Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Du kannst sie in unterschiedlichen Zahlenmengen zusammenfassen. Hier zeigen wir dir, was du über die Menge der rationalen Zahlen wissen musst.% Schaue dir auch unser passendes Video an! Schaue dir auch unser passendes Video an!

Was sind rationale Zahlen?

Eine Zahl ist rational, wenn du sie als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen  (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) schreiben kannst. Dazu gehören auch negative Zahlen und gemischte Zahlen bzw. gemischte Brüche! Das Symbol der rationalen Zahlen ist ein \textcolor{red}{\mathbb{Q}}.

Rationale Zahlen Beispiele: 

    \[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \left\{ \dots; -6; -5,45; -3; \frac{-26}{9}; 0; \frac{1}{2}; 2,88; 3; \frac{17}{4}; 7; \frac{23}{3}; \dots  \right\}\]

Rationale Zahlen Definition

Eine Zahl ist rational, wenn du sie als einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen a und b schreiben kannst. Vergiss nicht, dass auch ganze Zahlen und Dezimalzahlen zu der Menge der rationalen Zahlen gehören.

    \[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \left\{ \frac{a}{b}; a \in \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}; b \in \textcolor{olive}{\mathbb{Z}}\backslash\{0\} \right\}\]

a nennst du den Zähler und b den Nenner.

Du siehst, dass ganze Zahlen und natürliche Zahlen auch zu den rationalen Zahlen gehören, weil du sie als unechten Bruch (z.B. \frac{3}{1}=3, \frac{14}{1}=14) schreiben kannst. Damit sind die rationalen Zahlen eine Erweiterung der ganzen Zahlen.

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Die rationalen Zahlen (blau) liegen auf dem Zahlenstrahl zwischen den ganzen Zahlen (schwarz).

Rechnen mit rationalen Zahlen

Weil die rationalen Zahlen auch Bruchzahlen enthalten, kannst du mit ihnen alle Grundrechenarten benutzen: Addition (Plus), Subtraktion (Minus), Multiplikation (Mal) und Division (Geteilt).

Du kannst jede dieser Rechenarten mit jeder rationalen Zahl benutzen und bekommst als Ergebnis immer eine rationale Zahl heraus. Mathematiker nennen die rationalen Zahlen deswegen abgeschlossen. Multiplizierst du 1 Fünftel und 3 Viertel (beides rational) bekommst du 3 Zwanzigstel (auch eine rationale Zahl).

    \[ \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{20} \]

Rationale Zahlen Regeln

Rationale Zahlen multiplizieren kann aber auch knifflig sein. Du musst auf die Vorzeichen aufpassen, weil das Rechnen mit negativen Zahlen das Vorzeichen von deinem Ergebnis ändert.

  • Plus mal Plus bleibt Plus: \left(+\nicefrac{3}{2}\right)\cdot\left(+\nicefrac{2}{5}\right)=+\nicefrac{5}{10}.
  • Plus mal Minus / Minus mal Plus ergibt Minus: \left(+\nicefrac{3}{2}\right)\cdot\left(-\nicefrac{2}{5}\right)=-\nicefrac{5}{10}.
  • Minus mal Minus ist Plus: \left(-\nicefrac{3}{2}\right)\cdot\left(-\nicefrac{2}{5}\right)=+\nicefrac{5}{10}.

Was ist eine Dezimalzahl?

Du kannst gebrochene Zahlen auch als Kommazahl (Dezimalzahl) schreiben. 1 Fünftel ist zum Beispiel 0,2 und 14 Zehntel sind 1,4.

    \begin{gather*} \frac{1}{5} = 0,2 \\ \frac{14}{10} = 1,4 \end{gather*}

1 Drittel ist eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen. 1 Drittel als Dezimalzahl ist also eine 0 mit unendlich vielen 3ern hinter dem Komma. Weil du nicht unendlich viele 3en ausschreiben kannst, malst du einen Strich über die 3. Das sind sogenannte periodische Dezimalzahlen.

    \[ \frac{1}{3} = 0,333 333 33\dots = 0,\bar{3} \]

Was ist eine rationale Zahl? 

Eine Dezimalzahl ist dann rational, wenn sie entweder

  • endlich viele Nachkommastellen (z.B. 0,2 oder 1,4) oder
  • unendliche Nachkommastellen, die sich mit einem regelmäßigen Muster wiederholen (z.B. 0,\bar{3} oder 2,\bar{92}), hat.

Zahlen, die sich so wiederholen, heißen periodische Zahlen und sind rational.

Reelle Zahlen

Es gibt aber noch viel mehr Zahlenmengen als die rationalen Zahlen. Es gibt auch welche, die sich nicht als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben lassen. Die findest du dann in der Menge der reellen Zahlen . Schaue dir gleich unser Video dazu an!

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