Wie erkenne ich schnell, ob eine Dezimalzahl rational oder irrational ist?

Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie endet oder irgendwann periodisch wird (also ein Ziffernblock sich wiederholt). Sie ist irrational, wenn sie unendlich viele Nachkommastellen ohne Wiederholung hat. Zum Beispiel ist rational und rational, aber irrational.

Wie finde ich bei einer Funktion die kleinste Zahlenmenge, in der alle Werte liegen?

Die kleinste Zahlenmenge für alle Funktionswerte findest du, indem du zuerst die Wertemenge beschreibst und dann die kleinste passende Menge auswählst (). Zum Beispiel: Wenn und , dann gilt , also ist minimal.

Was bedeutet es in Aufgaben, wenn da steht „x ist Element von“ einer bestimmten Zahlenmenge?

„“ bedeutet: darf nur Werte aus der angegebenen Menge annehmen. Das ist eine Einschränkung des Definitionsbereichs und ändert oft die Lösung. Zum Beispiel hat mit die Lösungen , aber mit nur .

Warum braucht man komplexe Zahlen überhaupt, wenn es schon reelle Zahlen gibt?

Komplexe Zahlen braucht man, weil manche Gleichungen in den reellen Zahlen keine Lösung haben, aber in schon. Zum Beispiel hat keine reelle Lösung, aber die Lösungen sind . Außerdem beschreiben komplexe Zahlen Schwingungen und Drehungen sehr praktisch, etwa in Physik und Elektrotechnik.

Wie kann ich prüfen, zu welcher Zahlenmenge eine Wurzelzahl gehört, zum Beispiel die Wurzel aus zwei?

Eine Wurzelzahl (mit ganzer Zahl ) ist genau dann rational, wenn eine Quadratzahl ist. Ist keine Quadratzahl, dann ist irrational und gehört zu . Zum Beispiel gilt , aber und liegt nur in .

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Zahlenmengen

Du fragst dich, was Zahlenmengen sind? Hier und im Video zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden.

Inhaltsübersicht

Zahlenmengen — einfach erklärt

Eine Zahlenmenge ist eine Gruppe von Zahlen, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben. Wenn du zum Beispiel eine Funktion untersuchst, zeigt dir die Zahlenmenge, für welche Zahlen die Funktion gültig ist.

Insgesamt unterscheidest du sechs Zahlenmengen:

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
Natürliche Zahlen mit 0 $\mathbb{N}_0$
Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$

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Wie in der Grafik dargestellt, ist jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren enthalten. Es gilt also:

$\textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}}$

Zahlenmengen — Übersicht

im Videozur Stelle im Video springen

(00:15)

In der folgenden Tabelle siehst du die Elemente und Definitionen aller sechs Zahlenmengen:

Formelzeichen	Name	Elemente	Definition
$\textcolor{blue}{\mathbb{N}}$	Natürliche Zahlen	{1; 2; 3; 4,…}	alle positiven ganzen Zahlen ohne Null
$\textcolor{teal}{\mathbb{N}_0}$	Natürliche Zahlen mit 0	{0; 1; 2; 3; 4…}	alle positiven ganzen Zahlen Null einbegriffen
$\textcolor{olive}{\mathbb{Z}}$	Ganze Zahlen	{…; -2; -1; 0; 1; 2…}	alle ganzen Zahlen negative, positive und die Null
$\textcolor{red}{\mathbb{Q}}$	Rationale Zahlen	{…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1}	alle ganzen Zahlen alle Brüche aus ganzen Zahlen
$\mathbb{I}$	Irrationale Zahlen	{…; -√2; e; π; …}	alle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma, ohne periodische Abfolge können nicht als Bruch dargestellt werden auch π und die Eulersche Zahl e
$\textcolor{magenta}{\mathbb{R}}$	Reelle Zahlen	{…; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1;-√2; e; π; …}	alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können Brüche und nicht periodische Dezimalzahlen umfasst rationale und irrationale Zahlen
$\textcolor{green}{\mathbb{C}}$	Komplexe Zahlen	{…; -5 +2i; e^iπ; 0; √-1 …}	alle Zahlen der Form: a + bi a: reelle Zahl b: reelle Zahl i: imaginäre Zahl, für die gilt: i² = -1

Rationale und Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen — also als Verhältnis zweier ganzer Zahlen. Auch Dezimalzahlen gehören dazu, wenn sie entweder nach einer bestimmten Stelle enden oder sich regelmäßig wiederholen. Irrationale Zahlen dagegen lassen sich nicht als Bruch darstellen. Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter und folgen keinem erkennbaren Muster.

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Zahlenmengen — häufigste Fragen

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Wie erkenne ich schnell, ob eine Dezimalzahl rational oder irrational ist?

Eine Dezimalzahl ist rational, wenn sie endet oder irgendwann periodisch wird (also ein Ziffernblock sich wiederholt). Sie ist irrational, wenn sie unendlich viele Nachkommastellen ohne Wiederholung hat. Zum Beispiel ist rational und $0{,}\overline{3}$ rational, aber $\pi=3{,}14159\ldots$ irrational.
Wie finde ich bei einer Funktion die kleinste Zahlenmenge, in der alle Werte liegen?

Die kleinste Zahlenmenge für alle Funktionswerte findest du, indem du zuerst die Wertemenge beschreibst und dann die kleinste passende Menge auswählst ( $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ ). Zum Beispiel: Wenn $x\in\mathbb{Z}$ und , dann gilt $f(x)\in\mathbb{Z}$ , also ist $\mathbb{Z}$ minimal.
Was bedeutet es in Aufgaben, wenn da steht „x ist Element von“ einer bestimmten Zahlenmenge?

„ $x\in\mathbb{M}$ “ bedeutet: darf nur Werte aus der angegebenen Menge $\mathbb{M}$ annehmen. Das ist eine Einschränkung des Definitionsbereichs und ändert oft die Lösung. Zum Beispiel hat mit $x\in\mathbb{R}$ die Lösungen $x=\pm 2$ , aber mit $x\in\mathbb{N}$ nur .
Warum braucht man komplexe Zahlen überhaupt, wenn es schon reelle Zahlen gibt?

Komplexe Zahlen braucht man, weil manche Gleichungen in den reellen Zahlen keine Lösung haben, aber in $\mathbb{C}$ schon. Zum Beispiel hat keine reelle Lösung, aber die Lösungen sind $x=\pm i$ . Außerdem beschreiben komplexe Zahlen Schwingungen und Drehungen sehr praktisch, etwa in Physik und Elektrotechnik.
Wie kann ich prüfen, zu welcher Zahlenmenge eine Wurzelzahl gehört, zum Beispiel die Wurzel aus zwei?

Eine Wurzelzahl $\sqrt{n}$ (mit ganzer Zahl ) ist genau dann rational, wenn eine Quadratzahl ist. Ist keine Quadratzahl, dann ist $\sqrt{n}$ irrational und gehört zu $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ . Zum Beispiel gilt $\sqrt{4}=2\in\mathbb{N}$ , aber $\sqrt{2}\notin\mathbb{Q}$ und liegt nur in $\mathbb{R}$ .