Analysis

Wendetangente berechnen

Du möchtest wissen, was eine Wendetangente ist und wie du sie berechnest? Dann bist du hier genau richtig. Wir erklären es dir Schritt für Schritt. Am Ende findest du auch Aufgaben mit Lösungen zum üben.

Möchtest du eine visuelle Anleitung dazu sehen? Dann schau dir unser Video an!

Inhaltsübersicht

Wendetangente einfach erklärt

Betrachtest du eine Funktion f mit einem Maximum, dann hat dort eine Tangente die Steigung 0. Ab dann fängt die Steigung der Funktion an zu sinken. Erst wenn die Wendestelle erreicht ist, fängt die Steigung wieder an zu wachsen. Das heißt, am Wendepunkt zwischen einem Hoch- und Tiefpunkt ist der Punkt mit der geringsten Steigung. Dementsprechend ist eine Wendetangente zwischen einem Tief- und Hochpunkt die Tangente mit der größten Steigung.

Merke

Die Wendetangente ist die Tangente an einen Wendepunkt.

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Wendetangente

Was ist eine Wendetangente?

Im Allgemeinen ist eine Tangente eine lineare Funktion , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Das Besondere an der Wendetangente ist allerdings, dass der Berührpunkt nicht irgendwo ist, sondern am Wendepunkt.

Dadurch, dass die Tangente die Funktion f nicht schneidet, sondern nur berührt, heißt das, dass die Wendetangente und der Funktionsgraph von f an der Wendestelle die gleiche Steigung haben. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die Wendestelle in die erste Ableitung einsetzen.

Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Gleichung der Wendetangente

Die Gleichung der Wendetangente hat die allgemeine Form

y_{w}(x) = f^{\prime}(x_{w}) \cdot (x-x_{w}) + y_{w}, 

wobei W(x_{w},y_{w}) ein Wendepunkt der Funktion f ist.

Wendetangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

Nun geben wir dir eine Schritt-für-Schritt Anleitung, wie du eine Wendetangente berechnen kannst.

Schritt 1: Als erstes berechnest du die Wendepunkte:

Erinnerung: Wendepunkt berechnen%Verweis

  1. Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f.
  2. Ermittle für welche x-Werte die zweite Ableitung gleich 0 ist.
  3. Ist die dritte Ableitung an den gefundenen x-Werten ungleich 0, so handelt es sich um Wendepunkte.
  4. Für die genauen Koordinaten setzt du die x-Werte in die Funktion f ein.

Schritt 2: Du setzt deine Wendestelle in die erste Ableitung ein, um so die Steigung f^{\prime}(x_{w}) zu erhalten.

Schritt 3: Jetzt setzt du die Koordinaten des Wendepunktes W (x_{w},y_{w}) und die Steigung f^{\prime}(x_{w}) in die Punktsteigungsform ein und erhältst so die gesuchte Tangente.

Beispiel

Betrachten wir ein konkretes Beispiel. Angenommen wir haben folgende Funktion gegeben

f(x) = x^3-3x^2+2x+2

Schritt 1: Zuallererst benötigen wir die Wendepunkte der Funktion.  Dazu brauchen wir die Ableitungen  

f^{\prime}(x) = 3x^2 - 6x +2

f^{\prime \prime}(x) = 6x -6

f^{\prime \prime \prime}(x) = 6.

Nach Nullsetzen der zweiten Ableitung erhalten wir für x = 1 einen möglichen Kandidaten, welcher sich auch als Wendestelle herausstellt, da f^{\prime \prime \prime}(1) = 6 \neq 0 ist.

Da f(1)=2, haben wir bei W(1 \vert 2) einen Wendepunkt.

Schritt 2: Als nächstes benötigen wir die Steigung der Wendetangente. Dafür setzen wir die Wendestelle in die erste Ableitung ein und erhalten

f^{\prime}(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 +2 = -1. 

Schritt 3: Nun hast du alle Bausteine der Tangente zusammen. Das heißt, du kannst nun alle Ergebnisse in die Punktsteigungsform einsetzen

y_{w}(x) = f^{\prime}(x_{w}) \cdot (x-x_{w}) + y_{w}

y_{w}(x) = -1(x - 1) +2.

Damit erhältst du die Gleichung für die Wendetangente

y_{w}(x) = -x + 3

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Beispiel Wendetangente

Wendenormale

Im Folgenden erklären wir dir kurz, was die Wendenormale ist.

