Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Magisches Quadrat einfach erklärt

Ein magisches Quadrat musst du so ausfüllen, dass die Summe jeder Spalte, jeder Zeile und der beiden Diagonalen die selbe Zahl ergeben. Das ist die sogenannte magische Zahl.

Bei einem magischen 3×3-Quadrat ergibt zum Beispiel jede Zeile, Spalte und Diagonale 15. Außerdem kommen nur die Zahlen von 1 bis 9 vor – du hast ja auch genau 9 Felder.

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Die magische Zahl
Magisches Quadrat — Definition

Ein magisches Quadrat ist ein Quadrat der Seitenlänge n. Deine Aufgabe ist es, die n2 Felder so mit Zahlen zu füllen, dass die Summe jeder Zeile, jeder Spalte, sowie der beiden Diagonalen genau denselben Wert ergeben: Die sogenannte magische Zahl. In der Regel soll dabei jede Zahl zwischen 1 und n2 genau einmal vorkommen.

Magische Zahl berechnen

Die magische Zahl kannst du auch berechnen, ohne die Lösung des Zauberquadrates zu kennen. Dafür musst du nur das n in der folgenden Formel durch die Seitenlänge deines magischen Quadrates ersetzen.

Magische Zahl = ½ · n · (n2 + 1)
n = Seitenlänge

Für ein magisches Quadrat 3×3, würdest du also n = 3 einsetzen:

½ · 3 · (32 + 1) = 15

Das Ergebnis 15 ist dann die magische Zahl für ein Zauberquadrat der Seitenlänge 3. 

Jetzt weißt du schon, wie du bei einem Zauberquadrat die magische Zahl berechnest. Es bleibt aber die entscheidende Frage: Wie geht ein magisches Quadrat? Wir stellen dir im Folgenden drei Lösungsstrategien vor. Welche davon du anwenden musst, um dein magisches Quadrat zu lösen, hängt von dessen Seitenlänge n ab.

Magisches Quadrat — Lösung für ungerades n

Wenn das magische Quadrat, das du lösen willst, als Seitenlänge eine ungerade Zahl n hat, kannst du die folgende Methode nutzen. Schau dir am Beispiel eines 3×3-Magischen-Quadrats an, wie sie funktioniert. 

Schritt 1:
Beginne mit der kleinsten Zahl (hier: 1) und schreibe sie ins mittlere Feld der ersten Zeile des magischen Quadrats. 

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Kleinste Zahl eintragen

Schritt 2:
Nun trägst du die weiteren Zahlen in aufsteigender Reihenfolge ins Zauberquadrat ein und zwar nach folgendem Schema

Gehe jeweils von dem Feld, wo du gerade eine Zahl eingetragen hast, eine Spalte nach rechts und eine Zeile nach oben. Dort schreibst du dann die nächste Zahl in das magische Quadrat hinein. 

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1-nach-rechts-1-nach-oben-Schema

Achtung Sonderfälle:

  • Landest du mit einem 1-nach-rechts-1-nach-oben-Schritt oberhalb der ersten Zeile, trägst du die Zahl in der untersten Zeile der selben Spalte innerhalb des magischen Quadrates ein. (Beispiel: 2)
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1. Sonderfall
  • Kommst du rechts neben dem magischen Quadrat heraus, trägst du die Zahl stattdessen in  der selben Zeile in die Spalte ganz links ins Zahlenquadrat ein. (Beispiel: 3)
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2. Sonderfall
  • Ist das Kästchen, wo du die Zahl eigentlich eintragen müsstest, bereits durch eine andere Zahl belegt, schreibst du sie stattdessen in das Kästchen direkt unter ihre Vorgängerzahl ins magische Quadrat. (Beispiel: 4)
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3. Sonderfall

Vorsicht: Mehrere Sonderfälle auf einmal sind auch möglich!

Schritt 3: 
Wenn du das magische Quadrat komplett ausgefüllt hast, kannst du überprüfen, ob die Summe jeder Spalte, Zeile und Diagonale die magische Zahl (Beispiel: 15) ergibt.

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Mit der magischen Zahl überprüfen

Das war schon die ganze Magie. Du hast das magische Quadrat gelöst!

Magisches Quadrat — Lösung für gerades n

Hier kannst du nachschauen, wenn die Seitenlänge n deines Zauberquadrates durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist. So kannst du beispielsweise ein magisches Quadrat der Größe 6×6 lösen. 

Schritt 1: 
Teile das magische Quadrat in vier gleich große Teilquadrate der Seitenlänge \frac{n}{2} mit jeweils \frac{n^2}{4} Kästchen. (Beispiel: vier 3×3-Teilquadrate mit jeweils 9 Kästchen)

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Vier 3×3 Teilquadrate

Schritt 2: 
Die vier kleineren Zahlenquadrate kannst du nun mit der Methode zur Lösung magischer Quadrate mit ungeradem n als Seitenlänge (s. oben) lösen. Dabei verwendest du…

  • …  die ersten \frac{n^2}{4} Zahlen  für das Quadrat links oben.
    (Beispiel: 1-9)
  • …  die nächsten \frac{n^2}{4} Zahlen für das Quadrat rechts unten. 
    (Beispiel: 10-18)
  • … die folgenden \frac{n^2}{4} Zahlen für das Quadrat rechts oben
    (Beispiel: 19-27)
  • … die letzten \frac{n^2}{4} Zahlen für das Quadrat links unten
    (Beispiel: 28-36)
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Teilquadrate separat lösen

Achtung: Behandle die einzelnen Teilquadrate separat! Landest du also in einem Feld, das zwar innerhalb des großen Zauberquadrates liegt, aber außerhalb des Teilquadrates, das du gerade betrachtest, greifen die Sonderfälle von oben! (Beispiel: 30)

Schritt 3: 
Wenn du das Ergebnis jetzt mit der magischen Zahl (Beispiel: 111) überprüfst, stellst du fest, dass das leider noch nicht die endgültige Lösung des magischen Quadrates ist: Du musst noch einige Zahlen tauschen!

