Was ist der Unterschied zwischen einer Zahlmenge und einem Intervall wie von minus eins bis drei?

Eine Zahlmenge ist allgemein eine Sammlung von Zahlen, die auch „Lücken“ haben kann, ein Intervall enthält dagegen alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Zum Beispiel ist eine Zahlmenge mit einzelnen Werten. Das Intervall enthält auch und .

Was bedeutet das Zeichen Teilmenge in Mathe und wie lese ich das richtig?

Das Teilmengenzeichen bedeutet: Jedes Element der linken Menge ist auch in der rechten Menge enthalten. Du liest als „ ist (eine) Teilmenge von “. Zum Beispiel gilt , weil jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist.

Wie bestimme ich den Definitionsbereich einer Funktion, wenn da eine Wurzel oder ein Bruch vorkommt?

Den Definitionsbereich bestimmst du, indem du verbotene Eingaben ausschließt: Unter einer Wurzel muss der Term sein und im Bruch darf der Nenner nicht werden. Beispiel: Für gilt . Für gilt .

Video

Hier geht's zum Video „Dezimalzahl in Bruch“

Hier geht's zum Video „Eulersche Zahl“

Hier geht's zum Video „Imaginäre Zahlen“

Hier geht's zum Video „Komplexe Zahlen“

Hier geht's zum Video „Dezimalzahl in Bruch“

Zahlenmengen

Du fragst dich, was Zahlenmengen sind? Hier und im Video zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden.

Klasse 7

Klasse 8

Klasse 9

Inhaltsübersicht

Was ist eine Zahlenmenge?

Eine Zahlenmenge ist eine Gruppe von Zahlen, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben. Sie zeigt dir zum Beispiel, welche Zahlen du in eine Funktion einsetzen darfst.

Insgesamt gibt es sechs Zahlenmengen:

Das Diagramm zeigt die Beziehungen der Zahlenmengen von den natürlichen Zahlen bis zu den komplexen Zahlen. In den natürlichen Zahlen N sind die Zahlen 3, 6 und 54 dargestellt. In den ganzen Zahlen Z kommen zusätzlich 0, minus 13, minus 34 und minus 66 hinzu. In den rationalen Zahlen Q sind außerdem 1 Halb, 0 Komma 6, minus 4 und 2 Drittel sowie 0 Periode 33 eingeordnet. In den reellen Zahlen R befinden sich zusätzlich Pi, Wurzel aus 2, Wurzel aus 7 und die Eulersche Zahl e. In den komplexen Zahlen C sind außerdem die Zahlen i, Pi mal i, 4 plus 5 i und 7 plus i dargestellt. — Zahlenmengen

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
Natürliche Zahlen mit 0 $\mathbb{N}_0$
Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$

Beziehung zwischen den Zahlenmengen

Die Zahlenmengen bauen aufeinander auf. Das bedeutet, dass jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren enthalten ist. Es gilt also:

$\textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}}$

Beispiel: Zu welcher Zahlenmenge gehört die Zahl 0,25?

Die Zahl 0,25 gehört zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ , da sie als Bruch dargestellt werden kann: 0,25 entspricht $\frac{25}{100}$ und lässt sich zu $\frac{1}{4}$ kürzen.

Da alle rationalen Zahlen gleichzeitig auch reelle Zahlen $\mathbb{R}$ und komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ sind, gehört 0,25 ebenfalls zu diesen Zahlenmengen.

Die Zahl 0,25 gehört jedoch nicht zu den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und nicht zu den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ , da sie keine ganze Zahl ist.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Übersicht der Zahlenmengen als Tabelle

im Videozur Stelle im Video springen

(00:15)

In der folgenden Tabelle siehst du die die sechs Zahlenmengen im Überblick:

Zahlenmenge	Elemente	Erklärung
Natürliche Zahlen	$\textcolor{blue}{\mathbb{N}}$ = {1; 2; 3; 4,…}	alle positiven ganzen Zahlen ohne Null
Natürliche Zahlen mit 0	$\textcolor{teal}{\mathbb{N}_0}$ = {0; 1; 2; 3; 4…}	alle positiven ganzen Zahlen mit Null
Ganze Zahlen	$\textcolor{olive}{\mathbb{Z}}$ = {…; -2; -1; 0; 1; 2…}	alle ganzen Zahlen: negative, positive und Null
Rationale Zahlen	$\textcolor{red}{\mathbb{Q}}$ = {…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1}	alle ganzen Zahlen und alle Brüche aus ganzen Zahlen
Irrationale Zahlen	$\mathbb{I}$ = {…; -√2; e; π; …}	alle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma, ohne periodische Abfolge, auch π und die Eulersche Zahl e können nicht als Bruch dargestellt werden
Reelle Zahlen	$\textcolor{magenta}{\mathbb{R}}$ = {…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1;-√2; e; π; …}	alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können sowie Brüche und nicht periodische Dezimalzahlen
Komplexe Zahlen	$\textcolor{green}{\mathbb{C}}$ = {…; -5 +2i; e^iπ; 0; √-1 …}	alle Zahlen der Form: a + bi a: reelle Zahl b: reelle Zahl i: imaginäre Zahl, für die gilt: i² = -1

Rationale vs. Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Irrationale Zahlen dagegen lassen sich nicht als Bruch darstellen. Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter und folgen keinem erkennbaren Muster.

Das klassische Beispiel für irrationale Zahlen ist die Kreiszahl π = 3,14159265358979323…

Zahlenmengen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen einer Zahlmenge und einem Intervall wie von minus eins bis drei?

Eine Zahlmenge ist allgemein eine Sammlung von Zahlen, die auch „Lücken“ haben kann, ein Intervall enthält dagegen alle reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen. Zum Beispiel ist $\{-1,0,3\}$ eine Zahlmenge mit einzelnen Werten. Das Intervall enthält auch und $\frac{1}{2}$ .
Was bedeutet das Zeichen Teilmenge in Mathe und wie lese ich das richtig?

Das Teilmengenzeichen $\subseteq$ bedeutet: Jedes Element der linken Menge ist auch in der rechten Menge enthalten. Du liest $A \subseteq B$ als „ ist (eine) Teilmenge von “. Zum Beispiel gilt $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$ , weil jede natürliche Zahl auch eine ganze Zahl ist.
Wie bestimme ich den Definitionsbereich einer Funktion, wenn da eine Wurzel oder ein Bruch vorkommt?

Den Definitionsbereich bestimmst du, indem du verbotene Eingaben ausschließt: Unter einer Wurzel muss der Term $\ge 0$ sein und im Bruch darf der Nenner nicht werden. Beispiel: Für $f(x)=\sqrt{x-2}$ gilt $x\ge 2$ . Für $g(x)=\frac{1}{x-3}$ gilt $x\ne 3$ .