Zahlenmengen

Q: Was sind natürliche Zahlen?

Natürliche Zahlen () sind die positiven ganzen Zahlen, also . Die gehört in dieser Schreibweise nicht dazu; dafür nutzt man oft die Menge der natürlichen Zahlen mit , .

Q: Was sind reelle Zahlen?

Reelle Zahlen () sind alle Zahlen, die man auf einer Zahlengeraden darstellen kann. Dazu gehören rationale Zahlen wie Brüche und endliche oder periodische Dezimalzahlen sowie irrationale Zahlen wie oder mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Zahlen mit „i“ sind nicht reell.

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Was ist eine Zahlenmenge?

Du fragst dich, was Zahlenmengen sind? Hier und im Video zeigen wir dir, welche Zahlenmengen es gibt und wie sie sich unterscheiden.

Eine Zahlenmenge ist eine Gruppe von Zahlen, die bestimmte gemeinsame Eigenschaften haben. Sie zeigt dir zum Beispiel, welche Zahlen du in eine Funktion einsetzen darfst.

Insgesamt gibt es sechs Zahlenmengen:

Das Diagramm zeigt die Beziehungen der Zahlenmengen von den natürlichen Zahlen bis zu den komplexen Zahlen. In den natürlichen Zahlen N sind die Zahlen 3, 6 und 54 dargestellt. In den ganzen Zahlen Z kommen zusätzlich 0, minus 13, minus 34 und minus 66 hinzu. In den rationalen Zahlen Q sind außerdem 1 Halb, 0 Komma 6, minus 4 und 2 Drittel sowie 0 Periode 33 eingeordnet. In den reellen Zahlen R befinden sich zusätzlich Pi, Wurzel aus 2, Wurzel aus 7 und die Eulersche Zahl e. In den komplexen Zahlen C sind außerdem die Zahlen i, Pi mal i, 4 plus 5 i und 7 plus i dargestellt. — Zahlenmengen

Natürliche Zahlen $\mathbb{N}$
Natürliche Zahlen mit 0 $\mathbb{N}_0$
Ganze Zahlen $\mathbb{Z}$
Rationale Zahlen $\mathbb{Q}$
Reelle Zahlen $\mathbb{R}$
Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$

Beziehung zwischen den Zahlenmengen

Die Zahlenmengen bauen aufeinander auf. Das bedeutet, dass jede Zahlenmenge in der nächstgrößeren enthalten ist. Es gilt also:

$\textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \subset \textcolor{red}{\mathbb{Q}} \subset \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \subset \textcolor{green}{\mathbb{C}}$

Beispiel: Zu welcher Zahlenmenge gehört die Zahl 0,25?

Die Zahl 0,25 gehört zu den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ , da sie als Bruch dargestellt werden kann: 0,25 entspricht $\frac{25}{100}$ und lässt sich zu $\frac{1}{4}$ kürzen.

Da alle rationalen Zahlen gleichzeitig auch reelle Zahlen $\mathbb{R}$ und komplexe Zahlen $\mathbb{C}$ sind, gehört 0,25 ebenfalls zu diesen Zahlenmengen.

Die Zahl 0,25 gehört jedoch nicht zu den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ und nicht zu den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ , da sie keine ganze Zahl ist.

Übersicht der Zahlenmengen als Tabelle

In der folgenden Tabelle siehst du die sechs Zahlenmengen im Überblick:

Zahlenmenge	Elemente	Erklärung
Natürliche Zahlen	$\textcolor{blue}{\mathbb{N}}$ = {1; 2; 3; 4; …}	alle positiven ganzen Zahlen ohne Null
Natürliche Zahlen mit 0	$\textcolor{teal}{\mathbb{N}_0}$ = {0; 1; 2; 3; 4; …}	alle positiven ganzen Zahlen mit Null
Ganze Zahlen	$\textcolor{olive}{\mathbb{Z}}$ = {…; -2; -1; 0; 1; 2; …}	alle ganzen Zahlen: negative, positive und Null
Rationale Zahlen	$\textcolor{red}{\mathbb{Q}}$ = {… ; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1}	alle ganzen Zahlen und alle Brüche aus ganzen Zahlen
Irrationale Zahlen	$\mathbb{I}$ = {… ; -√2; e; π; …}	alle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen hinter dem Komma, ohne periodische Abfolge, auch π und die Eulersche Zahl e können nicht als Bruch dargestellt werden
Reelle Zahlen	$\textcolor{magenta}{\mathbb{R}}$ = {… ; -2 ⅖ ; ⅞; 0; 1; -√2; e; π; …}	alle Zahlen, die auf einer Zahlengeraden abgebildet werden können sowie Brüche und nicht periodische Dezimalzahlen
Komplexe Zahlen	$\textcolor{green}{\mathbb{C}}$ = {… ; -5 +2i; e^iπ; 0; √-1; …}	alle Zahlen der Form: a + bi a: reelle Zahl b: reelle Zahl i: imaginäre Zahl, für die gilt: i² = -1

Rationale vs. Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen sind alle Zahlen, die sich als Bruch schreiben lassen. Irrationale Zahlen dagegen lassen sich nicht als Bruch darstellen. Ihre Nachkommastellen gehen unendlich weiter und folgen keinem erkennbaren Muster.

Das klassische Beispiel für irrationale Zahlen ist die Kreiszahl π = 3,14159265358979323…

Zusammenfassung — Zahlenmengen

Hier siehst du die wichtigsten Grundlagen zusammengefasst:

Du kannst dir die Übersicht auch hier kostenlos herunterladen!

Zahlenmengen — häufigste Fragen

Was sind natürliche Zahlen?

Natürliche Zahlen ( $\mathbb{N}$ ) sind die positiven ganzen Zahlen, also $1, 2, 3, 4, \dots$ . Die

gehört in dieser Schreibweise nicht dazu; dafür nutzt man oft die Menge der natürlichen Zahlen mit

, $\mathbb{N}_0 = \{0, 1, 2, \dots\}$ .

Was sind reelle Zahlen?

Reelle Zahlen ( $\mathbb{R}$ ) sind alle Zahlen, die man auf einer Zahlengeraden darstellen kann. Dazu gehören rationale Zahlen wie Brüche und endliche oder periodische Dezimalzahlen sowie irrationale Zahlen wie $\pi$ oder $\sqrt{2}$ mit unendlich vielen, nicht periodischen Nachkommastellen. Zahlen mit „i“ sind nicht reell.

Wie kann man Zahlenmengen zuordnen?

Man ordnet eine Zahl zu, indem man schaut, ob sie eine positive ganze Zahl ( $\mathbb{N}$ ),

oder eine ganze Zahl ( $\mathbb{N}_0, \mathbb{Z}$ ), als Bruch schreibbar ( $\mathbb{Q}$ ) oder nur als nicht periodische Dezimalzahl (irrational, also $\mathbb{R}$ ) ist; enthält sie „i“, liegt sie in $\mathbb{C}$ . Zum Beispiel ist $0{,}25 = \frac{1}{4}$ in $\mathbb{Q}$ und damit auch in $\mathbb{R}$ und $\mathbb{C}$ .

Primzahlen

Primzahlen gehören zu den natürlichen Zahlen. Was Primzahlen ausmacht und wie du sie erkennst, zeigen wir dir hier!