In diesem Artikel geht es um die Fakultät im Sinne der Mathematik. Zunächst wird eine Definition der Fakultät (Mathe) gegeben und zugehörige Rechenregeln werden erklärt. Im Anschluss wird anhand eines Beispiels erläutert, wie sich die Fakultät berechnen lässt.
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Inhaltsübersicht
Fakultät Definition
Die Fakultät im Sinne der Mathematik bezeichnet eine Funktion aus der Kombinatorik. Die Schreibweise ist n! (gesprochen: „n Fakultät“ ). Mit der Fakultät, welche auch als Faktorielle (Österreich) bezeichnet wird, lässt sich bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt n Objekte einer Menge anzuordnen (Anzahl Permutationen ).
Fakultät berechnen
Im Folgenden Abschnitt geht es um die Frage wie sich n! berechnen lässt. Bevor wir uns einige Anwendungsbeispiele ansehen, werden wir jedoch zunächst die Formel betrachten.
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Fakultät Formel
„n!“ lässt sich berechnen, indem man alle natürlichen Zahlen (also ganzzahlige positive Ziffern) von 1 bis n miteinander multipliziert:
„n“ steht hierbei für die Zahl von der die Fakultät gebildet werden soll.
Diese wird in der Mathematik üblicherweise durch ein Ausrufezeichen dargestellt.
Die alternative Produkt-Schreibweise lautet:
Eine dritte Möglichkeit, diese zu beschreiben, ist die rekursive also rückwärts gewandte Schreibweise:
3 Fakultät
Die Fakultät von 3 ergibt sich, indem man alle ganzzahligen Zahlen von 1 bis 3 miteinander multipliziert. Ziel ist es also, das Produkt von 1, 2 und 3 zu bilden. Formal aufgeschrieben sieht dies wie folgt aus:
5 Fakultät
„n!“ von 5 lässt sich identisch berechnen:
7 Fakultät
„n!“ für 7 ergibt sich äquivalent:
Fakultät Taschenrechner
Das Prinzip der Berechnung sollte anhand der vorherigen einfachen Beispiele klar geworden sein. Für größere Zahlen ist die Berechnung per Hand sehr umfangreich und im Kopf kaum noch möglich. Man verwendet deshalb am besten einen Fakultät Rechner oder einen handelsüblichen wissenschaftlichen Taschenrechner. Dazu muss in der Regel nur die gewünschte Zahl und das Ausrufezeichen (x!) in den Taschenrechner eingegeben werden und das gesuchte Ergebnis erscheint.
Fakultät Beispiel
In einem Supermarktregal stehen 6 verschiedene Arten Spirituosen in einer Reihe. Um den Kunden optische Abwechslung zu bieten, ändert der Supermarkt jede Woche die Anordnung der alkoholischen Getränke. Die Leitung des Supermarktes fragt sich nun, wie lange die Spirituosen neu angeordnet werden können, ohne dass eine Kombination doppelt vorkommt.
Um diese Fragestellung zu beantworten, eignet sich die Formel der Fakultät. Die Antwort lässt sich berechnen indem man n! von 6 bestimmt:
Es gibt also 720 Varianten die Flaschen umzustellen. Dies bedeutet, dass man die Flaschen 720 Wochen – also 
14 Jahre – neu anordnen kann, ohne dass sich eine Formation wiederholt.
Null Fakultät
Die 0 Fakultät nimmt per Definition immer den Wert 1 an.
Die Fakultät von 0 ist damit ein Sonderfall in der Mathematik, da sie ein Produkt mit 0 Faktoren ist. Diesem Sonderfall des leeren Produkts wird grundsätzlich immer der Wert 1 zugewiesen.
Fakultät Kürzen
Da es sich bei der Fakultät um eine multiplikative Verknüpfung handelt, kann diese nach den klassischen Regeln zum Kürzen vereinfacht werden.
Beispiel:
Augenscheinlich kann es in Bezug auf das Kürzen manchmal sinnvoller sein, den Bruch mit n! stehen zu lassen, anstatt diesen zu kürzen. Am Ergebnis ändert sich durch das Kürzen natürlich nichts.
Fakultät Mathe Anwendungen
Die Fakultät kann im Rahmen des Binomialkoeffizienten genutzt werden, um zu bestimmen, wie viele Möglichkeiten es gibt k Elemente einer Menge n in einem Zufallsexperiment mit „Ziehen ohne zurücklegen ohne Reihenfolge “ anzuordnen. Die Bestimmung kann mit folgender Formel vorgenommen werden:
Neben der Anwendung in der Kombinatorik gibt es vielfältige weitere Anwendungsmöglichkeiten für den Binomialkoeffizienten. In unserem Video erfährst du mehr darüber!
Fakultät — häufigste Fragen
(ausklappen)
Fakultät — häufigste Fragen
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Was bedeutet ein Ausrufezeichen in der Mathematik?Das Ausrufezeichen „!“ bedeutet in der Mathematik meist „Fakultät“: Steht es hinter einer natürlichen Zahl
, bezeichnet es das Produkt aller Zahlen von 1 bis . Zum Beispiel ist 
, nicht „3 ist wichtig“.
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Für welche Zahlen kann man eine Fakultät berechnen?Eine Fakultät „
“ kann man für natürliche Zahlen berechnen, also für 
. Der Sonderfall 
ist ebenfalls fest definiert. Für negative Zahlen oder Kommazahlen ist „“ in diesem Schulkontext nicht festgelegt.
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Warum ist die Fakultät von 0 gleich 1?Die Fakultät von 0 ist 1, weil als „leeres Produkt“ verstanden wird: Es werden keine Faktoren miteinander multipliziert. Für solche Produkte legt man in der Mathematik den Wert 1 fest, damit Rechenregeln wie beim Kürzen mit Fakultäten weiterhin stimmen.
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Warum gibt die Fakultät die Anzahl der möglichen Reihenfolgen verschiedener Dinge an?Die Fakultät gibt die Anzahl der möglichen Reihenfolgen an, weil man beim Anordnen Schritt für Schritt auswählt: Für den ersten Platz gibt es Möglichkeiten, danach
, dann 
usw. Multipliziert man diese Möglichkeiten, erhält man genau verschiedene Anordnungen.
Kombinatorik verstehen
Die Fakultät gehört zur Kombinatorik und hilft beim Zählen von möglichen Anordnungen. Wer sich mit Kombinatorik beschäftigt, schaut auf Mengen, Reihenfolgen und die Anzahl verschiedener Möglichkeiten. So wird klar, warum manche Aufgaben mit einer einfachen Rechnung lösbar sind und wie aus einer Anzahl eine genaue Zahl für Permutationen wird. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.