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Abschließendes Tauschen

Im Beispiel betrifft es die Quadrate links oben und links unten. Tausche hier…

  • 8 gegen 35
  • 5 gegen 32
  • 4 gegen 31
 
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Fertig!

Magisches Quadrat — Lösung für durch 4 teilbares n 

Zum Abschluss zeigen wir dir noch den Lösungsweg für magische Quadrate, deren Seitenlänge n durch 4 teilbar ist. Hier kannst du die einzelnen Schritte am Beispiel des Magischen Quadrats 8×8 nachvollziehen. 

Schritt 1: 
Markiere folgende Stellen im magischen Quadrat:

  • In jeder Ecke des Zahlenquadrats, ein kleines Quadrat der Seitenlänge \frac{n}{4}. (Beispiel: Seitenlänge \frac{8}{4}=2)
  • In der Mitte des magischen Quadrates, ein kleineres Quadrat der Seitenlänge \frac{n}{2}. (Beispiel: Seitenlänge \frac{8}{2} =4)
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Markierungen setzen

Schritt 2: 
Du beginnst nun oben rechts die Kästchen Zeile für Zeile von rechts nach links mit den Zahlen 1 bis ndurchzuzählen (Beispiel: 1 bis 64). Triffst du dabei auf ein Kästchen, dass im ersten Schritt markiert wurde, kannst du die entsprechende Zahl eintragen. Die nicht markierten Felder im magischen Quadrat lässt du erstmal frei.

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Durchzählen und markierte Kästchen füllen

Schritt 3: 
Für die nicht markierten Felder des Zauberquadrats zählst du nun nochmal durch. Diesmal allerdings rückwärts (Beispiel: 64 bis 1). Dabei schreibst du die jeweiligen Zahlen in die noch freien Felder im magischen Quadrat.

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Rückwärts durchzählen und freie Felder füllen

Schritt 4:
Wenn du die Zahlen einer Zeile, Spalte oder Diagonale im magischen Quadrat aufsummierst, stellst du fest, dass immer derselbe Wert herauskommt. 
(Beispiel: 260 = \frac{1}{2} \cdot \textcolor{red}{8} \cdot (\textcolor{red}{8}^2 + 1)) Das ist genau die magische Zahl, wie du sie mit der Formel (s. oben) berechnen kannst. Passt also!

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Magisches Quadrat vollständig ausgefüllt

Jetzt bist du schon ein Profi im Zauberquadrate lösen!

Aber vielleicht begegnen dir auch etwas andere Aufgabenstellungen im Zusammenhang mit Zahlenquadraten. Es kann zum Beispiel vorkommen, dass du ein magisches Quadrat der Seitenlänge n nicht mit 1 bis n2, sondern mit festgelegten oder beliebigen anderen Zahlen füllen sollst. Möglicherweise darfst du Zahlen sogar mehrfach verwenden. Die magische Zahl, die dabei als Summe der Zeilen, Spalten und Diagonalen erreicht werden muss, ist dann vorgegeben. 

Magische Quadrate vervollständigen

Manchmal bekommst du auch die Aufgabe, ein halbfertiges Zahlenquadrat zu vervollständigen. Wie du dann die Lösung des magischen Quadrates findest, verstehst du mit dem folgenden Beispiel

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Halbfertiges magisches Quadrat

Schritt 1: 
Falls keine magische Zahl vorgegeben ist, kannst du überprüfen, ob schon eine Zeile, Spalte oder Diagonale des magischen Quadrats komplett ausgefüllt ist. Dann erhältst du die magische Zahl, indem du einfach alle Zahlen darin zusammenrechnest.

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Magische Zahl ermitteln

Schritt 2: 
Fehlt nur noch eine Zahl in einer Zeile, Spalte oder Diagonale des Zahlenquadrates, kannst du diese mit dem Wissen aus Schritt 1 direkt berechnen
Dazu ziehst du einfach die Summe der anderen Zahlen darin von der magischen Zahl des Zauberquadrates ab (Beispiel: 15-(8+6) = 1 vervollständigt die erste Zeile, 15-(6+2) = 7 die dritte Spalte, 15-(6+5) = 4 die Diagonale).

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Einzelne fehlende Zahlen ergänzen

Schritt 3:
Die neuen Informationen helfen dir weitere Lücken im Zahlenquadrat zu füllen (Beispiel: 15-(8+4) = 3 in der ersten Spalte, 15-(4+2) = 9 in der dritten Zeile).

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Restliche Lücken füllen

Übrigens: Du hast immer auch die Möglichkeit, magische Quadrate durch Ausprobieren zu lösen und so deinen eigenen Weg zu finden.
Beachte dafür die Tricks aus der Anleitung für halbfertige Zauberquadrate und balanciere große und kleine Zahlen geschickt aus!

Primzahlen

In der Mathematik gibt es noch viele weitere spannende Dinge zu entdecken! Auch die Primzahlen haben etwas Magisches an sich. Schau dir am besten gleich unser Video dazu an!

Zum Video: Primzahlen
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