Geometrie
Kreis berechnen
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Du möchtest mehr über die Zahl Pi wissen? Alles von ihrer Entstehung bis hin zu ihrer heutigen Anwendung erfährst du in diesem Artikel und unserem Video !

Was ist die Zahl Pi?

Die Kreiszahl Pi ist eine Konstante ohne Einheit. Ihr Symbol ist π. Du kannst dir merken:

π ≈ 3,141

Die Pi Zahl beschreibt das Verhältnis zwischen Umfang U  und Durchmesser d in jedem Kreis (π = \frac{U}{d}). Du kannst π also verwenden, um den Umfang vom Kreis zu berechnen (U = 2 ⋅ r ⋅ π) oder für den Flächeninhalt (A = π ⋅ r²). Außerdem kommt das Pi Symbol in der Formel zur Berechnung vom Kugelvolumen sowie beim Kegelvolumen vor.

Die Zahl Pi hat unendlich viele Nachkommastellen, die sich nie in ihrer Abfolge wiederholen. Du nennst sie deshalb irrational . Du kannst Pi somit nicht durch Brüche aus ganzen Zahlen darstellen.

Pi Nachkommastellen

Wie groß ist Pi? Um das zu beantworten, solltest du dir einmal Pi ausgeschrieben anschauen:

π = 3,141592653589793238462643383279502884197169399…

Alle Stellen von Pi kannst du aber nie aufschreiben — es gibt nämlich unendlich viele!

Wie wurde Pi entdeckt?

Schon vor Jahrtausenden brauchten Menschen das Verhältnis von Umfang und Durchmesser eines Kreises, also Pi, um Räder und andere kreisförmige Gegenstände präzise herzustellen.

250 v. Chr. hatte der Grieche Archimedes eine erste Idee, um genau dieses Verhältnis herauszufinden. Mithilfe eines Einheitskreises , also eines Kreises mit Radius r = 1, und einem Vieleck in und einem Vieleck um den Kreis, näherte er sich der Kreiszahl Pi Stück für Stück an. Er startete bei zwei 6-Ecken und erhöhte die Seiten der Vielecke bis zu zwei 96-Ecken, wodurch er Pi auf 2 Nachkommastellen genau berechnete.

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Einheitskreis mit äußerem und innerem 6-Eck bzw. 12-Eck

Der holländische Mathematiker Ludolph van Ceulen kam im Jahre 1596 auf sogar 35 Nachkommastellen. Bis ins 19. Jahrhundert wurde π deswegen auch als Ludolphsche Zahl bezeichnet.

Gottfried Wilhelm Leibniz entdeckte im Jahr 1682 die sogenannte Leibniz-Reihe, mit der du Pi auch auf mehr als 35 Nachkommastellen berechnen kannst.

    \[\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^{k}}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - ... =  \frac{\pi}{4}    \]

Heutzutage können Computer solche Rechnungen übernehmen, wodurch die Zahl Pi auf über 62 Billionen Nachkommastellen genau berechnet wurde.

Herleitung der Zahl Pi

Für eine einfache Herleitung von Pi kannst du dir die Eigenschaften eines Kreises zunutze machen. Nimm einen Zirkel und zeichne einen Kreis mit dem Durchmesser d = 1 cm. Miss dann den Umfang des Kreises. Leg dafür eine Schnur auf den gezeichneten Kreis und miss ihre Länge.

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Herleitung von π mit Einheitskreis

Die Länge der Schnur und damit der Umfang beträgt ungefähr 3,14 cm.

Für den Umfang eines Kreises gilt aber auch die Formel:

    U = d π

Setze nun für d = 1 und für U = 3,14 ein.

    3,14 = 1 π

3,14π

Du siehst, dass π ungefähr 3,14 sein muss. Prima! Schon hast du π auf eine einfache Art hergeleitet! 

Zahl pi im Bogenmaß

Das Bogenmaß ist eine Art, die Größe von Winkeln anzugeben. Dabei misst du die Winkel nicht in Grad, sondern mit π.

Gradmaß und Bogenmaß
  • 180° = π %Farben
  • 360° = 2π %Farben
  • 1° = \frac{\pi}{\textcolor{red}{180^\circ}}

Beim Bogenmaß schaust du dir Kreisbögen im Einheitskreis an. Unter dem Kreisbogen kannst du dir einen Teil der Außenlinie vorstellen, der zu einem bestimmten Winkel passt. Hast du zum Beispiel einen Winkel von 180°, also die Hälfte eines Kreises, dann ist dein Kreisbogen die Strecke des Umfangs von 0° bis 180°. Das ist die Hälfte des Kreisumfangs.

Für den gesamten Umfang vom Einheitskreis (360°) gilt die Formel U = 2 π. Dementsprechend sind 360° dann 2π. Somit entsprechen 180° der Hälfte davon, also π.

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Einheitskreis mit Bogenmaß

Übrigens: Pi ist transzendent. Die Zahl kann deswegen nicht die Nullstelle von einem Polynom aus rationalen Zahlen sein.

Kreisberechnung

Möchtest du wissen, wie du mithilfe von Pi Kreise berechnest? Dann schau dir gleich unser Video zur Kreisberechnung an!

Zum Video: Kreisberechnung
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