Analysis

Ableitung

In diesem Beitrag erklären wir dir das Thema Ableitung. Interessierst du dich für die Ableitung bestimmter Funktionen oder für die Ableitungsregeln , dann haben wir für dich extra Videos vorbereitet, schau sie dir unbedingt an!

Das Wichtigste zum Thema Ableitung erfährst du in diesem Video !

Inhaltsübersicht

Ableitung einfach erklärt

Die Ableitung einer Funktion f(x) benötigst du immer, wenn du dich für die Steigung einer Funktion interessierst. Notiert wird sie mit einem Strich: f'(x). Dabei musst du drei verschiedene Fälle unterscheiden:

  • Ist die Ableitung positiv (f'(x_0)>0), dann steigt die Funktion.
  • Ist die Ableitung negativ (f'(x_0)<0), dann fällt die Funktion.
  • Ist die Ableitung gleich null (f'(x_0)=0), dann ist die Steigung gleich null.

Gerade im Bereich der Kurvendiskussion ist es sehr wichtig, dass du die Ableitung beherrschst.

Ableitung Tangente Steigung Funktion
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Ableitung

Ableitung wichtiger Funktionen und Ableitungsregeln

In den folgenden Tabellen findest du für die wichtigsten Funktionen ihre Ableitung und die Ableitungsregeln. Du möchtest konkrete Beispiele dazu sehen? Diese findest du in den extra Beiträgen dazu!

  Funktion Ableitung
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Cosinus ableiten f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Sinus ableiten f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Tangens ableiten f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}

Damit du auch „zusammengesetzte“ Funktionen ableiten kannst, brauchst du die Ableitungsregeln.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)

Ableitung einführendes Beispiel

Stell dir vor, du wanderst einen Berg hoch und fragst dich, wie steil der Berg an deiner aktuellen Position gerade ist. Wie könntest du diese Frage angehen?

Was ist Steigung? Die Steigung gibt an, wie sich die Höhe des Bergs ändern wird, wenn du eine bestimmte Schrittlänge ausführst.

Wie kann ich die Steigung abschätzen? Bewegst du dich einen Meter vorwärts und bist danach 0,5 Meter höher, dann ist die Steigung 0,5.

Wie kann ich die Steigung genau bestimmen? Die Abschätzung von oben gibt dir nicht die genaue Steigung an deiner aktuellen Position an, sondern nur eine Durchschnittssteigung. Um die genaue Steigung an deiner aktuellen Position zu bestimmen, lässt du deinen Schritt beliebig klein werden, sodass du eigentlich gar nicht mehr voran kommst.

Was hat das mit der Ableitung zu tun? Die Steigung, die du durch diesen Prozess von „immer kleineren Schritten“ erhältst, ist gerade die Ableitung einer Funktion an deiner aktuellen Position. Das kannst du natürlich für alle Positionen machen.  Das Ergebnis ist dann die Ableitung der Funktion.

Was ist eine Ableitung?

Die Frage „Was ist eine Ableitung?“ hat in der Mathematik eine eindeutige Antwort. In diesem Abschnitt zeigen wir dir, welche Interpretationsmöglichkeiten es dafür gibt.

Maß für die „Steilheit“ von Funktionen

Im einführenden Beispiel war der Input deine aktuelle Position und der Output war die Höhe des Bergs an dieser Position. Bezeichnen wir den Input mit x und den Output mit f(x), dann ist die Ableitung das Verhältnis zwischen der Änderung \Delta x und der dadurch hervorgerufenen Änderung \Delta f. Sie gibt dir also an, wie steil die Funktion an einem bestimmten Punkt verläuft.

Ableitung als Tangente

Stell dir eine beliebige Funktion vor. Wähle dir dann irgendeinen Punkt auf dem Graph aus und stelle dir vor, wie du langsam immer weiter in diesen Punkt hineinzoomst. Irgendwann wird die Funktion einer Geraden ähneln. Dieser Geraden kannst du dann genau einen Wert für die Steigung zuordnen. Und genau dieser Wert der Steigung ist auch der Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt. Du findest dafür auch den Ausdruck, dass das die Steigung der Tangente an diesem Punkt ist.

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Ableitung als Tangente.

