Du verstehst nicht, wie du boolesche Algebra vereinfachen kannst? Wir zeigen dir, wie du die Gleichungen ganz einfachen umformen kannst.
Inhaltsübersicht
Boolesche Algebra vereinfachen Beispiel
Beginnen wir doch gleich mit einem Beispiel. Nehmen wir an, wir haben folgenden Schaltkreis vor uns liegen:
Schauen wir uns die Schaltung doch einmal genau an. Wir haben zwei Inputs A und B. Input A wird zunächst aufgeteilt und mithilfe eines NOT-Gatters invertiert. Anschließend folgt oben ein NAND-Gatter mit Input A und B. Darunter haben wir ein NOR-Gatter mit den Inputs B und nicht A. Das Output dieser beider Gatter stellt wiederum das Input für das Oder-Gatter am Ende dar. Hast du auch alle Gatter gleich erkannt?
Darstellung in algebraischer Form
Nun versuchen wir die Schaltung in algebraischer Form darzustellen. Für das NAND-Gatter oben erhalten wir Nicht A und B, für das NOR-Gatter Nicht (Nicht A oder B). Das Oder-Gatter am Ende führt lediglich zu einer Addition beider Outputs. Das heißt unsere Funktion für die Schaltung ist:
Mithilfe der De Morganschen Gesetze wollen wir diese Gleichung nun vereinfachen.
Wir wenden zunächst das 1. Gesetz auf den ersten Teil der Gleichung an und das 2. Gesetz auf den zweiten Teil der Gleichung. Somit erhalten wir folgende Funktion:
Durch die boolschen Algebra Regeln wissen wir, dass Nicht (Nicht A) gleich A ist. Nun klammern wir 
aus. Eine Variable plus 1 ergibt in der booleschen Algebra immer 1, deshalb können wir den letzten Term streichen. Nun wenden wir wieder das 1. De Morgansche Gesetz an, diesmal allerdings anders herum. Wir erhalten folgenden algebraischen Ausdruck:
Dieser Ausdruck entspricht der Gleichung für die Funktion eines NAND-Gatters. Du kannst also das obige Schaltsystem einfach durch ein solches ersetzen und hast somit drei weitere Bauteile eingespart. Dies ist der Grund warum die De Morganschen Gesetze in der Digitaltechnik sehr wichtig sind.
Wir haben nun gelernt, wie wir die De Morganschen Gesetze anwenden können und dies mit unseren Kenntnissen über Logikgatter und die boolschen Algebra-Gesetze verknüpft.
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Boolesche Algebra vereinfachen — häufigste Fragen
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Boolesche Algebra vereinfachen — häufigste Fragen
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Was ist Boolesche Algebra?Boolesche Algebra ist ein Rechensystem für logische Aussagen mit den Werten
und 
. Boolesche Algebra nutzt Operationen wie NICHT (
), UND (
) und ODER (
), um Ausdrücke zu beschreiben und umzuformen. In der Digitaltechnik dient sie dazu, Schaltnetze als Formeln zu schreiben und zu vereinfachen.
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Was sind boolesche Funktionen?Boolesche Funktionen sind Abbildungen, die aus Eingangswerten/ einen Ausgangswert / berechnen. Die Eingänge stehen meist als Variablen wie
und 
in einer Formel und der Funktionswert 
ist der Output. Jede Kombination aus Logikgattern entspricht so einer booleschen Funktion.
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Was ist eine boolesche Gleichung?Eine boolesche Gleichung ist eine Aussage, dass zwei boolesche Ausdrücke denselben Wahrheitswert liefern. Das Gleichheitszeichen bedeutet hier: Für jede Belegung der Variablen mit oder haben beide Seiten denselben Output. So kann man einen Term durch einen gleichwertigen, oft kürzeren Term ersetzen.
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Wie wendet man die De Morganschen Gesetze bei negierten Klammern richtig an?Die De Morganschen Gesetze wendet man bei negierten Klammern an, indem man die Negation auf alle Teile in der Klammer verteilt und dabei UND und ODER vertauscht. Konkret:
wird zu 
und 
wird zu 
.
Digitaltechnik verstehen
Boolesche Algebra gehört zur Digitaltechnik und ist die Grundlage für logische Schaltungen. Wer sich mit Digitaltechnik beschäftigt, arbeitet mit Signalen, Gattern und logischen Verknüpfungen in Schaltungen. Dabei wird klar, wie aus Eingängen ein Output entsteht und wie sich Funktionen als Terme darstellen lassen. Im Informatikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.
