Mathematische Grundlagen
Zahlenlehre
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Was sind irrationale Zahlen? Und was ist der Unterschied zwischen irrationalen und rationalen Zahlen? Im Artikel und im Video erfährst du alles rund um die Anwendung und Definition von irrationalen Zahlen!

Was sind irrationale Zahlen?

Zu den irrationalen Zahlen gehören alle reellen Zahlen , die nicht rational sind. Aber wann ist eine Zahl rational?

Die rationalen Zahlen (\textcolor{red}{\mathbb{Q}}) sind alle Zahlen, die du als Bruch von zwei ganzen Zahlen schreiben kannst. Auch die natürlichen Zahlen (1,2,3,…) und negativen Zahlen (-1, -2, -3,…) gehören dazu.

Beispiele für rationale Zahlen: 2, -5, -\frac{10}{9}, -2\frac{2}{7}

Du kannst jede rationale Zahl auch als Kommazahl darstellen. Sie hat dann entweder

  • nur endlich viele Zahlen nach dem Komma, z.B. 2,75 (abbrechende Kommazahl)
  • unendlich viele Zahlen nach dem Komma, die sich aber immer wiederholen, z.B. 2,31313131… (periodische Kommazahl)

Irrationale Zahlen (Symbol: I) sind Zahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma, die aber nicht periodisch werden. Das sind zum Beispie Wurzeln aus natürlichen Zahlen, die keine Quadratzahlen sind (z.B. \sqrt{2}, \sqrt{7}), die Kreiszahl π = 3.14159… oder die Eulersche Zahl e = 2,7182818…%FS

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Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl

Merke: Du kannst irrationale Zahlen nie als Bruch schreiben!

Rationale und irrationale Zahlen

Rationale Zahlen kannst du als Bruch aus ganzen Zahlen oder als abbrechende oder periodische Dezimalzahl (Kommazahl) schreiben. Hat deine Dezimalzahl dagegen unendliche viele Nachkommastellen und wird nicht periodisch, ist sie eine irrationale Zahl. Das sind zum Beispiel die meisten Wurzeln und die Kreiszahl π .

Vergiss dabei nicht, dass du bei rationalen Zahlen Dezimalzahlen (Kommazahlen) in einen Bruch umwandeln kannst. Ein Beispiel dafür ist 2,5:

    \[ 2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \]

Bei irrationalen Zahlen geht das nicht: Zahlen wie \sqrt{2} haben unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen.

    \[ \sqrt{2} = 1,414\,213\,562\,37\dots\]

Merke: Weil du natürliche und ganze Zahlen als unechten Bruch schreiben kannst, gehören sie auch zu den rationalen Zahlen:

    \begin{align*} 2 &= \frac{2}{1} = \frac{8}{4} \\ -3 &= \frac{-3}{1} = \frac{-9}{3} \\ 241 &= \frac{241}{1} \\ -137 &= \frac{-137}{1} \end{align*}

Irrationale Zahlen Symbol %FS irrationale Zahlen symbol

Als Symbol oder Zeichen für irrationale Zahlen verwendest du ein I mit Doppelstrich \mathbb{I}.

Wofür brauchst du irrationale Zahlen?

Irrationale Zahlen brauchst du sowohl in Mathe als auch im Alltag:

  • Wenn du den Umfang oder den Flächeninhalt von einem Kreis berechnen willst, brauchst du die Kreiszahl π. Sie ist irrational.
  • Wenn du Seiten im rechtwinkligen Dreieck berechnen sollst, verwendest du den Satz des Pythagoras. Ist eine Seite zum Beispiel 3 cm lang und die andere 2 cm, dann ist die dritte Seite \sqrt{13} cm lang. Das ist wieder eine irrationale Zahl! 
  • Wenn du die Nullstellen einer Parabel berechnest, kommen auch oft irrationale Zahlen heraus. In der Formel für die Nullstellen (Mitternachtsformel), kommt nämlich eine Wurzel vor!

Reelle Zahlen

Die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen zusammen sind die sogenannten reellen Zahlen. Du kürzt sie mit dem Zeichen ab. 

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Die reellen Zahlen

Merke: Jede natürliche, ganze, rationale und irrationale Zahl (Zeichen: \textcolor{orange}{\mathbb{I}} ist gleichzeitig eine reelle Zahl! In der Menge der reellen Zahlen sind also alle Zahlen enthalten, die du bisher kennst.

Beweis der Irrationalität

Wie beweist du also, dass deine Zahl wirklich irrational ist? Schaue dir am besten ein Beispiel mit der Wurzel aus 2 an.

  1. Nimm an, dass \sqrt{2} rational ist. Später wirst du sehen, dass diese Annahme falsch ist, und so beweisen, dass \sqrt{2} irrational ist.
  2. Schreibe die Wurzel als einen Bruch von ganzen Zahlen a und b. Wichtig: Wir gehen davon aus, dass du den Bruch a und b nicht weiter kürzen kannst!

        \[ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \]

  3. Quadriere beide Seiten deiner Gleichung und bringe b2 auf die andere Seite.

        \[ 2 = \frac{a^2}{b^2} \quad\Righarrow\quad 2b^2 = a^2\]

  4. Die linke Seite 2b^2 ist durch 2 teilbar. Das bedeutet, die rechte Seite a^2 muss auch durch 2 teilbar sein. Weil a^2 durch 2 teilbar ist, muss a auch durch 2 teilbar sein. Du kannst a deshalb als 2c schreiben. c ist auch eine ganze Zahl.

        \[ 2b^2 = (2c)^2 = 4c^2 \]

  5. Teile beide Seite durch 2 und du bekommst:

        \[ b^2 = 2c^2 \]

  6. Hier ist die rechte Seite 2c^2 wieder durch 2 teilbar. Deshalb muss auch die linke Seite b^2 durch 2 teilbar sein. Wenn b^2 durch 2 teilbar ist, muss auch b durch 2 teilbar sein.

Du stellst also fest, dass sowohl a als auch b durch 2 teilbar sind. Wir hatten aber zu Beginn gesagt, dass a und b keinen gemeinsamen Teiler haben. Deine Annahme, dass \nicefrac{a}{b} nicht gekürzt werden kann, führt also zu einem Widerspruch. Somit muss die Annahme, mit der die begonnen hast, falsch sein: Du kannst Wurzel 2 nicht als Bruch schreiben. Deshalb muss sie eine irrationale Zahl sein.

Expertenwissen: algebraische und transzendente Zahlen

Du kannst die irrationalen Zahlen noch weiter unterteilen. 

  • Eine algebraische Zahl  ist die Nullstelle von einem Polynom . Wichtig ist dabei, dass dein Polynom selbst nur aus rationalen Zahlen (Koeffizienten) und Variablen besteht.
    Beispiel: \sqrt{2} ist die Nullstelle von x2 – 2, also eine algebraische Zahl.
  • Transzendente Zahlen kommen bei keinem Polynom (mit rationalen Koeffizienten) als Nullstelle vor.
    Beispiel: Die Kreiszahl π

Reelle Zahlen%übernommen. Braucht nicht Korrektur gelesen werden

Jetzt kennst du die Definition der irrationalen Zahlen. Daneben weißt du wahrscheinlich schon, was rationale Zahlen sind. Wenn du beide Mengen zusammennimmst, erhältst du die Menge der reellen Zahlen \mathbb{R}. Wenn du mehr darüber erfahren willst, schaue dir gleich unseren Artikel  dazu an!

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