Die Wendenormale ist eine Lineare Funktion, die am Wendepunkt senkrecht zur Wendetangente steht. Da sie eine um 90° gedrehte Wendetangente ist, entspricht die Steigung der Wendenormale

m_2 = -\frac{1}{f^{\prime}(x_w)} 

Damit lautet die Geradengleichung für die Wendenormale

n_{w}(x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_{w})}(x-x_w)+y_w.

Beispiel

Betrachte hierfür das obere Beispiel f(x) = x^3-3x^2+2x+2 mit W=(x_w \vert y_w)=(1 \vert 2) und der Steigung f^{\prime}(x_w) = -1. Setzt du die Werte nun in die Geradengleichung der Wendenormale ein, erhältst du

n_{w}(x)=-\frac{1}{-1} \cdot  (x-1) + 2

n_w(x) = x + 1.

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Wendenormale

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir uns weitere Beispiele ansehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:

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Wendetangente berechnen Aufgaben

Im Folgenden zeigen wir dir zwei verschiedene Aufgaben mit Lösungen zum Thema Wendetangente berechnen.

Aufgabe 1: Wendetangente berechnen e Funktion

Betrachte die Funktion

f(x) = (\frac{1}{2}x+1)e^{-x}.

Berechne die Wendetangente!

Lösung: Aufgabe 1

Zunächst brauchst du die Wendestellen der Funktion f und damit die ersten drei Ableitungen.

f^{\prime}(x) = (-\frac{1}{2}x - \frac{1}{2})e^{-x}

f^{\prime \prime}(x) = \frac{1}{2}x e^{-x}

f^{\prime \prime \prime}(x) = (-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})e^{-x}.

Setze die zweite Ableitung gleich 0. Damit bekommst du eine Nullstelle bei x=0. Da

f^{\prime \prime \prime}(0) = (-\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2})e^{-0} = 0,5 \neq 0

ist, handelt es sich dabei um eine Wendestelle. Es ist f(0)=1. Damit haben wir bei W (0 \vert 1) einen Wendepunkt.

Bevor wir die dazugehörige Tangente berechnen können, fehlt uns noch die Steigung, die wir bekommen, wenn wir den x-Wert des Wendepunktes in f^{\prime}(x) einsetzen. Wir erhalten somit

f^{\prime}(0) = (-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2}) \cdot e^{-0} = -0,5. 

Damit können wir die Funktion der Wendetangente berechnen, indem wir W = (x_{w},y_{w}) und f^{\prime}(0) in die Gleichung y_{w}(x) = f^{\prime}(x_{w}) \cdot (x-x_{w}) + y_{w} einsetzen:

y_{w}(x) = -\frac{1}{2}(x - 0) + 1

y_{w}(x) = -\frac{1}{2}x + 1.

Aufgabe 2: Wendetangente einer gebrochenrationalen Funktion

Sei folgende gebrochenrationale Funktion gegeben

f(x) = \frac{x^3}{1-x}

Wie lautet die Wendetangente?

Lösung: Aufgabe 2

Mit Hilfe der Quotientenregel und Kettenregel erhalten wir die Ableitungen

f^{\prime}(x) = \frac{-2x^3+3x^2}{(1-x)^2}

f^{\prime \prime}(x) = \frac{2x^3-6x^2+6x}{(1-x)^3}

f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{6}{(1-x)^4}

Setzen wir nun die zweite Ableitung f^{\prime \prime} (x)= 0, so bekommen wir die Nullstelle x = 0. Da

f^{\prime \prime \prime}(0) = \frac{6}{(1-0)^4} = 6 \neq 0

ist und f(0)=0, haben wir einen Wendepunkt bei  W(0 \vert 0).

Um die Geradengleichung der Wendetangente berechnen zu können, benötigen wir die Steigung f^{\prime}(x_w). Dazu setzen wir den Wert x_w = 0 in die erste Ableitung ein und erhalten

f^{\prime}(0) = \frac{-2 \cdot 0^3+3 \cdot 0^2}{(1-0)^2}= 0.

Nun können wir den Punkt W und die Steigung f^{\prime}(0) in die Punktsteigungsform einsetzen und erhalten somit

y_{w}(x) = 0(x - 0) + 0

y_{w}(x) = 0.

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