Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Es gibt viele verschiedene Arten von Zahlen. Du kannst sie in unterschiedlichen Zahlenmengen zusammenfassen. Hier zeigen wir dir, was du über die Menge der irrationalen Zahlen wissen musst.% Schaue dir auch unser passendes Video an!

Was sind irrationale Zahlen?

Zu den irrationalen Zahlen gehören alle reellen Zahlen , die du nicht der Menge der rationalen Zahlen zuordnen kannst. Aber wann ist eine Zahl rational?

Die Menge der rationalen Zahlen (\textcolor{red}{\mathbb{Q}}) enthält alle Zahlen, die als Bruch von zwei ganzen Zahlen  geschrieben werden können.

    \[ \textcolor{red}{\mathbb{Q}} = \left\{ \dots; -2\frac{2}{7}; -\frac{10}{9}; 0; 2; 4,5; \frac{5}{1};\dots  \right\} \]

Irrationale Definition

Falls du eine Zahl nicht als einen Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben kannst, ist sie Teil der Menge von irrationalen Zahlen \textcolor{orange}{\mathbb{I}}.

Du kannst sie aber auch nicht als Dezimalzahl (Kommazahl) ausschreiben, weil irrationale Zahlen unendlich viele Nachkommastellen haben. Außerdem gibt es kein regelmäßiges Muster, mit dem sich die Nachkommastellen wiederholen. Du nennst irrationale Zahlen deshalb nicht abbrechend und nicht periodisch.

Irrationale Zahlen Beispiele: Die Kreiszahl \pi = 3,1415\dots, Eulers Zahl \mathrm{e}=2,71828\dots und die Wurzel von 2 \sqrt{2}=1,41421\dots sind irrational.

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Irrationale Zahlen (blau) liegen zwischen den ganzen Zahlen (schwarz) auf dem Zahlenstrahl.

Gebrochene Zahlen

Eine Zahl ist rational, wenn du sie als einen Bruch (gebrochene Zahl) aus zwei ganzen Zahlen schreiben kannst. Wenn du sie nicht als Bruch schreiben kannst, muss es eine irrationale Zahl sein. Vergiss dabei nicht, dass du auch Dezimalzahlen (Kommazahlen) in einen Bruch umwandeln kannst. Ein Beispiel für eine rationale Zahl ist dann 2,5:

    \[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \]

Wann sind Dezimalzahlen irrational?

Du kannst eine Dezimalzahl als Bruch schreiben — sie ist also eine rationale Zahl –, wenn sie

  • endlich viele Nachkommastellen hat.
  • unendliche viele Nachkommastellen hat, die sich mit einem regelmäßigen Muster wiederholen (periodisch sind).

Hat eine Kommazahl unendlich viele Nachkommastellen, die nicht periodisch sind, ist es eine irrationale Zahl.

Zahlen wie \sqrt{2} haben unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Sie sind also irrational.

    \[ \sqrt{2} = 1,414\,213\,562\,37\dots\]

Weil du natürliche und ganze Zahlen als unechten Bruch schreiben kannst, gehören auch diese beiden Zahlenmengen zu den rationalen Zahlen:

    \begin{align*} 2 &= \frac{2}{1} = \frac{8}{4} \\ -3 &= \frac{-3}{1} = \frac{-9}{3} \\ 241 &= \frac{241}{1} \\ -137 &= \frac{-137}{1} \end{align*}

Beweis der Irrationalität

Wie beweist du also, dass deine Zahl wirklich irrational ist? Schaue dir am besten ein Beispiel mit der Wurzel aus 2 an.

Zuerst nimmst du an, dass \sqrt{2} rational ist. Später wirst du sehen, dass diese Annahme falsch ist, und so beweisen, dass \sqrt{2} irrational ist. Schreibe die Wurzel als einen Bruch von ganzen Zahlen a und b. Wichtig: Wir gehen davon aus, dass du den Bruch a und b nicht weiter kürzen kannst!

    \[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]

Als nächstes quadrierst du beide Seiten deiner Gleichung und bringst b2 auf die andere Seite.

    \[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \quad\Righarrow\quad 2b^2 = a^2\]

Die linke Seite 2b^2 ist durch 2 teilbar. Das bedeutet, die rechte Seite a^2 muss auch durch 2 teilbar sein. Weil a^2 durch 2 teilbar ist, muss a auch durch 2 teilbar sein. Du kannst a deshalb als 2c schreiben. c ist auch eine ganze Zahl.

    \[ 2b^2 = (2c)^2 = 4c^2 \]

Teile beide Seite durch 2 und du bekommst:

    \[ b^2 = 2c^2 \]

Hier ist die rechte Seite 2c^2 wieder durch 2 teilbar. Deshalb muss auch die linke Seite b^2 durch 2 teilbar sein. Wenn b^2 durch 2 teilbar ist, muss auch b durch 2 teilbar sein.

Du stellst also fest, dass sowohl a als auch b durch 2 teilbar sind. Wir hatten aber zu Beginn gesagt, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben. Deine Annahme, dass \nicefrac{a}{b} nicht gekürzt werden kann, widerspricht sich also. Die Wurzel aus 2 kann also nicht als Bruch geschrieben werden und es muss eine irrationale Zahl sein.

Reelle Zahlen

Neben den irrationalen Zahlen kennst du wahrscheinlich schon die rationalen Zahlen. Wenn du beide Mengen zusammenzählst, erhältst du die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R}. Wenn du mehr darüber erfahren willst, schaue dir gleich unseren Artikel  dazu an!

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