schritt für Schritt Anleitung

Alternativ kannst du das Monotonieverhalten einer Funktion f(x) auch mithilfe der zweiten Ableitung bestimmen. Das geht wie folgt:

Schritt 1: Berechne die ersten zwei Ableitungen f^{\prime}(x) und f^{\prime \prime}(x).

Schritt 2: Bestimme die Nullstellen x_0 von f^{\prime}(x) .

Schritt 3: Setze die Extremstellen in die zweite Ableitung f^{\prime \prime}(x) ein, um die Art der Extrempunkte zu bestimmen

Schritt 4: Interpretiere das Ergebnis. Ist f^{\prime \prime}(x_0) < 0, so hat die Funktion f an dieser Stelle einen Hochpunkt. Das heißt, die Funktion ist zuerst streng monoton steigend, dann streng monoton fallend. Ist f^{\prime \prime}(x_0)>0, so hat die Funktion f an dieser Stelle einen Tiefpunkt und ist somit zuerst streng monoton fallend und dann streng monoton steigend. Ist f^{\prime \prime}(x_0)=0, so befindet sich an dieser Stelle ein Sattelpunkt und somit auch keine Änderung der Monotonie.

Beispiel

Schauen wir uns als Beispiel die folgende Funktion an

f(x) = -3x^5 + 5x^3.

Sie besitzt die Ableitungen 

f^{\prime}(x) = -15x^4 +15x^2

f^{\prime \prime}(x) = -60x^3 + 30x

und die Extremstellen

x_1 = -1, x_2 = 0 und x_3 = 1.

Setzt du die Extremstellen in die zweite Ableitung ein, so erhältst du

f^{\prime \prime}(-1) = -60 \cdot (-1)^3 + 30 \cdot (-1) = 30 \Rightarrow Tiefpunkt

f^{\prime \prime}(0) = -60 \cdot 0^3 + 30 \cdot 0 = 0 \Rightarrow Sattelpunkt

f^{\prime \prime}(1) = -60 \cdot 1^3 + 30 \cdot 1 = -30 \Rightarrow Hochpunkt.

Damit ist also die Funktion f im Bereich ]-\infty , -1] \cup [1,\infty[ streng monoton fallend und im Bereich [-1,1] streng monoton steigend.

Streng monoton fallend

Eine Funktion f ist streng monoton fallend, wenn der Funktionsgraph mit steigendem x-Wert sinkt. Das heißt, steigt der x-Wert, so sinkt der Funktionswert.

Streng monoton fallende Funktion f

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Beispiel

Schau dir dafür zum Beispiel die lineare Funktion f(x) = -\frac{1}{2}x +3 an. Setze x_1 = 1 und x_2 = 2 in die Funktion ein und du erhältst 

f(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1 +3 = 2,5

f(2) = -\frac{1}{2} \cdot 2 +3 = 2.

Also ist f(1) > f(2) und die Funktion f damit streng monoton fallend (im Bild unten grün eingezeichnet).

Monoton fallend

Kommt es hingegen vor, dass eine fallende Funktion an einer oder mehreren Stellen die Steigung null hat, so spricht man von monoton fallenden Funktionen. Das heißt, steigt der x-Wert einer Funktion, so kann der Funktionswert sinken oder gleich bleiben.

Monoton fallende Funktion f

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)

Beispiel

Wenn du die Funktion 

g(x) = \left\{\begin{array}{11}  x^2 , & x< -1 \\ 1, & x \in [-1,1]  \\ -x +2, & x>1 \end{arry} \right

betrachtest, so stellst du fest, dass die Funktion für x<-1 und x>1 fällt, aber sonst konstant verläuft. Du siehst sie im Bild blau eingezeichnet.

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(streng) monoton fallende Funktionen

Streng monoton steigend

Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn mit steigendem x-Wert der Funktionswert f(x) wächst. Das heißt, steigt der x-Wert, so steigt auch der Funktionswert.

Streng monoton steigende Funktion f

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Beispiel

Betrachte als Beispiel die Funktion f(x) = \frac{1}{2}x-1. Setze x_1 = 0 und x_2 = 1 in die Funktion ein und du erhältst 

f(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 -1 = -1 

f(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 -1 = -0,5.

Damit ist f(0) < f(1) und die Funktion f somit streng monoton steigend (im Bild unten grün eingezeichnet).

Monoton steigend

Wenn eine steigende Funktion in einem Bereich konstant verläuft, so spricht man von monoton steigenden Funktionen. Das heißt, steigt der x-Wert einer monoton steigenden Funktion, so kann der Funktionswert ebenfalls steigen oder gleich bleiben.

Monoton steigende Funktion f

x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)

Beispiel

Wenn du die Funktion

g(x) = \left\{\begin{array}{11}  1 , & x< 1 \\ -x^2,  & x>1 \end{arry} \right

betrachtest, so stellst du fest, dass die Funktion für x<1 immer konstant bleibt und dann für x>1 wächst. Das heißt die Funktion ist monoton steigend (im Bild blaue Funktion).

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(streng) monoton steigende Funktionen

Monotonie gebrochenrationaler Funktionen

Die Vorgehensweise zur Bestimmung der Monotonie bei gebrochenrationalen Funktionen ist die Gleiche, nur sollte man die Polstellen mit in die Vorzeichentabelle einbeziehen, da sich an den Stellen ebenfalls die Monotonie ändern kann.