Notation

Jetzt weißt du schon, was eine Ableitung ist. Nun zeigen wir dir, wie du sie mathematisch notierst. Hast du eine Funktion f, die von der unabhängigen Variablen x abhängt, also f = f(x), dann wird das Ableiten folgendermaßen kenntlich gemacht

\frac{df(x)}{dx} = f'(x).

Der Strich ist die Abkürzung für \frac{d}{dx}. Ist die unabhängige Variable die Zeit t, dann findest du in der Physik häufig auch die folgende Schreibweise

\frac{df(t)}{dt} = \dot f(t).

Statt dem Strich wird also ein Punkt über f verwendet, um das Ableiten nach der Zeit t zu fassen.

Von der Sekante zur Tangente

Beim Bergwandern hast du die Steigung abgeschätzt, indem du das Verhältnis zwischen „Änderung deines Standorts“ und der dadurch erzeugten „Änderung der Berghöhe“ bestimmt hast. Was du hier gemacht hast, ist die Steigung der Sekante zu bestimmen, die durch die zwei Punkte „Standort vor dem Schritt“ und „Standort nach dem Schritt“ verläuft.

Lass uns das mathematisch präziser fassen. Die Funktion f(x) (im unteren Bild blau) soll die Höhe des Bergs in Abhängigkeit deines Standorts darstellen. Am Anfang befindest du dich an der Position P mit den Koordinaten P(x_0,f(x_0)). Nach einem Schritt hat sich deine Position zum Punkt Q(x_1,f(x_1)) verschoben. Um die Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0 abzuschätzen, ziehst du nun durch diese zwei Punkte eine Gerade (lila). 

Steigung der Sekante 

Die Steigung m ist das Verhältnisses von \Delta f und \Delta x

m =\frac{\Delta f}{\Delta x}= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.

Dieser Quotient heißt auch Differenzenquotient .

Am Bild erkennst du, dass diese Steigung nicht der Steigung der tatsächlichen Funktion f(x) entspricht, sondern einen Mittelwert zischen Punkt P und Q angibt. Deshalb war die Steigung bei der Bergwanderung auch nur eine Abschätzung der wahren Steigung an deinem aktuellen Standort.

Differenzenquotient
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Differenzenquotient: Steigung der Sekante.

Wir hatten dir aber auch erklärt, wie du die wahre Steigung bestimmen kannst: Du machst deine Schritte beliebig klein. Dabei kommt der Punkt Q dem Punkt P immer näher. Dadurch bewegt sich x_1 auf x_0 zu und f(x_1) auf f(x_0). Die Steigungen der Sekanten (im unteren Bild pink gestrichelt) nähern sich dabei immer mehr der wahren Steigung der Funktion am Punkt P. Was du beim Verkleinern deiner Schritte machst, ist einen Grenzwert bilden.  Der Grenzwert ist dann die Ableitung der Funktion f(x) an diesem Punkt. Mathematisch wird das folgendermaßen notiert

Differentialquotient

Die wahre Steigung am Punkt x_0, geschrieben als f'(x_0), erhältst du als Grenzwert der Sekantensteigungen

f'(x_0)=\lim \limits_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}.

Das ist die Definition des Differentialquotienten .

Und genau dieser Grenzwert ist die Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. Der Teil \lim \limits_{x_1 \to x_0} ist die mathematische Notation für „Schritte beliebig klein machen“. Die Gerade, deren Steigung genau diesem Grenzwert entspricht, heißt Tangente. Was du also beim Ableiten geometrisch machst, ist die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt zu bestimmen.

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Differentialquotient: Von der Sekante zur Tangente

Höhere Ableitungen

Wir hatten mehrmals erwähnt, dass das Ableiten einer Funktion wieder eine Funktion generiert. Es macht also Sinn vom „Ableiten der Ableitung“ zu reden. Es gelten die gleichen Interpretationen und Beobachtungen, wie für die sogenannte erste Ableitung. Alle weiteren Ableitungen heißen dann zweite, dritte, vierte Ableitung und so weiter. Man fasst diese unter den Namen Höhere Ableitungen zusammen.  Wenn dir also das erste Ableiten die Steigung der Funktion an einem Punkt angibt, dann gibt dir das zweite Ableiten die Steigung der ersten Ableitung am selben Punkt.

