Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Übersicht Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Irrationale Zahlen Reelle Zahlen

Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Das sind die Zahlenmengen. Hier zeigen wir dir, was du über die Menge der ganzen Zahlen wissen musst. Schaue dir auch unser passendes Video an!

Was sind ganze Zahlen?

Die Menge der ganzen Zahlen enthält die Zahl 0, alle natürliche Zahlen  \textcolor{blue}{\mathbb{N}} und ihre Gegenzahlen. Die Gegenzahlen sind die natürlichen Zahlen mit negativen Vorzeichen. Sie sind also unnatürliche Zahlen. Diese Menge kannst du mit dem ganze Zahlen Zeichen \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} darstellen.

    \[ \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\} \]

Jede natürliche Zahl ist also auch eine ganze Zahl: Die natürlichen Zahlen sind eine Untermenge der Zahlenmenge Z.

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{N}} \subset \textcolor{teal}{\mathbb{N}_0} \subset \textcolor{olive}{\mathbb{Z}} \]

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Zahlenmengen
Ganze Zahlen Definition

Eine ganze Zahl ist entweder eine natürliche Zahl (1, 2, 3, …), die Gegenzahl einer natürlichen Zahl (-1, -2, -3, …) oder 0.

Rechnen mit negativen Zahlen

Weil die Menge der ganzen Zahlen auch die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen enthält, kannst du mit diesen negativen Zahlen multiplizieren, subtrahieren und addieren. Schauen wir uns dazu ein paar Beispiele mit den Grundrechenarten an. 

Plus und Minus Rechnen mit ganzen Zahlen

Löse die Aufgaben durch Addition und Subtraktion!

    \begin{align*} \textcolor{blue}{-5 + 2 &= ?} \\ \textcolor{green}{-1-1 &= ?} \\ \textcolor{red}{+7-4 &= ?} \end{align*}

Schaue dir zuerst \textcolor{blue}{-5+2} an. Du startest auf deinem Zahlenstrahl bei -5 und gehst 2 Schritte nach rechts. Du kommst bei -5+2=-3 heraus.

Wie rechnest du \textcolor{green}{-1-1}? Du beginnst auf dem Zahlenstrahl bei -1. Danach gehst du 1 Schritt nach links. Dein Ergebnis ist also -1-1=-2.

Zuletzt rechnest du noch \textcolor{red}{+7-4}. Du fängst auf deinem Zahlenstrahl bei +7 an. Jetzt gehst du 4 Schritte nach links und kommst bei +7-4=+3 an.

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Zahlenstrahl: Rechnen mit negativen Zahlen.

Mal Rechnen mit ganzen Zahlen

Wie sieht es mit der Multiplikation mit negativen Zahlen aus? Beim Multiplizieren musst du auf das Vorzeichen aufpassen!

Negative Zahlen multiplizieren

Passe beim Multiplizieren von ganzen Zahlen auf ihre Vorzeichen auf!

  • Plus mal Plus ist Plus.
  • Plus und Minus ergibt Minus. / Minus und Plus ergibt Minus.
  • Minus mal Minus ergibt Plus.

Wir haben dir noch ein paar Beispiele mit Minus mal Plus und Minus mal Minus herausgesucht:

    \begin{align*} 2 \cdot 3 &= +6 \\ 2 \cdot -3 &= -6 \\ -2 \cdot 3 &= -6 \\ -2 \cdot -3 &= +6 \end{align*}

Geteilt Rechnen mit ganzen Zahlen

Beim Dividieren musst du aufpassen: Du kannst ganze Zahlen nur durcheinander teilen, wenn der Divisor ein Teiler des Dividend ist. 

Negative Zahlen dividieren

Auch bei der Division von ganzen Zahlen ist das Vorzeichen entscheidend:

  • Plus geteilt durch Plus ist Plus.
  • Plus und Minus ergibt Minus. / Minus und Plus ergibt Minus.
  • Minus geteilt durch Minus ergibt Plus.

Hier kannst du dein Wissen in ein paar Beispielen testen:

    \begin{align*} \textcolor{blue}{10} \cdot \textcolor{red}{5} &= +2 \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot \textcolor{red}{5} &= -2 \\ \textcolor{blue}{-10} \cdot \textcolor{red}{-5} &= +2 \end{align*}

Rationale Zahlen

Mit rationalen Zahlen kannst du ganze Zahlen durcheinander dividieren, selbst wenn sie keinen gemeinsamen Teiler haben. Schaue dir gleich unser passendes Video  an!

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