Beispiel

Betrachte dafür die Funktion 

f(x) = \frac{x+1}{\frac{1}{2}x^2}

mit der Ableitung

f^{\prime}(x) = \frac{-2x-4}{x^3}.

Die Funktion f besitzt die Extremstelle x_1 = -2 und die Polstelle x_2 = 0. Damit kannst du jetzt die Vorzeichentabelle erstellen:

    x_1=-2   x_2=0  
f^{\prime}(x)   0    

Du gehst nun gleich wie sonst vor. Das heißt du setzt Werte links und rechts von x_1 und x_2 ein:

  -3 x_1=-2 -1 x_2=0 1
f^{\prime}(x) -0,07 0 2 -6

Das heißt, dass die Funktion f für x \in ]-\infty, -2] \cup ]0,\infty[ streng monoton fallend und für x \in [-2,0[ streng monoton steigend ist.

Monotonie, Monotonieverhalten
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Monotonieverhalten der gebrochenrationalen Funktion

Monotonie und Ableitung

Da die erste Ableitung f^{\prime} die Steigung der Funktion f beschreibt, kann f^{\prime} zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einer Funktion verwendet werden. Ist die Ableitung in einem Bereich positiv, so ist die Funktion streng monoton steigend. Ist die Ableitung hingegen negativ, so ist die Funktion streng monoton fallend.

Merke

f^{\prime} > 0 \Rightarrow streng monoton steigend

f^{\prime} \geq 0 \Rightarrow monoton steigend

f^{\prime} < 0 \Rightarrow streng monoton fallend

f^{\prime} \leq 0 \Rightarrow monoton fallend

f^{\prime} = 0 \Rightarrow monoton steigend oder monoton fallend oder Extrempunkt

Hinweis: Eine streng monoton steigende (fallende) Funktion, welche in einem echten Intervall eine Steigung von null hat, ist nur noch monoton steigend (fallend). Eine Stelle mit der Steigung null ändert die Monotonie nicht!

Beispiel

Schau dir die Funktion f(x) = x^2. Sie besitzt die Ableitung f^{\prime}(x) = 2x, die für x<0 negativ, und für x>0 positiv ist. Das bedeutet also, dass die Funktion f für x<0 streng monoton fallend ist und für x>0 streng monoton steigend.

Monotonieverhalten: Intervalle bestimmen

In Bezug auf das Monotonieverhalten kannst du zwischen zwei Arten von Funktionen unterscheiden. Zum einen gibt es Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich die gleiche Monotonie aufweisen. Zum anderen gibt es Funktionen, die ihr Monotonieverhalten ändern.

Dabei werden die Bereiche, in denen sich die Monotonie nicht ändert, Monotonieintervalle genannt.

Beispiel

Betrachte die Funktion f(x) = \frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}x+3 aus dem Beispiel zur Anleitung der Monotonie. Wie du schon weißt, ändert die Funktion ihr Monotonieverhalten an den Punkten x= -1 und x = 1. Die Steigung ist für x<-1 und x>1 positiv, und negativ für x zwischen -1 und 1. Damit kannst du das Monotonieverhalten wie folgt mit den Monotonieintervallen angeben:

f ist streng monoton steigend für x \in ]-\infty ,-1] \cup [1 , \infty[,

f ist streng monoton fallend für x \in [-1 , 1].

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

In der Kurvendiskussion gibt es noch weitere wichtige Begriffe, welche du kennen solltest:

Monotonieverhalten Aufgabe

Schauen wir uns eine Aufgabe zur Monotonie an.

Aufgabe: Monotonieverhalten bestimmen

Du hast folgende Funktion gegeben

f(x) = x^4-2x^2-3.

Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion f.

Lösung

Zur Bestimmung der Monotonie brauchst du zuerst die Extremstellen der Funktion und dafür setzt du die erste Ableitung gleich 0.

f^{\prime}(x) = 4x\cdot (x^2-1) = 0

Damit erhältst du Extremstellen bei x_1 = -1, x_2 = 0 und x_3 = 1. Du kannst jetzt die Vorzeichentabelle aufstellen.

    x_1=-1   x_2=0   x_3=1    
f^{\prime}(x)   0   0   0    

Zur Untersuchung der Monotonie setzt du nun Werte zwischen und außerhalb der Extremstellen in die erste Ableitung ein, und ergänzt die Werte in der Vorzeichentabelle.

f^{\prime}(-2) = 4\cdot (-2) \cdot ((-2)^2-1) = -24

f^{\prime}(-0,5) = 4\cdot (-0,5) \cdot ((-0,5)^2-1) = 1,5

f^{\prime}(0,5) = 4\cdot 0,5 \cdot (0,5^2-1) = -1,5

f^{\prime}(2) = 4\cdot 2 \cdot (2^2-1) = 24

  -2 x_1=-1 -0,5 x_2=0 0,5 x_3=1 2
f^{\prime}(x) -24 0 1,5 0 -1,5 0 24

Somit ist die Funktion f im Intervall ]-\infty ,-1] streng monoton fallend, in  [-1,0] streng monoton steigend, in [0,1] streng monoton fallend und in [1, \infty[ streng monoton steigend.

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