Ableitung und Kurvendiskussion

Aber wofür möchte man denn Funktionen ableiten? Das Ableiten einer Funktion gibt dir Auskunft über das Steigungsverhalten von f. Das bedeutet anhand des Funktionswerts von f' kannst du herausfinden, auf welchen Abschnitten die Funktion f konstant ist, steigt oder fällt.

Bei der Kurvendiskussion%Verweis bekommst du so eine Vorstellung über den Verlauf des Funktionsgraphen. Dabei bestimmst du die kritischen Punkte von f, das heißt die Hochpunkte, Tiefpunkte und Wendepunkte der Funktion, sodass du ihren Graphen skizzieren kannst.

Ebenfalls hilfreich ist dabei die zweite Ableitung f''(x). Geometrisch beschreibt sie das Krümmungsverhalten der Funktion f.

Ableitung wichtiger Funktionen

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie das Ableiten bestimmter Funktionen abläuft.

Wurzelfunktion ableiten

Im folgenden zeigen wir dir, wie du eine Wurzelfunktion ableiten kannst.

Die Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt[n]{x}

kannst du auch schreiben als

f(x) = x^{\frac{1}{n}}.

Damit haben wir die Form „Zahl mal x hoch eine andere Zahl“. Eine solche Form kannst du durch Verwendung der Regel „Exponent vor das x ziehen und dann den Exponenten bei x um eins reduzieren“ ableiten.

Ableitung Wurzelfunktion

Das Ableiten der Wurzelfunktion f(x) = \sqrt[n]{x} ergibt

f'(x) = \frac{1}{n} \cdot x^{\frac{1}{n} - 1}.

Beispiel

Betrachte die Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x}= x^{\frac{1}{2}}.

Das Ableiten ergibt

f'(x) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.

Trigonometrischer Funktionen ableiten

Nun zeigen wir dir die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens%zu den jeweiligen Beiträgen verlinken, sobald diese veröffentlicht wurden.

Ableitung Sinus

Für den Sinus

f(x) = \sin(x)

ergibt das Ableiten

f'(x) = \cos(x).

Diese Ableitung musst du dir gut einprägen. In unserem Artikel über das Sinus ableiten , zeigen wir dir mehrere Beispiele dazu.

Ableitung Cosinus

Für den Cosinus

f(x) = \cos(x)

ergibt das Ableiten

f'(x) = -\sin(x).

Beachte, dass hier ein Minuszeichen vorkommt. Beim Ableiten vom Sinus hingegen kommt kein Minuszeichen vor. Auch zum Ableiten des Kosinus haben wir einen ausführlichen Artikel für dich vorbereitet mit Erklärungen und mehreren Beispielen.

Ableitung Tangens

Für den Tangens

f(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{cos(x)}

ergibt das Ableiten

f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x).

Du möchtest mehr über die Ableitung des Tangens erfahren und mehrere Beispiele durchrechnen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Ableitung e-Funktion und ln-Funktion

Schauen wir uns nun einmal die Ableitung der e Funktion und der ln Funktion an. 

e Funktion ableiten

Für die e-Funktion

f(x) = e^{x}

ergibt das Ableiten

f'(x) = e^{x}.

Beachte, dass die Ableitung gerade wieder die Funktion selbst ist. Das Ableiten der e-Funktion ergibt also wieder die e-Funktion. Erst wenn im Exponenten der e Funktion ein anderer Ausdruck als nur x steht, wird das Ableiten komplizierter. Dann musst du die Kettenregel anwenden. 

Beispiel

Ein Beispiel für das Ableiten einer komplizierteren e Funktion wäre

f(x)=e^{3x^2+4} \quad \rightarrow \quad f'(x)=e^{3x^2+4}\cdot 6x. 

Wie das genau funktioniert und viele Beispiele zum Ableiten der e Funktion findest du in einem eigenen Beitrag

ln Funktion ableiten

Für die ln-Funktion

f(x) = \ln(x)

ergibt das Ableiten

f'(x) = \frac{1}{x}.

Falls du einen Logarithmus ableiten möchtest, der nicht nur x im Argument stehen hat, benötigst du zusätzlich die Kettenregel

Beispiel

Ein solcher Fall wäre die Funktion

f(x)=\ln(x^2).

Das Ableiten liefert

f'(x) = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}.

Falls du noch mehr Beispiele zum Logarithmus Ableiten berechnen möchtest, sieh dir unseren Beitrag  dazu an. 

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