Rationale Zahlen
Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Du kannst sie in unterschiedlichen Zahlenmengen zusammenfassen. Hier zeigen wir dir, was du über die Menge der rationalen Zahlen wissen musst. Schaue dir auch unser passendes Video an!
Inhaltsübersicht
Was sind rationale Zahlen?
Eine Zahl ist rational, wenn du sie als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen
(…, -2, -1, 0, 1, 2, …) schreiben kannst. Dazu gehören auch negative Zahlen und gemischte Zahlen bzw. gemischte Brüche! Das Symbol der rationalen Zahlen ist ein 
.
Rationale Zahlen Beispiele:
![\[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \left\{ \dots; -6; -5,45; -3; \frac{-26}{9}; 0; \frac{1}{2}; 2,88; 3; \frac{17}{4}; 7; \frac{23}{3}; \dots \right\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b9463c00f63b0a20d347ca82138b3297_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Eine Zahl ist rational, wenn du sie als einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen a und b schreiben kannst. Vergiss nicht, dass auch ganze Zahlen und Dezimalzahlen zu der Menge der rationalen Zahlen gehören.
![\[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{a}{b}; a \in \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}; b \in \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}\backslash\{0\} \right\}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-127d6984909ae48bfcb57f9ab7da4e6f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
a nennst du den Zähler und b den Nenner.
Du siehst, dass ganze Zahlen und natürliche Zahlen auch zu den rationalen Zahlen gehören, weil du sie als unechten Bruch (z.B. 
, 
) schreiben kannst. Damit sind die rationalen Zahlen eine Erweiterung der ganzen Zahlen.
Rechnen mit rationalen Zahlen
Weil die rationalen Zahlen auch Bruchzahlen enthalten, kannst du mit ihnen alle Grundrechenarten benutzen: Addition (Plus), Subtraktion (Minus), Multiplikation (Mal) und Division (Geteilt).
Du kannst jede dieser Rechenarten mit jeder rationalen Zahl benutzen und bekommst als Ergebnis immer eine rationale Zahl heraus. Mathematiker nennen die rationalen Zahlen deswegen abgeschlossen. Multiplizierst du 1 Fünftel und 3 Viertel (beides rational) bekommst du 3 Zwanzigstel (auch eine rationale Zahl).
![\[ \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3b73998444ddb631fce7bb914ebe1d94_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Rationale Zahlen multiplizieren kann aber auch knifflig sein. Du musst auf die Vorzeichen aufpassen, weil das Rechnen mit negativen Zahlen das Vorzeichen von deinem Ergebnis ändert.
- Plus mal Plus bleibt Plus:
. - Plus mal Minus / Minus mal Plus ergibt Minus:
. -
Minus mal Minus
ist Plus:
.
Was ist eine Dezimalzahl?
Du kannst gebrochene Zahlen auch als Kommazahl (Dezimalzahl) schreiben. 1 Fünftel ist zum Beispiel 0,2 und 14 Zehntel sind 1,4.
1 Drittel ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. 1 Drittel als Dezimalzahl ist also eine 0 mit unendlich vielen 3ern hinter dem Komma. Weil du nicht unendlich viele 3en ausschreiben kannst, malst du einen Strich über die 3. Das sind sogenannte periodische Dezimalzahlen.
![\[ \frac{1}{3} = 0,333 333 33\dots = 0,\bar{3} \]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a2cbb6acd9460eb0c8e0c46196d672b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Eine Dezimalzahl ist dann rational, wenn sie entweder
- endlich viele Nachkommastellen (z.B. 0,2 oder 1,4) oder
- unendliche Nachkommastellen, die sich mit einem regelmäßigen Muster wiederholen (z.B.
oder 
), hat.
Zahlen, die sich so wiederholen, heißen periodische Zahlen und sind rational.
Reelle Zahlen
Es gibt aber noch viel mehr Zahlenmengen als die rationalen Zahlen. Es gibt auch welche, die sich nicht als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben lassen. Die findest du dann in der Menge der reellen Zahlen . Schaue dir gleich unser Video dazu an!