Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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%Korrekturgelesen werden muss nur das EE, "Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden" und "Expertenwissen:..".Hier erfährst du alles, was du über die Menge der ganzen Zahlen wissen musst. Schau dir auch unser passendes Video an!

Was sind ganze Zahlen?

Zu den ganzen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen , die Null und die negativen Zahlen. Das sind zum Beispiel 13, 0 und -4. Sie müssen immer „ganz“ sein:  Zahlen mit einem Komma und Nachkommastellen — wie zum Beispiel 1,5 — zählst du deshalb nicht dazu.

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Die ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden

Die Zahlen haben immer ein Vorzeichen, entweder ein „+“ oder ein „„. Das „+“ lässt du aber meistens weg.

Du kannst die Menge der ganzen Zahlen mathematisch als Z mit Doppelstrich schreiben:

    \[ \mathbb{Z} = \{\textcolor{red}{\dots, -3, -2, -1}, 0, \textcolor{teal}{1, 2, 3, \dots}\} \]

Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden

Du kannst positive und negative Zahlen auf einer Zahlengeraden von klein nach groß anordnen. Die negativen Zahlen stehen dabei links von der 0 und die positiven rechts. Alle Zahlen haben immer den gleichen Abstand voneinander. 

%Gleiches Bild wie im EEJe weiter rechts eine Zahl ist, desto größer ist sie. Die -2 ist also größer als die -5. Du kannst dir das mithilfe der Temperatur merken: Wenn es draußen -2 Grad hat, ist das wärmer, als wenn es -5 Grad hat — die Temperatur ist also größer. 

Übrigens: Die Zahlen mit dem jeweils anderen Vorzeichen, also zum Beispiel die 5 und die -5, nennst du auch Gegenzahlen. Die Menge \mathbb{Z} enthält also die natürlichen Zahlen, ihre Gegenzahlen und die 0. Manchmal bezeichnest du die Gegenzahl einer natürlichen Zahl auch als unnatürliche Zahl.

Aber wie kannst du mit diesen Zahlen rechnen? Das erfährst du jetzt!

Rechnen mit ganzen Zahlen

Du kannst positive Zahlen und ihre Gegenzahlen multiplizieren, dividieren, subtrahieren und addieren. Schau dir dazu ein paar Beispiele mit den Grundrechenarten an. 

Plus und Minus Rechnen 

Löse die Aufgaben durch Addition und Subtraktion!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{-5 + 2 &= ?} \\ \textcolor{green}{-1-1 &= ?} \\ \textcolor{red}{+7-4 &= ?} \end{align*}

Schaue dir zuerst \textcolor{blue}{-5+2} an. Du startest auf deinem Zahlenstrahl bei -5 und gehst 2 Schritte nach rechts. Du kommst bei -5+2=-3 heraus.

Wie rechnest du \textcolor{green}{-1-1}? Du beginnst auf dem Zahlenstrahl bei -1. Danach gehst du 1 Schritt nach links. Dein Ergebnis ist also -1-1=-2.

Zuletzt rechnest du noch \textcolor{red}{+7-4}. Du fängst auf deinem Zahlenstrahl bei +7 an. Jetzt gehst du 4 Schritte nach links und kommst bei +7-4=+3 an.

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Zahlenstrahl: Rechnen mit negativen Zahlen

Mal Rechnen

Wie sieht es mit der Multiplikation mit negativen Zahlen aus? Beim Multiplizieren musst du auf das Vorzeichen aufpassen!

Zahlen multiplizieren

Passe beim Multiplizieren auf die Vorzeichen auf!

  • Plus mal Plus ist Plus.
  • Plus und Minus ergibt Minus. / Minus und Plus ergibt Minus.
  • Minus mal Minus ergibt Plus.

Wir haben dir noch ein paar Beispiele mit Minus mal Plus und Minus mal Minus herausgesucht:

    \begin{align*} 2 \cdot 3 &= +6 \\ 2 \cdot -3 &= -6 \\ -2 \cdot 3 &= -6 \\ -2 \cdot -3 &= +6 \end{align*}

Geteilt Rechnen

Beim Dividieren musst du aufpassen: Du kannst ganze Zahlen nur durcheinander teilen, wenn der Divisor ein Teiler des Dividenden ist.

Zahlen dividieren

Auch bei der Division ist das Vorzeichen entscheidend:

  • Plus geteilt durch Plus ist Plus.
  • Plus und Minus ergibt Minus. / Minus und Plus ergibt Minus.
  • Minus geteilt durch Minus ergibt Plus.

Hier kannst du dein Wissen in ein paar Beispielen testen:

    \begin{align*} \textcolor{blue}{10} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{5}} &= +2 \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{5}} &= -2 \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot \textcolor{red}{-\frac{1}{5}} &= +2 \end{align*}

Expertenwissen: Teilmengen der ganzen Zahlen

Du kennst schon die Schreibweise mit dem Z-Zeichen:

Ganze Zahlen Definition

    \[ \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} = \{\dots; -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \]

\mathbb{Z} beinhaltet also alle natürlichen Zahlen 1, 2, 3, … Die kannst du mathematisch mit einem N mit Doppelstrich bezeichnen:

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} = \{1, 2, 3, \dots\} \]

Möchtest du die 0 noch mit dazunehmen, ergibt sich die Menge:

    \[ \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} = \{0, 1; 2, 3, \dots\} \]

Weil die Menge der natürlichen Zahlen und die 0 komplett in den ganzen Zahlen enthalten sind, kannst du schreiben:

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \, \text{und} \, \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \]

Sprich: \textcolor{blue}{\mathbb{N}} ist eine Teilmenge von \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}

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Zahlenmengen

Es gibt aber noch weitere Teilmengen von \mathbb{Z}. Du siehst sie in der Tabelle:

Zeichen Beschreibung der Menge enthaltene Zahlen

    \[\mathbb{Z}^+\]

nur positive Zahlen {1, 2, 3, …}

    \[\mathbb{Z}^-\]

nur negative Zahlen {…, -3, -2, -1}

    \[\mathbb{Z}^*\]

ganze Zahlen ohne 0 {…, -3, -2, -1, 1, 2, 3, …}

    \[\mathbb{Z}_0^+\]

positive Zahlen mit 0 {0, 1, 2, 3, …}

    \[\mathbb{Z}_0^-\]

negative Zahlen mit 0 {…, -3, -2, -1, 0}

Rationale Zahlen

Mit rationalen Zahlen kannst du ganze Zahlen durcheinander dividieren, selbst wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben. Schaue dir gleich unser passendes Video  an!

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